永磁直線同步電動(dòng)機(jī)的改進(jìn)型迭代學(xué)習(xí)控制

，，

（桂林電子科技大學(xué) 電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西 桂林 541004）

1 引言

永磁直線同步電機(jī)采用直接驅(qū)動(dòng)，簡(jiǎn)化了齒輪、滾珠與螺桿等設(shè)備，所以其反應(yīng)速度更快，靈敏度更高，隨動(dòng)性更好，可以實(shí)現(xiàn)超高速運(yùn)動(dòng)，另外其在力能指標(biāo)、定位精度、效率等方面也比其它電機(jī)具有更多的優(yōu)勢(shì)。但由于采用直接驅(qū)動(dòng)，系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)、負(fù)載擾動(dòng)以及外部非線性擾動(dòng)等不確定因素將直接影響直線電機(jī)的靜動(dòng)態(tài)特性，增加了控制上的難度，特別是在高速的控制過(guò)程中，要保證跟蹤精度更加不易［1-3］。

迭代學(xué)習(xí)控制是智能控制的一個(gè)分支，它適用于具有重復(fù)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的被控對(duì)象，它控制能夠充分借助歷史控制信息構(gòu)成當(dāng)前控制輸入且不依賴被控系統(tǒng)的詳細(xì)模型，只根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際輸出信號(hào)和期望輸出信號(hào)的誤差來(lái)尋找理想的控制信號(hào)，使得被控系統(tǒng)的實(shí)際輸出軌跡在有限的時(shí)間區(qū)間上沿著整個(gè)期望輸出的軌跡實(shí)現(xiàn)零誤差的完全跟蹤［4-5］。

傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)算法，在實(shí)際系統(tǒng)面臨新的環(huán)境和控制任務(wù)時(shí)，系統(tǒng)必須重新進(jìn)行學(xué)習(xí)，這主要體現(xiàn)在對(duì)初始控制輸入的選取不含有任何控制經(jīng)驗(yàn)，這種方法是不符合人類的學(xué)習(xí)行為，是一種耗時(shí)與低效式的學(xué)習(xí)［6］。針對(duì)上述問(wèn)題，該文提出了一種改進(jìn)型的迭代學(xué)習(xí)算法，將迭代控制律看成時(shí)間軸與迭代軸的疊加，在迭代軸上引入了一個(gè)初始控制量和一個(gè)自適應(yīng)因子，增加了新的信息，初始控制量能夠有效地抑制迭代開始時(shí)跟蹤誤差的大幅擺動(dòng)，然后通過(guò)自適應(yīng)因子調(diào)節(jié)控制過(guò)程中各控制量的比重，有效地實(shí)現(xiàn)永磁同步直線電機(jī)的跟蹤控制。算法的學(xué)習(xí)速度是衡量該算法是否有應(yīng)用價(jià)值的重要指標(biāo)，仿真結(jié)果表明所提出的算法在學(xué)習(xí)速度與控制精度方面均比傳統(tǒng)迭代算法的控制效果更有效。

2 PMLSM簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型

在忽略鐵芯飽和，不計(jì)渦流和磁滯損耗，初級(jí)上沒(méi)有阻尼繞組，永磁體也沒(méi)有阻尼作用，反電動(dòng)勢(shì)是正弦的基礎(chǔ)上，僅考慮基波分量的永磁同步直線電動(dòng)機(jī)的d－q軸數(shù)學(xué)模型如下［1］：

其中

式中：id，iq分別為d，q軸電流；ud，uq分別為d，q軸電壓；Ls為電動(dòng)機(jī)的同步電感；Rs為定子相電阻；λPM為定子永磁體產(chǎn)生的勵(lì)磁磁鏈；ωr＝πv／τ，v為線速度；p＝d／dt。

電流內(nèi)環(huán)采用勵(lì)磁分量控制策略，即id＝0，使動(dòng)子電流矢量與定子永磁體磁場(chǎng)在空間上正交。因此，電磁推力Fe為

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程：

式中：Fe為電磁推力；為動(dòng)子線速度；τ為極距；M為動(dòng)子質(zhì)量；Kf為電磁推力系數(shù)；Fd為總阻力，F(xiàn)d＝Fl＋Fef＋Ff，F(xiàn)l為負(fù)載阻力，F(xiàn)ef為由端部效應(yīng)引起的推力波動(dòng)，簡(jiǎn)化模型為［7］

A為推力波動(dòng)幅值；ω為以位移為變量的角速度；x為電機(jī)運(yùn)動(dòng)部分沿運(yùn)動(dòng)方向的位移；φ為初始相位；Ff為摩擦力，其模型為［7］

fc為滑動(dòng)摩擦力；fs為靜摩擦力；vs為潤(rùn)滑系數(shù)；B為粘滯摩擦系數(shù)。

由于直線電機(jī)運(yùn)行時(shí)，起主要作用的干擾是粘滯摩擦力，其他非線性因素均看作干擾。根據(jù)式（6）、式（8）可得直線電機(jī)簡(jiǎn)化的線性方程為

永磁直線同步電機(jī)的模型如圖1所示。

圖1 永磁直線同步電機(jī)的模型框圖Fig.1 Block diagram of the model of a PMLSM

根據(jù)上述分析可將位置跟蹤系統(tǒng)中PMLSM的狀態(tài)方程寫成如下形式：

3 改進(jìn)控制算法的提出

對(duì)于一個(gè)非線性時(shí)變系統(tǒng)：

其中，k為迭代次數(shù)，u∈Rm，x∈Rn，y∈Rr分別為系統(tǒng)的輸入、狀態(tài)以及輸出向量，t∈［0，T］，函數(shù)f，B，w，g為非線性函數(shù)，且都是Lipschitz連續(xù)的，即存在Lipschitz常數(shù)kh＞0，h∈｛f，B，w，g｝，使得

對(duì)于一個(gè)給定的跟蹤yd（t），存在唯一一個(gè)理想序列ud（t），使得系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出為期望值xd（t），yd（t），即滿足：

式中：xd（t）為系統(tǒng)的期望狀態(tài)。

迭代學(xué)習(xí)控制的任務(wù)是通過(guò)學(xué)習(xí)使得控制序列uk（t）（k＝1，2，3，…），盡可能接近理想的控制輸入ud（t）。

迭代學(xué)習(xí)控制是從迭代軸k和時(shí)間軸t兩個(gè)方向同時(shí)進(jìn)行，兩軸之間有著緊密聯(lián)系，其中迭代軸k上過(guò)去時(shí)刻的控制量值影響著時(shí)間軸t上當(dāng)前的控制量。傳統(tǒng)的P型迭代算法在時(shí)間軸上僅表現(xiàn)為對(duì)誤差信息的比例控制，提供的信息相對(duì)較少。PD型迭代算法針對(duì)P型迭代算法信息量少的缺點(diǎn)，在時(shí)間軸t上引入了誤差的導(dǎo)數(shù)信息，但在迭代軸上未作改變，這樣做只能在一定程度上加快系統(tǒng)的跟蹤速度，要想實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的高速跟蹤必須在迭代軸k上也做出相應(yīng)的改進(jìn)，增加新的信息。該文提出的改進(jìn)型迭代算法在迭代軸k上引入一個(gè)初始控制量和自適應(yīng)因子。學(xué)習(xí)律表達(dá)式如下：

其中，α為自適應(yīng)因子為一固定系數(shù)，其值的大小影響α變化幅度。yk（t））2，從α的定義中可以看出α為一個(gè)自適應(yīng)的變速度因子，其大小與實(shí)際輸出、期望輸出密切相關(guān)，在迭代初期由于二者差值較大，所以α的值趨于零，學(xué)習(xí)律前半部分起主要作用。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行一段時(shí)間后，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定時(shí)，α值趨近于1，此時(shí)學(xué)習(xí)率主要由后半部分起作用。u0（t）為初始修正項(xiàng)，它可以避免迭代軌跡的大幅擺動(dòng)，從而加快迭代收斂速度。u0（t）的選擇不是一個(gè)定值，而是隨著實(shí)際位置與期望位置差值變化的一個(gè)動(dòng)態(tài)值，在本文中u0（t）的值由傳統(tǒng)的PD控制器得到，選擇PD控制器可以保證系統(tǒng)的抗干擾能力。ek（t）為跟蹤誤差為跟蹤誤差導(dǎo)數(shù)與R（t）是有界矩陣，L（t），R（t）∈Rm×r。

4 控制算法的收斂性和收斂速度分析

上節(jié)提出了改進(jìn)的迭代控制算法，本節(jié)對(duì)算法控制律進(jìn)行理論分析，驗(yàn)證其收斂性和收斂速度。

4.1 收斂性分析

引理1［9］：設(shè)實(shí)數(shù)序列｛αk｝，滿足ak≤ηak－1＋bk，0≤η＜1，其中bk也為實(shí)數(shù)序列，若有b∞，則有

引理2［9］：設(shè)u（t），v（t）為區(qū)間［0，T］上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且存在非負(fù)常數(shù)M，q，使得

則

關(guān)于引理的說(shuō)明，在引理中，如果取v（t）≡0，u（t），v（t）為區(qū)間［0，T］上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)時(shí)，在滿足條件

有下式成立

分析如下：設(shè)函數(shù)g關(guān)于x與t的偏導(dǎo)數(shù)存在，分別用gx與gt表示，并且B，g，gx，gt有界，其界分別記為bB，bg，bgx，bgt，設(shè)

初始控制量u0（t）是一個(gè)有界函數(shù)。

對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)，滿足學(xué)習(xí)律式（13）條件下，如果有‖α－RgxdBxd‖≤β＜1，則當(dāng)k→∞時(shí)，有跟蹤誤差一致收斂。

為了方便起見(jiàn)，在不影響證明正確性的同時(shí)略去時(shí)間變量t。有

考慮，由式（11）、式（12）、式（13）可得，

在知識(shí)與信息飛速增長(zhǎng)爆炸的時(shí)代，如何鑒別信息的真實(shí)性、準(zhǔn)確性與有效性已經(jīng)成為了當(dāng)下的關(guān)鍵。因而，當(dāng)今科學(xué)教育的研究潮流中批判性思維的培養(yǎng)已經(jīng)成為了一個(gè)重要且亟待研究的方向，深度學(xué)習(xí)的基本特征中同樣包含了這點(diǎn)——對(duì)所學(xué)知識(shí)及其學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行評(píng)判。生物學(xué)學(xué)科的教材內(nèi)容體系與教師知識(shí)水平隨著生物科技的發(fā)展也需要不斷更新，學(xué)習(xí)過(guò)程為中心已經(jīng)漸漸取代了多年前適用的教授過(guò)程為中心。前期的研究表明： 逆向化的教學(xué)主線應(yīng)用在生物學(xué)模型課的教學(xué)中，能夠讓學(xué)生在評(píng)價(jià)知識(shí)與學(xué)習(xí)過(guò)程的同時(shí)，讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)學(xué)科知識(shí)的理解、學(xué)科思維的掌握以及學(xué)科精神的培育等[7]。

將式（15）代入式（14），可得

對(duì)式（16）兩邊同取λ范數(shù)，利用Lipschitz條件，可得下式

其中

式中，bL，bR分別為學(xué)習(xí)增益矩陣L（t）與R（t）的界；bgx，bf，bu，bw分別為函數(shù)gx，f，u，w的界；kg，kgt，kf，kgx，kw，kgxB分別為相應(yīng)的 Lipschitz常數(shù)。

對(duì)‖Δxk‖進(jìn)行分析可得

由引理2可得

式中：n＝kf＋kw＋kBbu。

繼續(xù)對(duì)式（19）進(jìn)行變換，有

將式（20）代入到式（17），可得

由式（17）可知‖Δuk（t）‖λ一致有界，同理可證一致有界。

4.2 收斂速度分析

定義［10］：設(shè)ρ為迭代學(xué)習(xí)控制算法的收斂條件，將 收 斂 速 度 定 義 為：v＝ρ－（k＋1），k為 迭 代次數(shù)。

采用同收斂性分析相同的推導(dǎo)過(guò)程可以得出在傳統(tǒng)的開環(huán)PD型迭代控制中有：

式中：ρ2＝‖1－RgxdBxd‖。

在所提出的控制算法式（21）中，當(dāng)位置誤差不斷減小α→1時(shí)，可得

當(dāng)選用足夠大的λ時(shí)，可以保證w1→0，從而mw1→0，式（23）、式（24）可以簡(jiǎn)化為

在直線電機(jī)模型中，0≤α≤1，從而有

對(duì)式（27）兩邊同時(shí)取范數(shù)，根據(jù)ρ1，ρ2的定義有：

根據(jù)收斂速度的定義可得出v2＜v1，即改進(jìn)型迭代算法的控制量衰減到期望控制量的速度比傳統(tǒng)的迭代算法快，從而可以得出改進(jìn)型迭代算法的收斂速度要優(yōu)于傳統(tǒng)迭代算法。

5 仿真驗(yàn)證及實(shí)現(xiàn)分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)型迭代學(xué)習(xí)控制方法在永磁直線同步電機(jī)位置跟蹤系統(tǒng)中的控制效果，采用Matlab7.6對(duì)本文所提出控制策略進(jìn)行仿真研究，并與傳統(tǒng)開環(huán)PD型迭代學(xué)習(xí)控制方法進(jìn)行比較。永磁直線同步電機(jī)的參數(shù)為［11-12］：M＝10 kg，B＝1.2N·s／m，Kf＝25N／A。推力波動(dòng)Fef＝30sin（25t）N，負(fù)載阻力Fl＝100N，摩擦參數(shù)分別為：fc＝10，fs＝20，vs＝0.5，fv＝10。L＝150，R＝20。由于在實(shí)際的運(yùn)行過(guò)程中直線電機(jī)的位置在控制過(guò)程中不可能每次都從原點(diǎn)開始，所以有y（0）≠yd（0），選擇y（0）＝0.5。參考輸入信號(hào)yd（t）＝0.5sin（6πt）m。選擇迭代次數(shù)為10次。圖2～圖6是經(jīng)過(guò)10次迭代之后的位置跟蹤曲線和誤差曲線。

圖2 改進(jìn)型迭代學(xué)習(xí)控制下PMLSM位置響應(yīng)曲線Fig.2 Position response curves of PMLSM in improved iterative learning control algorithm

圖2、圖3分別為改進(jìn)型迭代學(xué)習(xí)控制與傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制下位置跟蹤響應(yīng)曲線。對(duì)比兩圖可以看出圖2的跟蹤速度明顯快于圖3。圖4、圖5分別為兩種算法下控制量的收斂效果圖，比較兩圖可以看出圖4中的控制量收斂到期望控制量所用的時(shí)間要比圖5少而且振蕩的幅值小，即電機(jī)開始階段輸出振蕩減弱。圖4中的控制量在波峰波谷處變化比較頻繁是由于摩擦力的存在，只有控制量做出相應(yīng)的變化才能保證控制精度的提高。圖6為兩種方法的跟蹤誤差比較，從對(duì)比中可以看出，在3種擾動(dòng)（推力波動(dòng)、摩擦力、負(fù)載擾動(dòng)）的影響下，改進(jìn)型迭代學(xué)習(xí)控制具有較強(qiáng)的擾動(dòng)抑制能力，跟蹤精度也得到明顯改善。

圖3 傳統(tǒng)開環(huán)PD迭代學(xué)習(xí)控制下PMLSM位置響應(yīng)曲線Fig.3 Position response curves of PMLSM in traditional open loop PD－type learning control algorithm

圖4 改進(jìn)型迭代學(xué)習(xí)控制算法下的控制量Fig.4 Control input in improved iterative learning control algorithm

圖5 傳統(tǒng)開環(huán)PD迭代學(xué)習(xí)控制算法下的控制量Fig.5 Control input in traditional open loop PD－type learning control algorithm

圖6 兩種方法位置跟蹤誤差曲線對(duì)比Fig.6 Contrast of position tracking error curves of two method

6 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)迭代算法進(jìn)行改進(jìn)，提高了直線電機(jī)伺服系統(tǒng)在工作中的響應(yīng)速度與跟蹤精度。對(duì)于直線電機(jī)伺服系統(tǒng)在高速高效加工中的快速響應(yīng)以及高精度的要求，該文所提出的算法具有參考價(jià)值。

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