概率聯(lián)系數(shù)化的原理及其在概率推理中的應(yīng)用

趙森烽，趙克勤

(1.浙江工業(yè)大學(xué)之江學(xué)院 理學(xué)系，浙江杭州 310024;2.諸暨市聯(lián)系數(shù)學(xué)研究所，浙江 諸暨 311811;3.浙江大學(xué)非傳統(tǒng)安全與和平發(fā)展研究中心，浙江杭州 310058)

不確定性是人工智能面臨的挑戰(zhàn)之一［1］.目前處理不確定性的成熟的數(shù)學(xué)理論是概率論，而概率是概率論的基石［2］.

集對分析(set pair analysis，SPA)是一種新的處理不確定性的系統(tǒng)數(shù)學(xué)理論，已得到廣泛應(yīng)用［3-13］，聯(lián)系數(shù)是其中的基本數(shù)學(xué)工具.文獻［14］最早指出集對分析與概率論的聯(lián)系和區(qū)別，主要區(qū)別在于:概率論側(cè)重于從“不確定性可以在一定條件下(例如讓隨機試驗次數(shù)n→∞)加以確定”這一角度來描述和分析隨機不確定性，而SPA同時從“不確定性可以在一定條件下加以確定”以及“不確定性的本質(zhì)是不確定的，必須加以客觀承認”這2個方面來描述和分析不確定性.文獻［5］又指出經(jīng)典概率統(tǒng)計理論中的概率僅與聯(lián)系數(shù)中的同一度等價.文獻［15］指出了概率聯(lián)系數(shù)化的可行性和必要性，可行性是指概率P是一個在［0，1］取值的實數(shù)，因而可以聯(lián)系數(shù)化成P+(1－P)i;另一方面，把概率P聯(lián)系數(shù)化成聯(lián)系數(shù)P+(1－P)i也是必要的，因為概率是從宏觀層次上對隨機不確定性的數(shù)學(xué)描述，所以顯示出隨機不確定性的確定性;但在微觀層次上，隨機不確定性其本質(zhì)是不確定的，因此，當需要同時從宏觀與微觀2個層次上考慮隨機不確定性的程度、作用和影響時，把概率P聯(lián)系數(shù)化成P+(1－P)i就顯得完全必要.此外文獻［15］還指出，把概率用聯(lián)系數(shù)的形式表示在理論和實踐上都有重要的意義.

本文在上述工作的基礎(chǔ)上進一步用實驗闡明概率聯(lián)系數(shù)化的原理，定義隨機試驗中具有隨機性的事件為隨機事件，借助實驗說明事件的隨機性來自事物與事物的聯(lián)系，隨機事件因此成對存在.但可以根據(jù)某種準則(例如關(guān)注程度、出現(xiàn)的先后、參考事件的設(shè)定等)分為主事件和伴隨事件，由此又導(dǎo)出主概率和伴隨概率，它們分別對應(yīng)于主事件發(fā)生的大數(shù)概率(隨機試驗中次數(shù)頻率穩(wěn)定性的概率)和主事件的即或概率(隨機試驗中主事件不發(fā)生但伴隨事件發(fā)生的概率).用聯(lián)系數(shù)表示主事件的大數(shù)概率和主事件的即或概率，稱此聯(lián)系數(shù)為聯(lián)系概率(復(fù)概率)，聯(lián)系概率(復(fù)概率)中的i是主事件和伴隨事件在隨機試驗過程中相互轉(zhuǎn)換的紐帶，最后用實例說明聯(lián)系概率(復(fù)概率)在概率推理中的應(yīng)用.

1 概率的聯(lián)系數(shù)表示

聯(lián)系數(shù)是集對分析中給出的一個概念，其基本形式［13］是

式中:a，b∈［0，1］，a+b=1，i∈［－1，1］.

1.1 大數(shù)概率與即或概率

1.1 .1 大數(shù)概率

定義1 設(shè)A表示隨機事件，則A在某次隨機試驗中發(fā)生的可能性大小稱為概率，用P(A)表示，0≤P(A)≤1.基于概率論中的大數(shù)定律可知，P(A)是A在隨機試驗次數(shù)n趨于無窮大時A出現(xiàn)的頻率(k為A出現(xiàn)的頻數(shù))的近似值，本文把這種基于大數(shù)定律的概率稱為隨機事件A的大數(shù)概率，簡稱概率.

1.1 .2 即或概率

定義2 若隨機事件A在某次隨機試驗中發(fā)生的概率為P(A)，0≤P(A)≤1，則A在某次隨機試驗中不發(fā)生而發(fā)生的可能性大小1－P(A)稱為A的即時或然概率，簡稱即或概率.

1.2 概率的聯(lián)系數(shù)表示

根據(jù)文獻［13］，隨機事件A在某次隨機試驗中發(fā)生的可能性大小P(A)與不發(fā)生的可能性大小1－P(A)可以聯(lián)系數(shù)化為

式中:Pc(A)表示聯(lián)系數(shù)意義下事件A在某次隨機試驗中發(fā)生的可能性大小P(A)(A的大數(shù)概率)與不發(fā)生的可能性大小1－P(A)(A的即或概率)的聯(lián)系和(也稱聯(lián)系概率)，其原理和定義將在下文闡述.

2 隨機性的來源與隨機事件

2.1 實驗

設(shè)一盒子里僅裝有a個白球(a≥1)，令事件A是“任抽一個球是白球”，顯然 A是必然事件，即P(A)=1.現(xiàn)在向盒子中放入b個黑球(b≥1)，這時的事件 A就從必然事件變?yōu)殡S機事件，相應(yīng)的P(A)=1變?yōu)镻(A)＜1.

從以上實驗中得到以下結(jié)論.

1)基于現(xiàn)象的結(jié)論.事件A的隨機性來自于盒子中加入了另一種顏色的球.因為實驗表明:當盒子中只有白球時，事件A“任抽一個球是白球”是必然事件;但當盒子中加入黑球后，事件A就成為了隨機事件，這說明事件A的隨機性來自于黑球.

2)對現(xiàn)象進行抽象后的結(jié)論.事件的隨機性來自2個事物的聯(lián)系，是事物聯(lián)系的一種屬性.因為實驗表明:當盒子中只有一種顏色的球時，事件A“任抽一個球是白球”是必然事件;但當盒子中加入另一種顏色的球后，事件A就成為了隨機事件，這說明事件A的隨機性來自于2個事物間的聯(lián)系.

結(jié)論2)可以較為規(guī)范地表述為:事件A的隨機性源自于隨機試驗中2個互不相容事件A與的一種聯(lián)系.由此得到了一個新的隨機事件定義.

2.2 隨機事件

2.2 .1 隨機事件的定義

定義3 具有隨機性的事件稱為隨機事件.

已有的概率統(tǒng)計文獻把隨機事件定義為可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的事件［2，16］，這是人們對于事件的隨機性停留在現(xiàn)象表面的一種認識.這種認識雖然具有客觀性，但容易引導(dǎo)人們把注意力集中于一個事件上，而忽視了與這一事件密切相關(guān)的另一事件，進而忽視這2個事件的相互關(guān)系.事實上，正是由于2個不同事物的同時存在，并由這2個事物引發(fā)的2個互不相容事件的相互關(guān)系導(dǎo)致了隨機性.當然，在忽視了事件的隨機性的來源以后，也就無需對這2個隨機事件出現(xiàn)與否的影響因素進行分析.

由定義3易得出以下推論.

推論 隨機事件必具有隨機性.

證明 用反證法，設(shè)隨機事件沒有隨機性，但這與定義2相矛盾，所以隨機事件必具有隨機性.

2.2 .2 隨機事件成對存在定理

定理 任一隨機試驗中的隨機事件成對存在.

證明 設(shè)事件A是某一隨機試驗中的隨機事件，根據(jù)定義1和前述推論可知，該隨機事件A必具有隨機性.再根據(jù)實驗顯示的事件隨機性的產(chǎn)生原理可知，隨機性是2個事件的一種關(guān)系，因此在隨機試驗中的隨機事件A與隨機事件成對存在，證畢.

這里需要注意的是，上述定理指的是隨機事件的存在狀態(tài)，并非指隨機事件的表現(xiàn)狀態(tài).事實上，當2個隨機事件是互不相容事件時，就存在的意義上成對存在，否則不稱其為隨機事件;但在表現(xiàn)意義上則互不相容，一個出現(xiàn)時，另一個就不出現(xiàn).

由于隨機事件成對存在，為研究方便起見，再給出定義4.

定義4 在隨機試驗中，根據(jù)問題的要求被首先關(guān)注的事件稱為主事件(也稱第一關(guān)注事件或正事件);與主事件互不相容的另一事件稱為該主事件的伴隨事件(也稱第二關(guān)注事件或負事件)，統(tǒng)稱伴隨事件.

3 聯(lián)系概率(復(fù)概率)

定義5 基于聯(lián)系數(shù)形式的聯(lián)系概率(復(fù)概率).用聯(lián)系數(shù)a+bi形式表示的隨機事件A的概率稱為聯(lián)系概率(復(fù)概率).

若用Pc(A)表示聯(lián)系概率(復(fù)概率)，令a=P(A)，b=P()，1］，則有Pc(A)=a+bi=P(A)+P()i.這里 i的定義域與第 1 節(jié)中的定義域有所不同，原因在下文解釋.

定義6 基于事件的聯(lián)系概率.把隨機試驗中主事件A的概率P(A)和伴隨事件的概率P()寫成聯(lián)系數(shù)P(A)+P()i，稱此聯(lián)系數(shù)為隨機事件A與的聯(lián)系概率(復(fù)概率)，記為

定義7 基于概率的聯(lián)系概率(復(fù)概率).把隨機事件A的大數(shù)概率P(A)與A的即或概率P()和的乘積聯(lián)系起來的代數(shù)和稱為聯(lián)系概率(復(fù)概率).

在同一問題中，基于事件的聯(lián)系概率(復(fù)概率)和基于概率的聯(lián)系概率(復(fù)概率)，其實是同一聯(lián)系概率的2種不同表述，說明如下.

例1 設(shè)盒子中有2個白球，3個黑球，令事件A為“任抽一球是白球”，事件為“任抽一球是黑球”，把A看作主事件，則是A的伴隨事件，A與是互不相容事件，A∩=?.從基本事件空間這個角度看，P(A)=2/5，P()=3/5，任抽一個球的結(jié)果或是A發(fā)生或是發(fā)生;從事件角度看，P(A)=2/5，P()=3/5，所以 P(A)+P()i=2/5+(3/5)i;從概率的角度看，因為P(A)=2/5，所以1 －P(A)=3/5，同樣有 P(A)+P()i=2/5+(3/5)i.

Pc(A)=P(A)+P()i=2/5+(3/5)i=1，

解得這時i=1.當實際抽到的球是黑球時，站在主事件A的角度看，其相應(yīng)的聯(lián)系概率Pc(A)=P(A)+P()i=2/5+(3/5)i= －1，解得這時i= －7/3.如果以作為主事件，把A看成的伴隨事件，則相應(yīng)的聯(lián)系概率(復(fù)概率)為 Pc()=P()+P(A)i=3/5+(2/5)i.這時如果任抽一球是黑球，則有

解得i=1;如果任抽一球是白球，則有 Pc()=P()+P(A)i=3/5+(2/5)i= －1，解得 i= －4.

可見在同一問題中選擇不同的事件作為主事件，把與之不相容的另一事件作為該主事件的伴隨事件，它們的聯(lián)系概率表達式不同，i的取值也隨之不同，這是容易理解的.但由此又引出了一個新概念——負概率，為此給出以下定義.

定義8 隨機試驗中，設(shè)事件A為主事件，而實際試驗結(jié)果出現(xiàn)事件，A∩=?，則稱出現(xiàn)隨機事件的概率P()為相對于主事件A的負概率.

由定義8可見，所謂主事件A的負概率并非是P(A)的負值，也就是 P()≠ －P(A).有關(guān)負概率的性質(zhì)及其運算規(guī)則將另文討論.

4 聯(lián)系概率(復(fù)概率)在不確定性推理中的應(yīng)用

文獻［17］介紹的基于概率的不確定推理方法如下.

設(shè)有如下產(chǎn)生式規(guī)則:

則證據(jù)(或前提條件)E不確定性的概率為P(E)，基于概率的不確定性推理的目的是，求出在證據(jù)E下結(jié)論H發(fā)生的概率P(H|E)，這時采用式(1)計算.

式中:P(E)是前提E的概率，P(H)是H的先驗概率，P(E|H)是H成立時E出現(xiàn)的條件概率.

若一個證據(jù)E支持多個假設(shè)H1，H2，…，Hn，即

則有貝葉斯公式得

若有多個證據(jù) E1，E2，…，Em和多個結(jié)論 H1，H2，…，Hn，并且每個證據(jù)都以一定程度支持結(jié)論，則

因此，只要已知Hi的先驗概率P(Hi)及Hi成立時證據(jù)E1，E2，…，Em出現(xiàn)的條件概率

就可利用式(3)計算出在出現(xiàn)E1，E2，…，Em情況下Hi的條件概率P(Hi|E1E2…Em).

例2 設(shè)H1、H2、H3為3個結(jié)論，E是支持這些結(jié)論的證據(jù)，且已知

求P(H1|E)、P(H2|E)和P(H3|E)的值.

根據(jù)式(2)可得

同理可得

計算結(jié)果表明，由于證據(jù)E的出現(xiàn)，H1成立的可能性稍有增加，而H2、H3成立的可能性卻有不同程度的下降.

以上是文獻［17］中的計算結(jié)果，下面按本文給出的概率聯(lián)系數(shù)化的角度進行計算分析.

1)由于 P(Hk)≠1(k=1，2，3)，所以 Hk是隨機事件，根據(jù)隨機事件的成對存在定理，可知存在隨機事件 ˉHk，且 Hk與 ˉHk是互不相容事件，所以P(ˉHk)=1 － P(Hk);因此，以 Hk作為主事件，ˉHk為伴隨事件，則以Hk作為主事件的聯(lián)系概率為P(Hk，ˉHk)=P(Hk)+［1 －P(Hk)］i，也就是有

由于 0.7 ＞0.3，0.6 ＞ 0.4，0.5=0.5，所以在計算 i的取值后，Pc(Hk)有可能比P(Hk)大，也有可能比P(Hk)小.這一情況包含了前面式(2)所得到的“由于證據(jù)E的出現(xiàn)，H1成立的可能性稍有增加，而H2、H3成立的可能性卻有不同程度的下降”這個結(jié)果;但由于沒有考慮證據(jù)E的作用，所以計算結(jié)果過于粗糙，為此進入第2)步.

2)先把P(E|Hk)改寫成聯(lián)系概率Pc(E|Hk)的形式，得

再根據(jù)式(2)得

根據(jù)集對分析，如果不計不確定性的層次性，可令i=i2，于是上面的計算結(jié)果簡化為

由于以上計算結(jié)果中的分母是由3個歸一化的聯(lián)系數(shù)相加而成，多出了因歸一化而產(chǎn)生的3－1=2個i.其原因可看如下數(shù)值例子:

把P(A)聯(lián)系數(shù)化為聯(lián)系概率，則得Pc(A)=0.2+0.8i，同理有 Pc(B)=0.3+0.7i，按普通加法運算法則有

由于把 P(A)+P(B)=0.5 聯(lián)系數(shù)化得 0.5+0.5i，所以要從 0.5+1.5i中減去 2－1=1個 i.為此在0.47+2.53i中減去 2 個 i，得計算結(jié)果為

將式(5)與式(4)對照，看出只要把式(4)的0.32聯(lián)系數(shù)化為 0.32+0.68i就是式(5).同理有

因此可以作如下分析.

1)由于 0.68 ﹥ 0.32，0.74 ﹥ 0.26，0.57 ﹥0.43，所以 H1、H2、H3成立的不確定性大于成立的可能性.

2)計算過程顯示出，計及證據(jù)E后的結(jié)論H1、H2、H3中含有2次不確定性，因為在計算結(jié)果中含有i2.這與直觀相符，因為證據(jù)E本身具有不確定性，結(jié)論H1、H2、H3在不計及證據(jù)E時已具有不確定性(1次不確定性)，在證據(jù)E下的結(jié)論H1、H2、H3當然就更具有不確定性(2次不確定性).

基于概率的不確定性推理分析的難點在于其中的證據(jù)不確定性和結(jié)論不確定性，有了聯(lián)系概率這個概念之后，這種不確定性分析就具體表現(xiàn)在對i的分析上.但如何結(jié)合一個具體的問題展開有關(guān)i的分析，包括i的物理意義、構(gòu)成與分解、取值規(guī)律、層次特性、以及對推理結(jié)果的影響主要來自1次不確定性還是2次不確定性等，則要具體和深入研究.不言而喻，聯(lián)系概率的提出和應(yīng)用，為在不確定性推理中開展證據(jù)不確定性和結(jié)論不確定性的分析提供了一個平臺.

5 結(jié)束語

本文引進大數(shù)概率和即或概率的概念，借助實驗揭示了事件的隨機性源自于事物(事件)與事物(事件)的關(guān)系，給出了隨機事件成對存在定理和聯(lián)系概率(復(fù)概率)的概念(之所以也稱聯(lián)系概率為復(fù)概率，是因為集對分析聯(lián)系數(shù)a+bi在形式上與復(fù)數(shù)一樣)，并且指出了負概率的意義(以主事件A為參考事件時出現(xiàn)事件的可能性大小).所有這些新的概念，為概率論的理論和應(yīng)用創(chuàng)新開辟了新途徑，也為人工智能不確定性推理提供了新思路.至于在已知P(A)情況下如何通過i的分析和聯(lián)系概率(復(fù)概率)的計算，預(yù)測和調(diào)控隨機試驗中A與的轉(zhuǎn)換，將在另文進行研究.

［1］李德毅.不確定性人工智能［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2005:1-400.

［2］王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，1979:218-219.

［3］趙克勤.集對分析及其初步應(yīng)用［M］.杭州:浙江科技出版社，2000:44-64.

［4］趙克勤，宣愛理.集對論——一種新的不確定性理論方法與應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程，1996，14(1):18-23.

ZHAO Keqin，XUAN Aili.Set pair theory—a new theory method of non-define and its applications［J］.Systems Engineering，1996，14(1):18-23.

［5］趙克勤.集對分析的不確定性理論在AI中的應(yīng)用［J］.智能系統(tǒng)學(xué)報，2006，1(2):16-25.

ZHAO Keqin.The application of uncertainty systems theory of set pair analysis(SPA)in the artificial intelligence［J］.CAAI Transactions on Intelligent Systems，2006，1(2):16-25.

［6］王文圣，金菊良，丁晶，等.水資源系統(tǒng)評價新方法——集對評價法［J］.中國科學(xué) E輯:技術(shù)科學(xué)，2009，39(9):1529-1534.

WANG Wensheng，JIN Juliang，DING Jing，et al.A new approach to water resources system assessment—set pair analysis method［J］.Science in China，Series E:Technological Sciences，2009，39(9):1529-1534.

［7］ZHOU Ze’nan.Decision support system based on set pair analysis and its application［J］.Engineering Sciences，2007，5(3):76-81.

［8］GAO Feng，CHEN Yingwu.A project risk ranking approach based on set pair analysis［J］.Engineering Sciences，2006，4(3):89-93.

［9］沈定珠.體育用聯(lián)系數(shù)學(xué)［M］.深圳:中國教育文化出版社，2007:1-191.

［10］王文圣，李躍清，金菊良，等.水文水資源集對分析［M］.北京:科學(xué)出版社，2010:1-183.

［11］米虹，趙克勤.非傳統(tǒng)安全集對分析［M］.北京:知識產(chǎn)權(quán)出版社，2010:1-218.

［12］劉保相.粗糙集對分析決策模型與應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2010:1-185.

［13］郭瑞林.作物育種同異理論與方法［M］.北京:中國農(nóng)業(yè)科學(xué)技術(shù)出版社，2011:1-294.

［14］趙克勤.試論集對分析與概率論的關(guān)系［C］//數(shù)學(xué)及其應(yīng)用文集.長沙:湖南科技出版社，1995:253.

［15］趙克勤.二元聯(lián)系數(shù)A+Bi的理論基礎(chǔ)與基本算法及在人工智能中的應(yīng)用［J］.智能系統(tǒng)學(xué)報，2008，3(6):476-486.ZHAO Keqin.The theoretical basis and basic algorithm of binary connection A+Bi and its application in AI［J］.CAAI Transactions on Intelligent Systems，2008，3(6):476-486.

［16］趙秀恒，米立民.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京:高等教育出版社，2008:1-28.

［17］蔡自興，徐光佑.人工智能及其應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010:114-116.