偏心受壓圓截面鋼筋混凝土細(xì)長(zhǎng)柱的計(jì)算

王依群 ，許貽懂

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)港口與海洋工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；3. 深圳市建筑設(shè)計(jì)研究總院有限公司，深圳 518031)

工程上按照長(zhǎng)細(xì)比的大小將鋼筋混凝土柱分為3種類型：短柱(指0lh≤5的柱，0l是柱計(jì)算長(zhǎng)度、h是柱截面高度，對(duì)圓形截面h就是截面直徑d)、中長(zhǎng)柱(5＜0lh≤30)和細(xì)長(zhǎng)柱(0lh＞30)[1-4]．3類柱中，對(duì)短柱不需考慮附加彎矩的影響，而對(duì)于長(zhǎng)柱(包括中長(zhǎng)柱和細(xì)長(zhǎng)柱)，則應(yīng)考慮附加彎矩對(duì)承載力降低的影響．

近年來(lái)，隨著高強(qiáng)混凝土和高強(qiáng)鋼筋在工程中的應(yīng)用，使鋼筋混凝土柱的截面尺寸日益減小，特別是建筑師追求建筑奇特和個(gè)性化，躍層柱已不鮮見(jiàn)，使得柱長(zhǎng)細(xì)比越來(lái)越大，很多達(dá)到了細(xì)長(zhǎng)柱的范疇，這一發(fā)展趨勢(shì)使縱向彎曲對(duì)構(gòu)件承載力的影響更加顯著，增大了受壓柱失穩(wěn)破壞的危險(xiǎn)性[5]．

文獻(xiàn)[6]給出了矩形截面混凝土細(xì)長(zhǎng)柱配筋的手算與查表法，文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[6]基礎(chǔ)上提出了適合我國(guó)設(shè)計(jì)規(guī)范[1]的電算方法并編制了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件．

參照文獻(xiàn)[6,3]的做法，筆者為防止圓截面混凝土細(xì)長(zhǎng)柱失穩(wěn)破壞，提出了符合我國(guó)設(shè)計(jì)規(guī)范[1]建議采用的模型柱法的配筋計(jì)算公式和計(jì)算機(jī)軟件編制流程，以保證該類柱的安全可靠和方便設(shè)計(jì)．

1 問(wèn)題的提出

截面尺寸和強(qiáng)度均相同的 3類柱(短柱 C、中長(zhǎng)柱A和細(xì)長(zhǎng)柱B)，受壓的偏心距0e相同時(shí)，隨著長(zhǎng)細(xì)比的增大，其承載力依次降低(見(jiàn)圖1)．

圖1 偏心受壓柱N-M曲線Fig.1 N-M curves for column under eccentric compression

《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB50010-2002[1]對(duì)短柱和中長(zhǎng)柱給出了配筋計(jì)算公式，對(duì)細(xì)長(zhǎng)柱給出了設(shè)計(jì)思想，體現(xiàn)在第 7.3.10條的條文說(shuō)明中：“值得指出，公式(7.3.10-1)對(duì)0lh≤30時(shí)，與試驗(yàn)結(jié)果符合較好；當(dāng)0lh＞30時(shí)，因控制截面的應(yīng)變值減小，鋼筋和混凝土達(dá)不到各自的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，屬于細(xì)長(zhǎng)柱，破壞時(shí)接近彈性失穩(wěn)，采用公式(7.3.10-1)計(jì)算，其誤差較大；建議采用模型柱法或其他可靠方法計(jì)算”．筆者按照模型柱法公式對(duì)圓截面細(xì)長(zhǎng)柱進(jìn)行配筋的．新的《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB50010—2011仍然只給出了短柱和中長(zhǎng)柱的配筋計(jì)算公式，未給出細(xì)長(zhǎng)柱的配筋計(jì)算公式，甚至在正文或條文說(shuō)明中既未給出中長(zhǎng)柱的上限，也未提醒設(shè)計(jì)人員細(xì)長(zhǎng)柱存在失穩(wěn)破壞的危險(xiǎn)性．

受力時(shí)短柱和中長(zhǎng)柱會(huì)發(fā)生強(qiáng)度破壞，而細(xì)長(zhǎng)柱發(fā)生失穩(wěn)破壞(見(jiàn)圖 1)．本文建議的有關(guān)細(xì)長(zhǎng)柱的計(jì)算方法針對(duì)的是失穩(wěn)破壞．因?yàn)殇摻罨炷翗?gòu)件是明顯的彈塑性材料構(gòu)件，強(qiáng)度破壞肯定早已進(jìn)入了彈塑性，《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》該條的條文說(shuō)明“當(dāng)l0h＞30時(shí)，因控制截面的應(yīng)變值減小，鋼筋和混凝土達(dá)不到各自的強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，屬于細(xì)長(zhǎng)柱，破壞時(shí)接近彈性失穩(wěn)，”即《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》明確是彈性失穩(wěn)破壞．近年的矩形截面大長(zhǎng)細(xì)比鋼筋混凝土柱承載力試驗(yàn)[5]表明，當(dāng)長(zhǎng)細(xì)比 l0h≥25時(shí)，如使用《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》正文中的計(jì)算公式則會(huì)得出明顯偏小的配筋結(jié)果．因此，該文建議當(dāng)0lh≥25宜用模型柱法進(jìn)行配筋計(jì)算．文獻(xiàn)[5]中試件 6比試件 1配筋率約增加了 20.9%，混凝土強(qiáng)度相近，但因長(zhǎng)細(xì)比從20增加到25，試件極限承載力反而降低了27.4%，由此可看出，柱長(zhǎng)細(xì)比超過(guò)某值后(即桿件穩(wěn)定起控制時(shí))，隨長(zhǎng)細(xì)比增大，柱承載力急劇下降的趨勢(shì)．本文算例也表明，防止失穩(wěn)破壞要比規(guī)范給出的方法增加很多配筋．

2 單向偏心受壓長(zhǎng)柱配筋計(jì)算的模型柱法

細(xì)長(zhǎng)柱產(chǎn)生偶然初始偏心的可能性比短柱要大得多，如我國(guó)規(guī)范[1]規(guī)定長(zhǎng)柱最小初始偏心距應(yīng)不小于h/30和20,mm的較大值，從而細(xì)長(zhǎng)柱更不大可能有真正的中心受壓情況，因此，下面假定細(xì)長(zhǎng)柱在偏心壓力作用下產(chǎn)生彎曲．

模型柱是具有某一曲率(正弦曲線)分布的一根底端固接的懸臂柱(見(jiàn)圖 2)．失穩(wěn)破壞時(shí)，曲率分布必須滿足規(guī)定的條件，即懸臂柱頂?shù)膫?cè)向位移(由柱底處切線量起)必須滿足

式中：f為柱頂側(cè)向位移；s為柱長(zhǎng)，等于 2l (l為基本長(zhǎng)柱的長(zhǎng)度，基本長(zhǎng)柱是指兩端鉸支且變形滿足正弦曲線的長(zhǎng)柱．基本長(zhǎng)柱的長(zhǎng)度指兩鉸支點(diǎn)間的距離，本文中柱的計(jì)算長(zhǎng)度與此相同)；1/r是柱底截面曲率．

實(shí)際結(jié)構(gòu)中的柱均可按支承約束條件分解成若干個(gè)模型柱來(lái)計(jì)算．工程中柱的上、下端彎矩往往是不相等的，許多情況下甚至是彎矩反號(hào)的，這時(shí)可根據(jù)柱上、下端彎矩確定柱的反彎點(diǎn)位置，兩反彎點(diǎn)之間的距離即標(biāo)準(zhǔn)柱(圖3中基本長(zhǎng)柱)的長(zhǎng)度．

圖 3所示的基本長(zhǎng)柱可分解為兩個(gè)模型柱．因此，破壞時(shí)基本長(zhǎng)柱中(或模型柱頂(底))點(diǎn)截面處的變位為

在柱頂彎矩1M、柱頂位移f與柱頂壓力 N的附加作用下，柱底截面的總彎矩為

式中：M1是一階彎矩；M2是附加(二階)彎矩，M2= N f．

圖2 模型柱Fig.2 Model column

圖3 基本長(zhǎng)柱分解為兩個(gè)“模型柱”Fig.3 A basic slender column is decomposed to two model columns

使用柱底截面的總彎矩M和柱底截面的軸力，再結(jié)合規(guī)范[1]給出的偏心壓力作用下各種形狀截面短柱受彎承載力公式即可計(jì)算該細(xì)長(zhǎng)柱的配筋．

由于圓截面的對(duì)稱性，可取其所受彎矩矢量最大的方向進(jìn)行配筋計(jì)算．

截面高度為h的柱底截面曲率表達(dá)式[3]為

式中 v = N ( fcA)，其中N為柱受到的軸向壓力，fc為混凝土抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值，A為柱截面積．

對(duì)于圓形截面柱，文獻(xiàn)[7]經(jīng)過(guò)精細(xì)計(jì)算與實(shí)際工程測(cè)量給出的曲率公式中，截面高度h取為圓截面有效高度，即 d-a，這里 d為圓截面直徑、a為縱向鋼筋半徑加上保護(hù)層厚度．本文參照文獻(xiàn)[7]的做法．

3 偏心受壓圓截面中長(zhǎng)柱配筋的計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)

混凝土設(shè)計(jì)規(guī)范[1]7.3.8條給出了沿周邊均勻配置縱向鋼筋的圓形截面中長(zhǎng)柱和短柱偏心受壓柱承載力計(jì)算公式，即

式中各符號(hào)的意義見(jiàn)文獻(xiàn)[1]．取式(6)中偏心距增大系數(shù)1η=即得到短柱的偏心受壓承載力．

式(5)～式(7)與規(guī)范[1]的上一版本(89規(guī)范)的區(qū)別在于用cf代替了cmf(混凝土彎曲受壓強(qiáng)度)，即現(xiàn)行規(guī)范設(shè)計(jì)的安全度略有提高．文獻(xiàn)[8]在 89規(guī)范的式(5)～式(7)基礎(chǔ)上提出了簡(jiǎn)化方法，CRSC軟件[9]將文獻(xiàn)[8]方法在計(jì)算機(jī)軟件上加以實(shí)現(xiàn)，其中混凝土強(qiáng)度采用cf，使偏心受壓圓截面中長(zhǎng)柱和短柱(1η=)承載力計(jì)算可以得到快速完成．

4 偏心受壓圓截面細(xì)長(zhǎng)柱配筋的計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)

對(duì)于圓形截面細(xì)長(zhǎng)柱，取出結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析得到的柱標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)力進(jìn)行組合，地震作用組合時(shí)要進(jìn)行抗震內(nèi)力調(diào)整得到前述的一階彎矩1M；根據(jù)柱上、下端約束情況確定模型柱計(jì)算長(zhǎng)度；用式(4)根據(jù)所用材料特性計(jì)算柱底截面曲率；用式(2)計(jì)算模型柱頂位移；使用柱頂壓力值 N和模型柱頂位移算出二階彎矩2M．將1M、2M相加得到柱底截面的總彎矩M，用此M代替式(6)中的iNeη，地震作用組合時(shí)式(5)、式(6)左端應(yīng)乘承載力抗震調(diào)整系數(shù)REγ．求解方程組(5)～式(7)，即可得到需要的配筋結(jié)果．使用文獻(xiàn)[7]的方法求解方程組，將以上步驟編制計(jì)算機(jī)程序就是 CRSC軟件實(shí)現(xiàn)偏心受壓圓截面細(xì)長(zhǎng)柱配筋的過(guò)程．

下面用算例來(lái)分析 CRSC軟件與式(5)～式(7)計(jì)算結(jié)果之間的差異．

5 細(xì)長(zhǎng)柱工程算例分析

7度(0.15g)設(shè)防，Ⅱ類場(chǎng)地，3跨3開(kāi)間柱網(wǎng)，兩方向相鄰軸線距離均為 3.3,m．層高 4,m，共 10層，各層平面如圖 4所示．所有柱截面直徑為 0.4,m，梁截面尺寸均為 0.25,m×0.45,m．C25混凝土，鋼筋強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為300,N/mm2．基本風(fēng)壓：W0＝0.30,kN/m2；地面粗糙程度：B類；體形系數(shù)：1.30．

按照梁柱線剛度比(混凝土規(guī)范 7.3.11-3條)確定柱的計(jì)算長(zhǎng)度過(guò)程為：柱截面慣性矩Ic＝πd464＝π 0 .4464＝0.001,257,m4．由層高數(shù)據(jù)可算出單層柱和躍三層柱的線剛度分別為：ic1＝Ic,Ec/4＝0.000,314,2,Ec；ic3＝Ic,Ec/12＝0.000,104,7,Ec．梁截面慣性矩 Ib＝0.25×0.453/12＝0.001,898,m4．梁的線剛度 ib＝Ib,Ec/3.3＝0.000,575,Ec．

圖4 結(jié)構(gòu)平面圖Fig.4 Structural plane

計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)

CRSC采用軟件SATWE柱計(jì)算長(zhǎng)度的記法：對(duì)于躍層柱，這里的“柱長(zhǎng)度”是柱所在當(dāng)前(一個(gè)樓層的)樓層高．比如一個(gè)跨越 3層的躍(越)層柱，記它所在3層的層高分別為h1、h2、h3，程序首先根據(jù)層信息將躍層柱接成一個(gè)完整的柱(其長(zhǎng)度為 H＝h1＋h2＋h3)，根據(jù)此完整柱本身線剛度和其上、下兩端梁的線剛度計(jì)算出該柱x或y方向的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)(分別記為 Cx和 Cy)，則對(duì)于第 i層(i＝1、2、3)柱段，有Cxi＝Cx×H/bi、Cyi＝Cy×H/hi．該柱在 4、5、6 層的長(zhǎng)度系數(shù)為 Cyi＝Cy×H/hi＝1.0541×12/4＝3.16．

于是該柱的計(jì)算長(zhǎng)度為1.054 1×12＝12.648 m，lh＝12.648/0.4＝31.62超出了混凝土規(guī)范公式(7.3.10)的適用范圍．

以下用手算 4層 6號(hào)柱的配筋，并對(duì) CRSC計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)．經(jīng)計(jì)算恒載、活載和風(fēng)載組合對(duì)該柱配筋起控制作用．采用2009年10月版本SATWE軟件計(jì)算得到該柱下端恒載、活載和風(fēng)載下的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)力(軸力、彎矩)如表1所示．

表1 柱下端標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)力Tab.1 Normal inner forces for column’s down section

經(jīng)計(jì)算該柱配筋由 21號(hào)內(nèi)力組合控制，內(nèi)力組合式為：1.2恒＋0.98活－1.4風(fēng)(x向)．得到設(shè)計(jì)內(nèi)力如下：

因截面雙軸對(duì)稱，可簡(jiǎn)化為只計(jì)算第一象限情況，即雙軸彎矩均取其絕對(duì)值．內(nèi)力代入以上公式可得

模型柱頂點(diǎn)的變位為

再求出偏心距與截面有效半徑的比值，即文獻(xiàn)[8]中的ηeirs＝1.55，據(jù)此查文獻(xiàn)[8]圖3可得混凝土柱截面對(duì)應(yīng)于受壓面積的圓心角與 2π的比近似值α＝0.45，參數(shù)s＝ fyAs( fcA)＝1，截面全部縱向鋼筋面積 As＝ fcAsfy＝4,985,mm2．以此作為初值代入式(5)～式(7)手算復(fù)核，迭代至α＝0.445、As＝4 985,mm2時(shí)，式(5)、式(6)右端分別為 711.98 kN、197.4 kN·m均與柱受到的N、M相近．

將 As＝4 985,mm2按縱筋沿截面周邊配置，且間距不大于 200,mm，可配置6根直徑36,mm的鋼筋，再按文獻(xiàn)[8]進(jìn)行保護(hù)層厚度的修正sA＝4,985×0.86/0.76＝5,642,mm2，實(shí)際配筋量 6,107.4,mm2．

軟件 CRSC的配筋結(jié)果為：柱計(jì)算長(zhǎng)度 12.648 m，長(zhǎng)細(xì)比 31.62，控制內(nèi)力組合號(hào)為 21，縱向配筋為6,Φ,36(6,107.4,mm2)，與以上手算結(jié)果相同．

軟件SATWE算出此柱的長(zhǎng)度系數(shù)為2.05，配筋結(jié)果為：截面全部縱向鋼筋面積 As＝2,248,mm2，只有以上按模型柱法配筋結(jié)果 As＝5,642,mm2的 40%；經(jīng)人工修改此柱的長(zhǎng)度系數(shù)為 3.16后，此柱的配筋結(jié)果為：截面全部縱向鋼筋面積 As＝4,991,mm2，比以上按模型柱法配筋結(jié)果As＝5,642,mm2少12%．

此外，本例的邊柱計(jì)算長(zhǎng)度更大，CRSC計(jì)算結(jié)果是配筋率超過(guò) 5%的最大配筋率限值，而 SATWE仍給出了配筋結(jié)果，而未給出超筋的提示，顯然其配筋面積偏小了．配筋偏小的原因是軟件SATWE使用規(guī)范[1]中長(zhǎng)柱計(jì)算公式對(duì)細(xì)長(zhǎng)柱進(jìn)行配筋，造成了安全隱患．

6 結(jié) 語(yǔ)

由于過(guò)去鋼筋混凝土細(xì)長(zhǎng)柱應(yīng)用不普遍，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[1]未給出其設(shè)計(jì)方法，只是在條文說(shuō)明中給出了細(xì)長(zhǎng)柱的界定，并建議用模型柱法進(jìn)行設(shè)計(jì)．圓截面短柱、中長(zhǎng)柱配筋公式非常復(fù)雜，細(xì)長(zhǎng)柱更為不易，為此，本文給出了計(jì)算公式并列出了軟件實(shí)現(xiàn)的步驟和實(shí)例．隨著材料強(qiáng)度的提高和躍層柱的應(yīng)用，細(xì)長(zhǎng)柱已不鮮見(jiàn)，如果設(shè)計(jì)中將細(xì)長(zhǎng)柱當(dāng)作中長(zhǎng)柱處理，將造成安全隱患．筆者根據(jù)細(xì)長(zhǎng)柱的概念和模型柱法的設(shè)計(jì)過(guò)程，編制了計(jì)算機(jī)軟件．通過(guò)一工程算例手算與軟件電算結(jié)果的對(duì)比表明：按規(guī)范正文中長(zhǎng)柱的公式計(jì)算細(xì)長(zhǎng)柱配筋則結(jié)果偏小很多；本文軟件準(zhǔn)確可靠，為保障結(jié)構(gòu)安全和方便設(shè)計(jì)提供了條件．

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