二階非線性邊值問題的正解

趙冬霞,孔令彬

(1.東北石油大學 數(shù)學科學與技術學院，黑龍江 大慶 163318；2.大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

本文研究二階非線性邊值問題

u″(t)-αu′(t)+βu(t)=-f(t,u(t))

(1)

u(0)=0,u(1)=0

(2)

這里α>0,0<4β-α2<π2。

二階非線性邊值問題出現(xiàn)在物理與應用數(shù)學等領域中，其正解具有實際意義。一些作者曾研究過含參數(shù)的二階非線性邊值問題，但含雙參數(shù)的二階非線性邊值問題的結果尚不多見[1-2]。本文研究非線性二階邊值問題(1)(2)，在非線性項滿足超線性或次線性的條件下，證明了正解的存在性。

在f(t,u)非奇異的情形下，本文假設如下：

(H1)f(t,u)在[0,1]×[0,+∞)上非負連續(xù)；

此時稱函數(shù)u(t)為邊值問題(1)(2)的一個正解，如果它滿足:u(t)∈C1[0,1]∩C2(0,1)，且在(0,1)內u(t)>0；u(t)在(0,1)內滿足(1)并滿足(2)。

在f(t,u)奇異的情形下，本文假設如下：

(H5) 對幾乎所有的t∈[0,1]，f(t,u)關于u(t)≥0單調非增，并且

此時稱函數(shù)u(t)為邊值問題(1)(2)的一個正解，如果它滿足u∈C1[0,1],u(0)=0,u(1)=0;u″(t)在[0,1]上幾乎處處存在并且可積，并且在[0,1]上

u″(t)-αu′(t)+βu(t)=-f(t,u(t))a.e.

本文的主要結果是：

定理1：假設(H1)，(H2)或(H1)，(H3)成立，則邊值問題(1)(2)至少存在一個正解。

1 邊值問題(1)(2)的等價形式Green函數(shù)估計

(3)

這里

于是

則?u∈K有

因此Φu∈K,即Φ(K)?K,另外易證Φ全連續(xù)。

為證明定理1，需要如下的錐不動點定理[3]。

引理2：設E是Banach空間，K?E是E中的錐，Ω1,Ω2都是E中的開子集，

?Ω2，又設

全連續(xù)。如果

1)‖Φu‖≤‖u‖，u∈K∩?Ω1，并且‖Φu‖≥‖u‖，u∈K∩?Ω2；或

2)‖Φu‖≥‖u‖，u∈K∩?Ω1，并且‖Φu‖≤‖u‖，u∈K∩?Ω2。

2 定理1的證明

Φu(t)≤

≤

即有‖Φu‖≤‖u‖。

即有‖Φu‖≥‖u‖。

即‖Φu‖≥‖u‖。

令Ω2={u∈C[0,1];‖u‖

即有‖Φu‖≤‖u‖。

即‖Φu‖≤‖u‖。

3 結語

對一類含雙參數(shù)的二階邊值問題進行了研究，利用錐不動點定理，并結合Green 函數(shù)性質，在非線性項滿足超線性或次線性的條件下，證明了其邊值問題正解的存在性。

[參考文獻]

[1] Li Yongxiang.Positive solutions of fourth-order boundary value problem with two parameters[J].J.Math.Anal.Appl.,2003，281:477-484.

[2] Jiang Daqing.Optimal existence theory for single and multiple positive solutions to fourthorder periodic value problems[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2006(7):841-852.

[3] L.H.Erbe,Wang Haiyan.On the existence of positive solutions of ordinary differential Equations[J].Proc.Amer.Math,1994，120:743-748.