朱耀庭 孫 璐 朱浩然 于棋峰
(江西省交通科學(xué)研究院1) 南昌 330038) (東南大學(xué)交通學(xué)院2) 南京 210096)
瀝青混合料是典型的流變材料,對(duì)時(shí)間和溫度有顯著的依賴性質(zhì).為研究瀝青混合料的流變特性,主要采用經(jīng)典粘彈塑性理論和經(jīng)驗(yàn)?zāi)P蛯?duì)應(yīng)力應(yīng)變曲線進(jìn)行描述[1-5].由于瀝青混合料力學(xué)特性和試驗(yàn)設(shè)備限制等因素,研究瀝青混合料與時(shí)間依賴性行為一般基于蠕變?cè)囼?yàn)方法,但在常低溫或低應(yīng)力條件下破壞階段的出現(xiàn)要經(jīng)過較長(zhǎng)的蠕變時(shí)間,往往需要提高試驗(yàn)溫度或應(yīng)力水平以保證瀝青混合料能夠達(dá)到破壞狀態(tài),因而在特定條件下準(zhǔn)確闡述瀝青混合料流變行為和獲取力學(xué)模型參數(shù)受到極大限制.本文以三軸等應(yīng)變率壓縮破壞試驗(yàn)為基礎(chǔ),分析瀝青混合料與時(shí)間依賴性本構(gòu)模型,利用相應(yīng)的優(yōu)化方法獲取模型參數(shù),并通過數(shù)值計(jì)算得出相應(yīng)的蠕變曲線,為豐富瀝青混合料與時(shí)間依賴模型和評(píng)價(jià)體系提供理論基礎(chǔ).
等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)是確定材料強(qiáng)度的主要手段,試驗(yàn)獲取的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程曲線是揭示材料力學(xué)特性的重要方法.對(duì)瀝青混合料等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)曲線[6]研究發(fā)現(xiàn),壓縮試驗(yàn)曲線與巖石Class I破壞行為描述相一致[7].圖1為典型的瀝青混合料全過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖.
圖1 瀝青混合料等應(yīng)變率全過程試驗(yàn)曲線
應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程曲線可通過可變量本構(gòu)方程對(duì)與時(shí)間依賴特性進(jìn)行表述[8-9],其基本表達(dá)式為
式中:ε為應(yīng)變;σ為應(yīng)力;λ為可變?nèi)岫龋瑃為時(shí)間.
根據(jù)壓縮試驗(yàn)曲線可將總的應(yīng)變表示為線彈性應(yīng)變?chǔ)?和非線性粘性應(yīng)變?chǔ)?之和,即如圖2所示的非線性Maxwell模型.建立本構(gòu)模型的關(guān)鍵為在材料的破壞進(jìn)行過程中,粘性流動(dòng)呈非線性增加,且增加的速率可以表示為應(yīng)力函數(shù)g(σ)和應(yīng)變函數(shù)f(ε2)的乘積,即
圖2 非線性Maxwell模型
從臨近強(qiáng)度破壞點(diǎn)時(shí),非線性粘性應(yīng)變?chǔ)?的增加起到主導(dǎo)作用,而在開始階段的線彈性模量起主要作用.因此,要構(gòu)建強(qiáng)度破壞點(diǎn)以后材料力學(xué)行為,必須考慮柔度的增加,假定柔度有如下關(guān)系式
式中:A,n,m為常數(shù).n的變化范圍為n≥1;m為應(yīng)力-應(yīng)變曲線形狀參數(shù).可見,當(dāng)n=1時(shí),可變模量的變化率dλ/dt與應(yīng)力σ成正比,則為牛頓流體.
在等應(yīng)變率試驗(yàn)過程中,假定應(yīng)變率˙ε=C,C為常數(shù),式(1)可寫為
代入式(3),并考慮初值條件t=0時(shí),λ=λ0,當(dāng)m≠n+1時(shí),通過積分可推導(dǎo)出
將式(6)進(jìn)行轉(zhuǎn)化可以得出在相同柔度條件下,應(yīng)力和C1/(n+1)成正比,這可以闡述在應(yīng)變率C值小時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線被C值大時(shí)所包裹的現(xiàn)象[8].m<0為應(yīng)變硬化,m>0為應(yīng)變軟化;而當(dāng)m=n+1時(shí),則表現(xiàn)為脆性破壞[10].在m>0時(shí),由式(5)在dσ/dε=0條件下可求解出強(qiáng)度σc的表達(dá)式為
可見,強(qiáng)度σc隨應(yīng)變率C的增加而增加,且與C1/(n+1)成正比.
在蠕變?cè)囼?yàn)中,應(yīng)力保持一定σ=σ0,在t=0時(shí),σ=σ0,λ=λ0,ε=ε0=λ0σ0,當(dāng)m≠n+1時(shí),代入式(3)推導(dǎo)可得
可見,在m>1時(shí),在一定時(shí)間范圍內(nèi),蠕變方程的1次和2次導(dǎo)數(shù)函數(shù)是時(shí)間t的單調(diào)增加函數(shù).文獻(xiàn)[8]通過試驗(yàn)觀測(cè)假定在進(jìn)入第3階段后,應(yīng)變率和蠕變殘存壽命tc成反比.文獻(xiàn)[10]定義蠕變方程對(duì)時(shí)間的1次導(dǎo)數(shù)為0可推導(dǎo)出蠕變流動(dòng)時(shí)間如式(11)所示.
值得指出的是,式(11)所表示的是蠕變方程在實(shí)數(shù)域內(nèi)的最大值,僅存在數(shù)學(xué)上的意義,若用于實(shí)際蠕變?cè)囼?yàn)描述不符合實(shí)際.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可見,在應(yīng)變達(dá)到2%~3%時(shí),大多數(shù)瀝青混合料都已達(dá)到破壞狀態(tài),因此,本文以應(yīng)變2%左右時(shí)為蠕變終止時(shí)刻,探討蠕變曲線的發(fā)展規(guī)律.
三軸等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)是一種經(jīng)典的試驗(yàn)方法,能夠模擬結(jié)構(gòu)中材料的受力狀態(tài),與實(shí)際路面的三向受力條件相符合.試驗(yàn)設(shè)備采用萬能材料試驗(yàn)系統(tǒng)(UTM-25),試驗(yàn)中將試件放在三軸壓力室內(nèi),通過控制高壓氣體對(duì)試件施加圍壓,使得試件處于各向等壓應(yīng)力狀態(tài);激振器通過活塞施加軸向壓力,在軸向產(chǎn)生偏應(yīng)力(三軸試驗(yàn)見圖3).試驗(yàn)中以位移為控制條件,按照一定的速率施加軸向荷載,軸向偏應(yīng)力隨時(shí)間先逐漸增大,直至達(dá)到應(yīng)力峰值后逐漸下落,此時(shí)試件已發(fā)生了剪切破壞.
圖3 瀝青混合料三軸試驗(yàn)示意圖
本文選取中面層Sup20瀝青混合料作為研究對(duì)象,集料采用石灰?guī)r,填料采用石灰?guī)r礦粉,膠結(jié)料采用AH-70基質(zhì)瀝青,瀝青用量為4.2%,瀝青膠結(jié)料性質(zhì)和混合料配合比分別見表1和圖4.
表1 瀝青性質(zhì)
圖4 Sup20級(jí)配曲線
瀝青混合料的壓縮強(qiáng)度、應(yīng)力應(yīng)變曲線特性與加載速率有密切關(guān)系,參考國(guó)外研究經(jīng)驗(yàn)[11],加載應(yīng)變速率C=1.27mm/min(0.05in/min);為考慮中面層在車輛荷載作用下實(shí)際的側(cè)向受力狀態(tài),通過路面力學(xué)軟件計(jì)算確定圍壓水平為138kPa(20psi)[12];同時(shí)為了考慮不同溫度條件的影響,選取了25,40和55℃作為比較.瀝青混合料試件為高150mm、直徑100mm的圓柱體,經(jīng)旋轉(zhuǎn)壓實(shí)成型后鉆心而得.
本構(gòu)模型有A,n,m和λ0等4個(gè)未知參數(shù),在已知試驗(yàn)數(shù)據(jù)的條件下,可通過本構(gòu)方程獲取模型參數(shù).若通過式(1)和(3)的關(guān)系式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合較為簡(jiǎn)單,但涉及離散試驗(yàn)數(shù)據(jù)的求導(dǎo)問題,在試算的過程中,實(shí)際試驗(yàn)采集的數(shù)據(jù)由于精度和存儲(chǔ)等因素?cái)M合效果較差,無法確定模型參數(shù);若直接利用式(5)和式(6)對(duì)等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合,這一方法遇到的問題是目標(biāo)函數(shù)非常復(fù)雜,難以通過一般的方法獲取參數(shù),即便采用智能優(yōu)化算法結(jié)果也不理想.因此,本文結(jié)合以上因素,采用2.2計(jì)算思想,先通過試算的方法得出參數(shù)的初值,再利用基于Levenberg-Marquardt(L-M)法的非線性擬合方法得出模型參數(shù)[13].
σ(t)為試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù),其函數(shù)可由離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)(εi,σ(ti))(i=1,2,…,r)給出,若要求擬合函數(shù)σ*(ε,A,m,n,λ0)逼近試驗(yàn)數(shù)據(jù)σ(t),則目標(biāo)函數(shù)表示Φ(A,m,n,λ0)為
L-M法則在迭代過程中對(duì)近似Hessian矩陣的牛頓法引入一個(gè)阻尼系數(shù),若該系數(shù)值為零時(shí)即為牛頓法,而當(dāng)系數(shù)值很大時(shí),就成為較小步長(zhǎng)的最速梯度下降法.每次迭代成功后,系數(shù)值要減少,而迭代使目標(biāo)函數(shù)增加時(shí),系數(shù)值增大,這樣每次迭代后目標(biāo)函數(shù)都是下降的.因此,L-M法具有收斂速度快等優(yōu)點(diǎn).
通過以上計(jì)算方法,本構(gòu)模型的擬合曲線和模型參數(shù)見圖5和表2.
圖5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線
由于公式表達(dá)式復(fù)雜,難以直觀地判斷出模型各參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響,通過實(shí)際的數(shù)值計(jì)算,可以定性地描述出模型參數(shù)的敏感性.參數(shù)λ0對(duì)破壞前的曲線斜率有決定性作用,只有取值合適才能正確地描述出破壞前材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線;參數(shù)A可以一定程度上決定破壞點(diǎn)的取值,但必須與n,m參數(shù)大小共同作用;對(duì)曲線起至關(guān)重要作用的是參數(shù)n,m,由于這2個(gè)參數(shù)構(gòu)成了指數(shù)方程,表達(dá)方式較為復(fù)雜,即使在微小變化的條件下會(huì)出現(xiàn)曲線突變現(xiàn)象,同時(shí)這兩個(gè)參數(shù)決定了破壞后曲線的斜率和走勢(shì).因此,在獲取參數(shù)時(shí),對(duì)試驗(yàn)曲線進(jìn)行試算是極為關(guān)鍵的,直接關(guān)系到最終的擬合效果.
表2 本構(gòu)模型參數(shù)
通過等應(yīng)變率壓縮試驗(yàn)獲取本構(gòu)模型參數(shù)的基礎(chǔ)上,利用式(8)可計(jì)算出在特定應(yīng)力水平下瀝青混合料的蠕變行為,具體的蠕變曲線如圖6所示.
圖6 不同條件下計(jì)算蠕變曲線
由圖6可知,計(jì)算得出的蠕變曲線在開始一段時(shí)期內(nèi)趨于線性,而后斜率逐漸增大,并最終計(jì)算結(jié)果將出現(xiàn)復(fù)數(shù)的情況.曲線不同階段經(jīng)歷的時(shí)間與應(yīng)力、溫度等條件相關(guān),在高溫度和高應(yīng)力條件時(shí)達(dá)到一定應(yīng)變條件時(shí)所需時(shí)間較短,這與蠕變?cè)囼?yàn)的結(jié)果相一致的.與經(jīng)典的蠕變?cè)囼?yàn)曲線相比,計(jì)算曲線可以很好地描述蠕變的第二和第三階段,即蠕變穩(wěn)定期和破壞期,且穩(wěn)定期所經(jīng)歷的時(shí)間與溫度和應(yīng)力相關(guān),隨溫度和應(yīng)力的增加穩(wěn)定期所經(jīng)歷的時(shí)間逐漸減少.然而,計(jì)算蠕變曲線對(duì)第一階段即遷移期不能較好地進(jìn)行表述,這是由于式(8)表達(dá)式的數(shù)學(xué)性質(zhì)決定的.式(8)為一個(gè)冪函數(shù),自變量時(shí)間t位于底數(shù)位置,時(shí)間t從0開始增加時(shí),一定范圍內(nèi)蠕變斜率趨于常數(shù),由式(9)可得,其斜率可近似地表示為
只有當(dāng)時(shí)間t增加到一定階段后,蠕變曲線的斜率才會(huì)發(fā)生巨大變化.因此,若要描述第一階段需要對(duì)蠕變方程進(jìn)行修正.
1)瀝青混合料在等應(yīng)變率壓縮直至破壞的過程中,力學(xué)行為表現(xiàn)出與時(shí)間依賴的特性,同時(shí)破壞形式為Class I型.以粘性流動(dòng)為出發(fā)點(diǎn),引入等應(yīng)變率非線性粘彈性本構(gòu)模型,通過室內(nèi)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證表明,該模型可以對(duì)瀝青混合料等應(yīng)變率壓縮行為進(jìn)行描述.
2)可變量本構(gòu)模型對(duì)瀝青混合料破壞后材料力學(xué)行為有較好的描述,并可以通過模型的方程獲取材料的壓縮破壞強(qiáng)度.計(jì)算蠕變曲線能較好地闡述穩(wěn)定第二階段和破壞第三階段蠕變曲線,但需要指出的是,本文的模型對(duì)蠕變第一階段的描述不太明顯,需要進(jìn)一步的改進(jìn)和提高.
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