宏觀偏析數(shù)學(xué)模型在大型鋼錠中的應(yīng)用

李文勝 沈厚發(fā) 柳百成(.廣東電網(wǎng)公司電力科學(xué)研究院，廣東50080;

2.清華大學(xué)機(jī)械工程系先進(jìn)成形制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100084)

高質(zhì)量大型鋼錠的生產(chǎn)是我國裝備制造業(yè)發(fā)展面臨的重要問題[1、2]。大型鋼錠特別是百t級(jí)以上特大型鋼錠中的一個(gè)重要質(zhì)量缺陷是宏觀偏析。宏觀偏析是指凝固過程中由于溶質(zhì)再分配、流體流動(dòng)、自由等軸晶移動(dòng)等因素所導(dǎo)致的宏觀尺度上的化學(xué)成分分布不均。大型鋼錠的凝固過程和宏觀偏析的形成是一個(gè)多相多尺度的問題，涉及熱溶質(zhì)對(duì)流、凝固收縮以及等軸晶移動(dòng)等諸多復(fù)雜因素[3、4]。傳統(tǒng)的連續(xù)模型不能滿足建模的要求，兩相/多相模型能夠更好地描述實(shí)際鋼錠凝固過程中的質(zhì)量、動(dòng)量、能量和溶質(zhì)的宏觀傳輸及微觀尺度上發(fā)生的凝固現(xiàn)象。

本文介紹了宏觀偏析數(shù)學(xué)模型的發(fā)展以及在實(shí)際鋼錠中的應(yīng)用。值得注意的是，由于文獻(xiàn)報(bào)道的宏觀偏析模擬和實(shí)驗(yàn)研究所采用鋼錠的尺寸特點(diǎn)，本文主要討論3 t以上鋼錠的研究。

1 宏觀偏析數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介

1987年，Bennon和Incropera[5]采用經(jīng)典的混合物理論，建立了描述二元凝固體系動(dòng)量、能量和溶質(zhì)傳輸?shù)倪B續(xù)模型。該模型將固相區(qū)、糊狀區(qū)和液相區(qū)視為一種連續(xù)介質(zhì)，對(duì)這3個(gè)區(qū)域的傳輸過程采用同樣一套守恒方程來描述。糊狀區(qū)被視為具有宏觀特性的固-液混合物，固相和液相幾乎同時(shí)，Beckermann和Viskanta[6]發(fā)表了二元合金凝固宏觀偏析體積平均模型。在一個(gè)小的體積單元內(nèi)對(duì)各相微觀守恒方程進(jìn)行積分，獲得體積平均的各相宏觀守恒方程。在各相宏觀守恒方程中，微觀的固-液界面的存在是以界面?zhèn)鬟f項(xiàng)的形式得到體現(xiàn)的。將固相和液相宏觀守恒方程疊加，利用界面平衡關(guān)系去掉方程中的界面?zhèn)鬟f項(xiàng)，獲得固-液混合物的一套宏觀守恒方程(質(zhì)量、動(dòng)量、能量和溶質(zhì)方程)。因此，該模型也采用一套守恒方程描述固相區(qū)、液相區(qū)和糊狀區(qū)。

合金凝固體系包括液相和固相，而上述模型并沒有建立固相動(dòng)量守恒方程。事實(shí)上，凝固過程中形成的固相自由等軸晶顆粒在熔體中發(fā)生宏觀運(yùn)動(dòng)，等軸晶的漂浮或沉降對(duì)宏觀偏析的形成具有重要影響。1991年，Ni和Beckermann[7]建立了合金凝固傳輸過程的體積平均兩相模型。與以往模型不同的是，該模型針對(duì)液相和固相分別建立一套宏觀傳輸方程。通過界面交互關(guān)系，將兩相的質(zhì)量、動(dòng)量、能量和溶質(zhì)守恒方程緊密聯(lián)系起來，同時(shí)將微觀凝固現(xiàn)象耦合到宏觀傳輸模型中。通過適當(dāng)?shù)奶幚矸绞?，該模型可以考慮宏觀尺度上的傳熱、溶質(zhì)再分配、熔體對(duì)流和等軸晶移動(dòng)以及微觀尺度上的形核、過冷和晶粒生長機(jī)制。最近，Combeau等人[8、9]提出了考慮等軸晶移動(dòng)的兩相/多尺度模型，Ludwig等人[10、11]開發(fā)了較為復(fù)雜和完善的多相模型。

2 宏觀偏析數(shù)學(xué)模型在實(shí)際鋼錠中的應(yīng)用

2.1 連續(xù)模型和體積平均模型

從1990年開始，Combeau等人[12、13]提出采用考慮熱溶質(zhì)對(duì)流作用的多組元合金凝固模型，預(yù)測(cè)了工業(yè)鋼錠的宏觀偏析(二維模擬)。該模型類似于Beckermann和Viskanta[6]建立的二元合金體積平均模型，對(duì)于多組元的考慮則體現(xiàn)在動(dòng)量守恒方程浮力項(xiàng)的改變，即在浮力項(xiàng)中引入了不同合金元素對(duì)溶質(zhì)浮力及溶質(zhì)對(duì)流的影響。模擬了6.2 t鋼錠的凝固過程，計(jì)算中考慮了8種合金元素，將預(yù)測(cè)的宏觀偏析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較[13]。針對(duì)65 t鋼錠的凝固過程進(jìn)行了模擬。圖1所示為鋼錠中心線上的碳成分偏析預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)的比較[4、12]。圖1中，名義成分C0= 0.22%，Hmax=3.8 m。在鋼錠底部區(qū)域(H/Hmax< 0.2)和頂部區(qū)域(H/Hmax> 0.75)，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好。在鋼錠中部區(qū)域(0.2

1999年，Gu和Beckermann[14]采用體積平均模型模擬了工業(yè)規(guī)模的大鋼錠(高約2.55 m，重約43 t)的凝固過程。模型考慮了熱溶質(zhì)對(duì)流，并處理了凝固收縮和冒口縮孔的形成?？紤]了11種合金元素及不同合金元素的偏析特征對(duì)液相密度的影響。采用了二維模擬，網(wǎng)格數(shù)為38×54。由于涉及多組元全耦合計(jì)算，計(jì)算所用CPU時(shí)間長達(dá)數(shù)周。圖2所示為鋼錠中心線碳成分偏析預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)的比較?？梢?，預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)表現(xiàn)出基本相同的趨勢(shì)。然而，在鋼錠下部區(qū)域(H< 1 500 mm)，預(yù)測(cè)的碳含量高于實(shí)測(cè)值。在鋼錠上部區(qū)域(H> 1 500 mm)，預(yù)測(cè)的碳含量低于實(shí)測(cè)值。該模型沒有能夠有效地預(yù)測(cè)到鋼錠底部實(shí)測(cè)的負(fù)偏析，導(dǎo)致這一誤差的主要原因是模型沒有考慮等軸晶的移動(dòng)。

2007年，Bellet等人[15]采用體積平均模型預(yù)測(cè)了熱溶質(zhì)對(duì)流作用下的宏觀偏析形成。為實(shí)現(xiàn)模型的數(shù)值求解，提出了自適應(yīng)的各向異性網(wǎng)格重構(gòu)方法。針對(duì)凝固前沿附近液相速度梯度較大的關(guān)鍵區(qū)域，采用局部細(xì)化的網(wǎng)格。對(duì)重約3 t鋼錠的凝固過程進(jìn)行了二維模擬，預(yù)測(cè)了鋼錠中的宏觀偏析。

在國內(nèi)，1995年，顧江平[16]對(duì)連續(xù)模型進(jìn)行了修改，建立了多組元低合金鋼凝固模型。在Fe-C二元合金連續(xù)模型的動(dòng)量方程浮力項(xiàng)中引入其它合金元素的影響項(xiàng)，考慮其它合金元素對(duì)枝晶間液相流動(dòng)的影響。解剖了6 t定向凝固鋼錠，將宏觀偏析預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。

圖1 65 t鋼錠中心線宏觀偏析預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Figure 1 The predicted results and experimental results of macro segregation along centerline of 65t steel ingot

圖2 43 t鋼錠中心線宏觀偏析預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Figure 2 The predicted results and experimental results of macro segregation along centerline of 43 t steel ingot

2010年，李殿中等人[17]采用連續(xù)模型預(yù)測(cè)了360 t鋼錠的宏觀偏析，并且考察了多包合澆工藝對(duì)宏觀偏析預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。

2010年，柳百成等人[18]采用連續(xù)模型對(duì)3.3 t鋼錠凝固過程的熱溶質(zhì)對(duì)流和宏觀偏析的形成進(jìn)行了三維模擬，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)吻合較好。2011年，考慮多包合澆工藝預(yù)測(cè)了300 t鋼錠的宏觀偏析[2]。

2011年，石偉等人[19、20]在Fluent軟件平臺(tái)上采用連續(xù)模型實(shí)現(xiàn)了22 t和600 t鋼錠的凝固模擬，預(yù)測(cè)得到了明顯的頂部正偏析和中心區(qū)域的通道偏析，并且研究了模型參數(shù)、合金成分以及工藝參數(shù)對(duì)宏觀偏析預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。

2.2 兩相/多尺度模型

2003年，Appolaire和Combeau[21]建立了簡(jiǎn)化的一維多尺度模型，用于預(yù)測(cè)大型鋼錠中心線上的宏觀偏析。模型描述了等軸晶的形貌演變以及等軸晶在鋼錠尺度上的宏觀運(yùn)動(dòng)。采用Stokes公式計(jì)算單個(gè)等軸晶的沉降速度。預(yù)測(cè)了65 t鋼錠中心線上的碳成分分布，并與實(shí)測(cè)進(jìn)行了比較。此外，還考察了一個(gè)重要的模型參數(shù)——等軸晶沉降的流量密度對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。

2009年，Combeau等[8]采用兩相模型預(yù)測(cè)了3.3 t鋼錠的宏觀偏析(二維模擬)。該鋼錠是一個(gè)八角形鋼錠，高2 m，平均直徑0.6 m。研究了等軸晶的形貌和移動(dòng)對(duì)鋼錠宏觀偏析形成的影響，將預(yù)測(cè)得到的鋼錠縱剖面宏觀偏析圖譜和中心線宏觀偏析曲線與實(shí)測(cè)進(jìn)行了比較。Combeau等[22]進(jìn)一步考慮等軸晶的形貌轉(zhuǎn)變，應(yīng)用兩相模型預(yù)測(cè)了3.3 t鋼錠的宏觀偏析，并與實(shí)測(cè)進(jìn)行了比較。值得注意的是，在Combeau等人[8、22]的研究中，形核模型采用的是瞬時(shí)形核模型，其中一個(gè)重要參數(shù)是初始形核密度N0。計(jì)算結(jié)果表明，在N0= 1010m-3條件下，該鋼錠中的等軸晶發(fā)生了一個(gè)明顯的形貌轉(zhuǎn)變，此時(shí)預(yù)測(cè)的宏觀偏析與實(shí)測(cè)吻合相對(duì)較好。

2010年，Combeau等人[23]采用兩相模型預(yù)測(cè)了6.2 t鋼錠的宏觀偏析，比較了鋼錠中心線和三個(gè)橫軸上的預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。研究表明，相比于等軸晶固定的情況，考慮等軸晶移動(dòng)可以獲得更好的預(yù)測(cè)結(jié)果。此外，針對(duì)模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間存在的差距，Combeau等人[23]指出了模型改進(jìn)的方向以及需要進(jìn)一步開展的實(shí)驗(yàn)和理論研究。

2012年，本文作者建立了預(yù)測(cè)鋼錠宏觀偏析的兩相模型。該模型考慮了合金凝固過程中宏觀尺度上的傳熱、傳質(zhì)、液相對(duì)流和等軸晶移動(dòng)以及微觀尺度上的過冷、形核和晶粒生長。針對(duì)大型53 t試驗(yàn)鋼錠進(jìn)行了冒口解剖和成分分析，模擬并預(yù)測(cè)了鋼錠凝固過程宏觀偏析的形成，預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較好吻合。結(jié)果表明，兩相模型考慮了等軸晶的沉降，能夠較好地描述大型鋼錠底部負(fù)偏析區(qū)、頂部正偏析區(qū)和通道偏析的形成。

3 結(jié)語

大型鋼錠宏觀偏析數(shù)值模擬是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的課題。國內(nèi)外的研究多采用比較簡(jiǎn)單的連續(xù)模型或體積平均模型。近年來，發(fā)展了考慮等軸晶移動(dòng)的兩相模型。從2009年開始，兩相模型已經(jīng)應(yīng)用到3.3 t和6.2 t鋼錠[8、23]中。最近，我們采用兩相模型預(yù)測(cè)得到了大型鋼錠(53 t)中的重要宏觀偏析模式，特別是預(yù)測(cè)得到由等軸晶沉降所導(dǎo)致的鋼錠底部“錐形”負(fù)偏析區(qū)域。然而，比較模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，目前的宏觀偏析數(shù)學(xué)模型還有待進(jìn)一步的改進(jìn)和完善。此外，針對(duì)大型鋼錠開展更加全面和細(xì)致的試驗(yàn)研究也很緊迫。

[1] 李文勝， 沈丙振， 周翔， 等. 大型鋼錠凝固過程三維數(shù)值模擬. 大型鑄鍛件， 2010(3):1-4.

[2] Liu B C, Xu Q Y, Jing T, et al. Advances in multi-scale modeling of solidification and casting processes. JOM, 2011, 63(4):19-25.

[3] Beckermann C. Modelling of future needs macrosegregation: applications and future needs. International Materials Reviews, 2002, 47(5):243-261.

[4] Lesoult G. Macrosegregation in steel strands and ingots: characterisation, formation and consequences. Materials Science and Engineering A, 2005, 413-414:19-29.

[5] Bennon W D, Incropera F P. A continuum model for momentum, heat and species transport in binary solid liquid-phase change systems-I. model formulation. International Journal of Heat and Mass Transfer, 1987, 30(10):2161-2170.

[6] Beckermann C, Viskanta R. Double-diffusive convection during dendritic solidification of a binary mixture. Physicochemical Hydrodynamics, 1988, 10(2):195-213.

[7] Ni J, Beckermann C. A volume-averaged two-phase model for transport phenomena during solidification. Metallurgical Transactions B, 1991, 22(3):349-361.

[8] Combeau H, Zaloznik M, Hans S, et al. Prediction of macrosegregation in steel ingots: influence of the motion and the morphology of equiaxed grains. Metallurgical and Materials Transactions B, 2009, 40(3):289-304.

[9] Zaloznik M, Combeau H. An operator splitting scheme for coupling macroscopic transport and grain growth in a two-phase multiscale solidification model-part I: model and solution scheme. Computational Materials Science, 2010, 48(1):1-10.

[10] Wu M, Ludwig A. Modeling equiaxed solidification with melt convection and grain sedimentation-I: model description. Acta Materialia, 2009, 57(19):5621-5631.

[11] Wu M, Fjeld A, Ludwig A. Modelling mixed columnar-equiaxed solidification with melt convection and grain sedimentation-part I: model description. Computational Materials Science, 2010, 50(1):32-42.

[12] Vannier I, Combeau H, Lesoult G. Numerical model for prediction of the final composition of heavy steel ingots // Chenot J L, Wood R D, Zienkiewicz O C. Proceedings of the 4th International Conference on Numerical Methods in Industrial Forming Processes. Rotterdam: Balkema, 1992:835-840.

[13] Vannier I, Combeau H, Lesoult G. Numerical model for prediction of the final segregation pattern of bearing steel ingots. Materials Science and Engineering A, 1993, 173:317-321.

[14] Gu J P, Beckermann C. Simulation of convection and macrosegregation in a large steel ingot. Metallurgical and Materials Transactions A, 1999, 30(5):1357-1366.

[15] Gouttebroze S, Bellet M, Combeau H. 3D macrosegregation simulation with anisotropic remeshing. Comptes Rendus Mecanique, 2007, 335(5-6):269-279.

[16] 顧江平. 定向凝固鋼錠中宏觀偏析的數(shù)值模擬及控制[博士學(xué)位論文]. 北京: 清華大學(xué)機(jī)械工程系， 1995.

[17] Liu D R, Sang B G, Kang X H, et al. Numerical simulation of macrosegregation in large multiconcentration poured steel ingot. International Journal of Cast Metals Research, 2010, 23(6):354-363.

[18] Li W S, Shen H F, Liu B C. Three-dimensional simulation of thermosolutal convection and macrosegregation in steel ingots. Steel Research International, 2010, 81(11):994-1000.

[19] Wang L, Shi W. Numerical simulation of macrosegregation during steel ingot solidification using continuum model. Journal of Shanghai Jiaotong University (Science), 2011, 16(2):145-148.

[20] 王勵(lì). 大型鋼錠凝固模擬與成分偏析預(yù)測(cè)[碩士學(xué)位論文].北京：清華大學(xué)機(jī)械工程系， 2011.

[21] Appolaire B, Combeau H. Modelling of the settling of equiaxed crystals during the solidification of large steel ingots // Stefanescu D M, Warren J, Jolly M, et al. Modeling of Casting, Welding and Advanced Solidification Processes X. Warrendale, PA: TMS, 2003:221-228.

[22] Combeau H, Kumar A, Zaloznik M. Modeling of equiaxed grain evolution and macrosegregations development in steel ingots. Transactions of the Indian Institute of Metals, 2009, 62(4-5):285-290.

[23] Kumar A, Zaloznik M, Combeau H. Prediction of equiaxed grain structure and macrosegregation in an industrial steel ingot: comparison with experiment. International Journal of Advances in Engineering Sciences and Applied Mathematics, 2010, 2(4):140-148.

[24] Li W S, Shen B Z, Shen H F, et al. Modelling of macrosegregation in steel ingots: benchmark validation and industrial application. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 2012, 33:012090.

[25] 李文勝. 基于兩相模型的大型鋼錠宏觀偏析數(shù)值模擬[博士學(xué)位論文]. 北京: 清華大學(xué)機(jī)械工程系， 2012.