加權(quán)馬爾可夫鏈在空氣污染指標(biāo)預(yù)測中的應(yīng)用

鐘 潤

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，江蘇 南京 210046)

0 引言

空氣污染指數(shù)是一種反映和評價空氣質(zhì)量的方法，就是將常規(guī)監(jiān)測的幾種空氣污染物的濃度簡化稱為單一的概念性數(shù)值形式、并分級表示空氣質(zhì)量狀況與空氣污染的程度。其結(jié)果簡明，該方法使用方便，適用于表示城市的短期空氣質(zhì)量狀況和變化趨勢。一個城市的空氣質(zhì)量狀況具有馬氏性的特征。因此，可以采用隨機過程加權(quán)馬爾可夫鏈模型對未來時刻的空氣污染指數(shù)進行預(yù)測，不僅細(xì)化城市空氣污染指數(shù)分級標(biāo)準(zhǔn)，進一步推進完善空氣污染指數(shù)的研究方法，而且對于預(yù)防大氣災(zāi)害研究有著深遠(yuǎn)的意義。

1 馬爾可夫鏈及加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測的基本思想和步驟

1.1 馬爾可夫鏈

設(shè)有隨機過程XT={Xt,t∈T=(0,1,2，…)}，其狀態(tài)空間為I={0,1,2，…}，若對任意正整數(shù)k，任意ti∈T,ti

P{Xtk+1=ik+1|Xt0=i0,Xt1=i1···Xtk=ik}=P{Xtk+1=ik+1|Xtk=ik}

(1)

則稱XT為離散時間的馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈[1]。

式(1)表示的性質(zhì)稱為馬氏性或無后效性，即在確切知道系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)的條件下，系統(tǒng)將來的狀態(tài)與過去的狀態(tài)無關(guān)。式(1)的直觀意義是：如果把時刻tk看做現(xiàn)在，那么tk+1是將來的時刻，而t0,t1，…tk-1是過去的時刻。

對于研究問題，一般考慮齊次馬爾可夫鏈，即對任意的n,k∈T和i,j∈I有

(2)

1.2 加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測的基本思想

由于空氣污染指數(shù)是一列相依的隨機變量，經(jīng)檢驗證明它滿足馬氏性之后，需用相關(guān)的各階各種步長作出的加權(quán)馬爾可夫鏈來預(yù)測未來某時刻的指標(biāo)值，各階自相關(guān)系數(shù)刻畫了各種步長的指標(biāo)值的相關(guān)關(guān)系的強弱。因此，可考慮先分別依其前面若干指標(biāo)值所對應(yīng)的狀態(tài)對該時刻的狀態(tài)進行預(yù)測，然后，按前面各時刻與該時刻相依關(guān)系的強弱對絕對轉(zhuǎn)移概率加權(quán)求和。即通過各階馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率與相依隨機變量的相關(guān)分析，達(dá)到了充分、合理地利用信息進行預(yù)測的目的，這就是加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測的基本思想。

1.3 加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測的步驟

1)采用樣本均值-標(biāo)準(zhǔn)方差分類法來建立空氣污染指數(shù)的分級標(biāo)準(zhǔn)，確定狀態(tài)空間；

2)根據(jù)1)所建立的分級標(biāo)準(zhǔn)，確定資料序列中各時刻指標(biāo)值所對應(yīng)的狀態(tài)；

3)對2)所得的結(jié)果進行統(tǒng)計計算不同步長的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣[3]；

6)進一步對馬爾可夫鏈的特征(遍歷性、平穩(wěn)分布等)進行分析。

2 實例分析

采用從中國環(huán)境監(jiān)測總站網(wǎng)獲得并整理的2011年10月13日—11月12日共31天的南京空氣污染指數(shù)值A(chǔ)PI為例，對2011年11月10日—11月12日的空氣污染指數(shù)API進行分析預(yù)測，以探討方法的具體應(yīng)用并進行檢驗。

1)建立空氣污染指數(shù)API的分級標(biāo)準(zhǔn)，確定各日期的空間狀態(tài)如表1。

表1 空氣污染指數(shù)API的分級表

2)由表1分級標(biāo)準(zhǔn)可以確定南京氣象局2011年10月13日—11月13日空氣污染指數(shù)API的空間狀態(tài)如表2。

表2 南京氣象局2011年10月13日—11月12日空氣污染指數(shù)API及其空間狀態(tài)

3)統(tǒng)計計算步長為1,2，…6的馬爾可夫鏈不同步長的轉(zhuǎn)移概率矩陣。

4)計算各階自相關(guān)系數(shù)及規(guī)范化如表3。

表3 各階自相關(guān)系數(shù)和各步長的馬爾可夫鏈權(quán)重指標(biāo)

5)加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測未來空氣污染指數(shù)的空間狀態(tài)。由表4可知，max{Pi,i∈I}=0.2627，此時i=4，即預(yù)測2011年11月10日空氣污染指數(shù)的狀態(tài)是4，即API滿足：59.8≤X<70.6，而2011年11月10日的API=68，預(yù)測結(jié)果與實際相符。

由表5可知，max{Pi,i∈I}=0.2243，此時i=4，即預(yù)測2011年11月11日空氣污染指數(shù)的狀態(tài)是4，即API滿足：59.8≤X<70.6，而2011年11月11日的API=91，預(yù)測失敗。

由表6可知，max{Pi,i∈I}=0.3769，此時i=1，即預(yù)測2011年11月12日空氣污染指數(shù)的狀態(tài)是1，即API滿足：X≥92.2，而2011年11月12日的API=122，預(yù)測結(jié)果與實際相符。

表4 2011年11月10日空氣污染指數(shù)API預(yù)測表

表5 2011年11月11日空氣污染指數(shù)API預(yù)測表

表6 2011年11月12日空氣污染指數(shù)API預(yù)測表

經(jīng)過對上述南京空氣污染指數(shù)序列數(shù)據(jù)的整理分析，其馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的，它與初始時刻無關(guān)，且其一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

即3步轉(zhuǎn)移概率矩陣中每個元素均大于0，此時馬爾可夫鏈滿足遍歷性。這時該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布{πj,j=1,2,3,4,5,6}可由

(3)

得到，其解為π1=0.2217,π2=0.1465,π3=0.1618,π4=0.2466,π5=0.1617,π6=0.0617。

此結(jié)果表明：經(jīng)過相當(dāng)長時間后，南京空氣污染指數(shù)處在狀態(tài)1的可能性最大，處在狀態(tài)6的可能性最小。

3 結(jié)語

根據(jù)南京市2011年10月13日—11月12日共31天的空氣污染指數(shù)，細(xì)化了空氣污染指數(shù)的分級標(biāo)準(zhǔn)，以若干階的自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重，用各種步長的馬爾可夫鏈加權(quán)和來預(yù)測未來狀態(tài)，更加充分、合理的利用信息。加權(quán)的馬爾可夫鏈模型能夠?qū)嶋H應(yīng)用到空氣污染指數(shù)的預(yù)測，真實反應(yīng)空氣污染程度，具有實際應(yīng)用價值，為空氣污染研究提供了新的途徑。

[參考文獻]

[1] 王家生，劉嘉焜.隨機過程基礎(chǔ)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2003：40-61.

[2] 張宸，林啟太.馬爾可夫鏈理論在礦區(qū)降水災(zāi)害預(yù)測中的應(yīng)用[J].國外建筑學(xué)報,2004,4(1):125-128.

[3] 周振民.馬爾可夫鏈理論在灌溉工程運行及效益分析中的應(yīng)用[J].中國農(nóng)村水利水電,2001,9(12):99-102.

[4] 鄭文瑞，王新代，紀(jì)昆.馬爾可夫鏈理論在水污染狀態(tài)風(fēng)險評價中的應(yīng)用[J].吉林大學(xué)學(xué)報,2003,12(1):120-124.

[5] 張潤楚，胡國定.多元數(shù)據(jù)分析方法—純代數(shù)處理[M].天津:南開大學(xué)出版社,1990：308-312.