廣義生物經(jīng)濟模型的控制

佟 欣

(大慶師范學院 數(shù)學科學學院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

物種的增長都有一個完整的成長發(fā)育過程, 在發(fā)育過程中物種在各個生命階段的出生率、 死亡率、 擴散率、 捕食能力等有著明顯差別，這些因素都在不同程度上影響著生物種群的持續(xù)生存和滅絕，因此, 我們建立了具有階段結構的種群模型[1-5]。階段結構的種群模型可以用微分方程組表示為：

(1)

1 模型建立

如果人類對模型(1)中的成年種群進行捕獲，研究人類的經(jīng)濟活動和捕獲行為對生物種群發(fā)展動態(tài)的影響，從而建立廣義生物經(jīng)濟模型如下：

(2)

其中x1(t)、x2(t)、a、α、b、β的含義同式(1)，E(t) 表示t時刻對成年種群的捕獲量,p為單位成年種群價格,c為捕獲成本,m為經(jīng)濟利利潤(剩余量) ,p、c均為大于零的常數(shù), 所以pE(t)x2(t)表示收益總量,cE(t)表示總成本。方程(2a) 、(2b) 分別表示幼年種群和成年種群的增長率, 方程(2c) 表示收益總量, 總成本以及經(jīng)濟利潤(或剩余量) 之間的關系。 顯然，模型(2)是一個微分代數(shù)系統(tǒng)，x1(t) ，x2(t)是微分變量,E(t)是代數(shù)變量。

2 模型研究

2.1 奇異誘導分岔

當建立的廣義生物經(jīng)濟模型(2)中的經(jīng)濟利潤為零時，即m=0時，會出現(xiàn) Cordon所提出的生物經(jīng)濟平衡現(xiàn)象，也稱為“ 經(jīng)濟學過度捕撈”[1]現(xiàn)象，就是說經(jīng)濟利潤被捕獲的強弱程度即努力量所制約著[2]，兩者之間處于水平消耗的關系，收益和成本就可能相等，所以可以得出模型(2)存在平衡點：

2.2 奇異誘導分岔的狀態(tài)反饋控制

綜合上述分析可知：當分岔值m=0時，即經(jīng)濟利潤為零時，廣義生物經(jīng)濟模型(2)的克羅內克(kronecker)指標將增加，從而導致系統(tǒng)出現(xiàn)奇異誘導分岔現(xiàn)象。為了消除這種分岔現(xiàn)象，我們需要在模型(2)中施加控制系統(tǒng)使模型(2)中的克羅內克指標減少。

接下來我們確定一個可執(zhí)行輸入v(t)來分析受控模型情況。

(3)

(4)

得到模型

(5)

綜上所述可以知道該狀態(tài)反饋控制器的生物意義為：當我們對所捕獲的努力量給予制約時，此時反饋增益K的值可以了解到，當增大捕獲量時，就可以把經(jīng)濟系統(tǒng)的奇異又到分岔消除，就可以使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。

3 數(shù)值仿真

為了說明狀態(tài)反饋控制器的有效性，我們現(xiàn)將廣義生物經(jīng)濟模型(2)中的各項參數(shù)取值，即a=4，b=8，α=4，其中b為幼年種群的死亡率和轉化為成年種群的轉化率之和，所以α

(6)

(7)

4 結語

通過研究生態(tài)系統(tǒng)在受到外界因素干擾時，從而出現(xiàn)在廣義生物經(jīng)濟模型中的奇異誘導分岔現(xiàn)象，并研究其在經(jīng)濟利潤為零的條件下控制該現(xiàn)象的產生，設計狀態(tài)控制器和研究該狀態(tài)控制器的相關問題。當生物經(jīng)濟系統(tǒng)出現(xiàn)奇異誘導分岔現(xiàn)象時，會使種群數(shù)量在短時間內變化很大，即克羅內克指標發(fā)生變化。也就是說，經(jīng)濟利潤為零時，當克羅內克指標增加1時，就會使得生物種群的數(shù)量超過環(huán)境可以承受的量，而此時生態(tài)環(huán)境就會發(fā)生變化。可以更好地解決奇異誘導分岔現(xiàn)象，從而使得種群達到平衡的狀態(tài)，這樣就會使得生態(tài)系統(tǒng)得到更好的保護。正因為如此，建立了反饋控制器，通過控制器捕獲的努力量，來調整控制生態(tài)系統(tǒng)的相對平衡，從而達到保護生態(tài)資源和生態(tài)經(jīng)濟持續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的目的。最后根據(jù)所得到的真實數(shù)據(jù)說明了狀態(tài)控制器的可行性。

[參考文獻]

[1] Clark C W. Mathematical Bioeconomics: The OptimalManagement of Renewable Resources[M].New York: Wiley,1990:27-72.

[2] Yang L J,Tang Y. An improved version of thesingularity-induced bifurcation theorem [J].IEEE Transaction on Automatic Control, 2001,46(9):1483-1486.

[3] 張悅.階段結構廣義生物經(jīng)濟模型的分岔及控制[J].系統(tǒng)工程學報,2007,22(3):233-238.

[4] 陳蘭蓀.數(shù)學生態(tài)學模型與研究方法[M].北京:科學出版社,1988:199-231.

[5] 馬知恩.種群生態(tài)學數(shù)學建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996：330-364.