應(yīng)用自動微分的永磁同步電機(jī)預(yù)測控制

高麗媛， 盧達(dá)， 趙光宙， 裘君

(1．浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027;2．浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院，浙江寧波 315100)

0 引言

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor，PMSM)因具有轉(zhuǎn)矩紋波系數(shù)小、動態(tài)響應(yīng)快、高功率密度和低轉(zhuǎn)子損耗等優(yōu)點，正逐步取代傳統(tǒng)的直流電機(jī)和交流異步電機(jī)，應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運輸及日常生活當(dāng)中［1］?，F(xiàn)有PMSM普遍采用內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，外環(huán)為轉(zhuǎn)速環(huán)的雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)。其中，電流環(huán)的數(shù)學(xué)模型復(fù)雜，采樣周期更短［2］，因此，PMSM電流環(huán)的控制一直研究的重點和難點?，F(xiàn)有電流環(huán)控制器廣泛采用PID、自適應(yīng)控制［3］、反推控制［4］、滑模變結(jié)構(gòu)控制［5］等基于誤差的算法，但是，誤差控制算法的控制量容易超出限定范圍，難以應(yīng)用在機(jī)器人、航空航天等對電機(jī)控制精度要求較高的場合［6］。而模型預(yù)測控制(model predictive control，MPC)不依賴誤差進(jìn)行控制，能夠使系統(tǒng)準(zhǔn)確工作在限定范圍內(nèi)，獲得較高的控制精度，并且在過程控制領(lǐng)域已取得成功的應(yīng)用［7－8］。

由于MPC計算量大，在研究PMSM電流環(huán)的MPC算法時，通常采用線性模型表示電流環(huán)部分，假設(shè)在一個電流環(huán)采樣周期內(nèi)轉(zhuǎn)速為常值。文獻(xiàn)［9－10］提出了基于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的預(yù)測控制算法，文獻(xiàn)［11－12］提出了基于固定坐標(biāo)系的預(yù)測控制方法，文獻(xiàn)［13］綜合考慮旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和固定坐標(biāo)系，提出了預(yù)測模型直接電流控制算法。然而由于MPC大量計算所需要的預(yù)測周期較長，而相對于電流環(huán)的較短采樣周期，這些方法只能考慮有限的電流向量組合或是采用差分方法預(yù)測，難以得到精確的預(yù)測值，從而影響預(yù)測控制的效果。雖然，將高階泰勒級數(shù)值包含到預(yù)測過程中可以得到更為精確的預(yù)測結(jié)果，但進(jìn)行高階泰勒級數(shù)展開又會增大計算負(fù)擔(dān)，增加預(yù)測時滯，難以在電流環(huán)的采樣周期內(nèi)完成預(yù)測算法。

自動微分(automatic differentiation，AD)算法采用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則對計算機(jī)形式函數(shù)求導(dǎo)，其計算量小、精確度高，可有效提高計算效率［14］。利用 AD算法進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，可顯著提高計算速度［15－16］。本文提出了基于 AD技術(shù)的 PMSM 電流環(huán)預(yù)測控制算法。首先利用AD技術(shù)，對電流環(huán)模型進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，然后依據(jù)泰勒系數(shù)求解靈敏度，得到系統(tǒng)的雅克比矩陣，以實現(xiàn)對PMSM電流環(huán)的預(yù)測控制。

1 利用AD技術(shù)求解泰勒級數(shù)

AD的核心思想是，無論描述函數(shù)的計算機(jī)程序多么復(fù)雜，它本質(zhì)上都是一系列的元代數(shù)運算或元函數(shù)運算的組合。通過將鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則迭代運用于這些元運算中，計算機(jī)可以自動準(zhǔn)確得到目標(biāo)函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)。

考慮一個連續(xù)微分方程z=f(x)的泰勒展開，展開次數(shù)為d次，f:n→m，如果x(t)可以表示為泰勒展開式

其中 x［i］=(?ix(t)/?ti)/i!|t=0∈n，z(t)可以表示為

其中 z［i］=(?iz(t)/?ti)/i!|t=0∈m，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，z［j］被系數(shù)向量x［i］，i≤j唯一確定，即

如果已知u，v的泰勒級數(shù)展開式u(x0+h)和v(x0+h)的所有系數(shù) u［k］，v［k］，則其簡單運算式的泰勒系數(shù)可由下式計算得到［14］

2.4 臨床指南認(rèn)知與應(yīng)用影響因素分析 505名受試者人均認(rèn)知情況總值為13.7分，僅占總分值57.1%；505名受試者人均應(yīng)用情況總值為11.1分，僅占總分值74.0%。

因此，當(dāng)系統(tǒng)所有輸入的泰勒級數(shù)展開式已知時，系統(tǒng)輸出及狀態(tài)量的泰勒級數(shù)展開可由式(5)得到。系統(tǒng)所有輸入的泰勒級數(shù)展開式可由系統(tǒng)動態(tài)方程遞推得到。

2 永磁同步電機(jī)預(yù)測控制算法設(shè)計

2.1 PMSM模型的泰勒級數(shù)展開

PMSM在d－q坐標(biāo)系下的動態(tài)方程為

式中:id，iq，ud，uq分別為 d －q 坐標(biāo)下的電流、電壓;Ld，Lq為 d－q坐標(biāo)下的定子電感;ω，np，φ分別為角速度、極對數(shù)、磁鏈。

id，iq在 t時刻的預(yù)測值，可由 id，iq在 t時刻對于t0時刻的d次泰勒級數(shù)表示為

取 ud，uq為控制量，假設(shè)ω，ud，uq是 t0到 t時刻的常量，則根據(jù)AD算法，id，iq的泰勒級數(shù)展開項可以通過式(6)獲得。

當(dāng)k=1時，

由鏈?zhǔn)椒▌t，可以得到k＞1時的泰勒級數(shù)為

式(8)～式(11)構(gòu)成了一個完整的PMSM電流環(huán)泰勒級數(shù)計算方案。令ti+1=ti+h，i=0，…，n，在初始值id(t0)，iq(t0)已知的情況下，在每一時刻的id，iq預(yù)測值可以利用式(7)遞推計算得到。與傳統(tǒng)差分相比，利用泰勒級數(shù)展開的方法使永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型更加精準(zhǔn)。

2.2 預(yù)測算法設(shè)計

在實際求解預(yù)測控制的應(yīng)用中，計算效率是算法是否可行的重要條件?；谧詣游⒎址娠@著提高泰勒級數(shù)靈敏度的計算速度。

定義狀態(tài)量 s=［idiq］T，控制量 u=，則系統(tǒng)(11)關(guān)于狀態(tài)量和控制量的靈敏度矩陣可以分別定義為

PMSM的泰勒級數(shù)展開系數(shù)的靈敏度可以通過如下遞推式獲得

因此對s(t0+h0)在s(t0)、u(t0)點的靈敏度定義為

在 ti=ti－1+h，i=1，…，n，時刻 s(ti－1+h)對s(tj)，u(tj)的靈敏度可以通過式(18)、式(19)遞推獲得

取如下二次型性能指標(biāo)作為永磁同步電機(jī)預(yù)測控制的指標(biāo)函數(shù)

其中:s0為狀態(tài)變量s的參考值向量;u為系統(tǒng)控制量;Q，R分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入的性能指標(biāo)比例系數(shù)矩陣，控制目標(biāo)使φ最小。

將式(20)中s按泰勒級數(shù)展開，可得到tk到tk+h時刻的性能指數(shù)Ek為

其中，F(xiàn) 矩陣中的元素為 f(i，j)=hi+j－1/(i+j－ 1)，因此有φk=Ek/2。將所有的 Ek組成 E=［…］T，則有性能指標(biāo)φ=ETE/2，此時問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的二階最優(yōu)問題。對于二階最優(yōu)問題的研究已較為成熟，因此提出算法的收斂性可以得到保證。

求解二階最優(yōu)問題的關(guān)鍵在于求出E對于控制量u(tk)的雅克比矩陣J，使?E/?u最小。結(jié)合式(14)，式(15)，式(19)，式(20)可得到雅克比矩陣的元素為

由上述性能指數(shù)和雅克比矩陣，本文采用Levenberg－Marquardt算法求解出控制量。

2.3 控制系統(tǒng)框圖

圖1為PMSM控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 PMSM控制系統(tǒng)框圖Fig．1 Block diagram of PMSM control system

其中模型預(yù)測控制器的程序結(jié)構(gòu)圖2所示。

圖2 預(yù)測控制算法流程圖Fig．2 Flow chart of predictive control

3 算例仿真

為驗證所提出的基于AD技術(shù)的PMSM電流環(huán)預(yù)測控制算法的有效性，本文在Matlab/SIMULINK下進(jìn)行了仿真研究。仿真采用的PMSM參數(shù):直流母線電壓300 V，極對數(shù)4，轉(zhuǎn)子磁鏈0.171 Wb，定子電阻0.457 8 Ω，d軸電感 0.003 34 H，q軸電感0.003 34 H。電流環(huán)采樣周期為0.2 ms。仿真開始時負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0 N·m，0.05 s時負(fù)載轉(zhuǎn)矩變?yōu)?0 N·m。轉(zhuǎn)速環(huán)采用PI控制器，為電流環(huán)提供q軸參考電流，d軸參考電流設(shè)為0。系數(shù)矩陣Q，R取單位矩陣。

預(yù)測控制算法需要選擇合適的優(yōu)化時域和控制時域。當(dāng)優(yōu)化時域一定時，平均每步的運算時間和性能指標(biāo)即式(20)的值隨控制時域的變化而變化。取每步運算中其性能指標(biāo)的平均值為平均價值函數(shù)值，則當(dāng)優(yōu)化時域為5，泰勒級數(shù)展開為3時，運算時間、平均價值函數(shù)值和控制時域的關(guān)系如表1所示。由于性能指標(biāo)φ小于特定值、φ的變化小于特定值，或者搜索方向的絕對值小于特定的容許值等這些條件均可使Levenberg－Marquardt算法終止，因此計算中此平均價值函數(shù)值是變化的。由表1可知，平均價值函數(shù)值隨控制時域的增大(控制量個數(shù)增加)而減小，但在控制時域大于3后基本不變。而當(dāng)控制時域小于優(yōu)化時域時，平均運算時間隨控制時域的增大而增加;當(dāng)控制時域等于優(yōu)化時域時，平均運算時間明顯減小。這是因為當(dāng)控制時域小于優(yōu)化時域時，求解式(20)是一個非線性問題;而當(dāng)控制時域等于優(yōu)化時域時，求解式(20)成為線性問題。線性問題可以一步達(dá)到最優(yōu)解，故運算時間較短。由于每一步均可達(dá)到最優(yōu)解，當(dāng)不考慮系統(tǒng)時滯時，為減少運算時間，本文采用單步預(yù)測。

表1 運算時間、平均價值函數(shù)值與控制時域的關(guān)系Table 1 The relationship of computing time，average cost function value and control horizon

平均價值函數(shù)值和運算時間隨著泰勒級數(shù)展開項數(shù)的變化而變化。其變化規(guī)律如表2所示。

表2 運算時間、平均價值函數(shù)值與泰勒級數(shù)展開項數(shù)的關(guān)系Table 2 The relationship of computing time，average cost function value and Taylor series expansion item number

由表2可知，泰勒級數(shù)展開三項時的價值函數(shù)平均值要比展開兩項時小大約四分之一，展開大于三項時對結(jié)果的影響不大。這是因為電流環(huán)采樣周期較短，高階泰勒級數(shù)項的時間級數(shù)很小，使三階以上展開項對結(jié)果的影響可忽略不計。綜合考慮運算時間和價值函數(shù)，以下仿真中泰勒級數(shù)均展開三項。

q軸電流圖如圖3所示，d軸電流如圖4所示。

圖3 q軸電流Fig．3 The current of q-axis

圖4 d軸電流Fig．4 The current of d-axis

由圖3、圖4可見，在電機(jī)啟動時和轉(zhuǎn)矩變化時，d、q軸電流均可以在0.02 s之內(nèi)跟蹤參考電流。同時可以看到，q軸電流變化時d軸電流變化很小，解除了dq軸電流的耦合。這是因為在價值函數(shù)中分別控制d、q軸實際電流與參考電流的誤差為零。然而可以看到q軸電流給定值有超調(diào)存在，這是因為轉(zhuǎn)速環(huán)采用的PI調(diào)節(jié)器中存在積分飽和。如何綜合考慮轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)，將PMSM機(jī)械方程和動態(tài)方程聯(lián)立進(jìn)行預(yù)測控制，是下一階段的研究方向。

預(yù)測控制最顯著的優(yōu)點是能將控制量的約束直接包含到控制量求解過程中，使系統(tǒng)可以準(zhǔn)確的工作在允許范圍。圖5為限幅為35 V時的αβ軸電壓，圖6為限幅為30 V時的αβ軸電壓。

圖5 限幅為35 V時的αβ軸電壓Fig．5 The αβ-axis voltage with limiting amplitude of 35 V

圖6 限幅為30 V時的αβ軸電壓Fig．6 The αβ-axis voltage with limiting amplitude of 30 V

當(dāng)要求α、β軸電壓的幅值不大于35 V時，通過預(yù)測控制得到的α、β軸電壓如圖5所示被嚴(yán)格控制在允許范圍內(nèi)。0.05 s時出現(xiàn)的電流變化是由轉(zhuǎn)矩變化造成的，大約0.055 s處的電流波動是由于積分器退出飽和狀態(tài)引起的參考電壓變化造成的。當(dāng)要求α、β軸電壓的幅值不大于30 V時，αβ軸電壓如圖6所示。可見αβ軸電壓仍然被很好的控制在允許范圍內(nèi)。

4 結(jié)語

本文提出了一種基于自動微分的永磁同步電機(jī)電流環(huán)預(yù)測控制算法，實現(xiàn)了預(yù)測控制在PMSM中的應(yīng)用，同時，將高階泰勒級數(shù)項引入到預(yù)測控制中以提高預(yù)測精度，自動微分技術(shù)進(jìn)一步提高預(yù)測速度，仿真結(jié)果證明了此算法的有效性。然而由于研究還未進(jìn)行到實驗階段，仿真中并沒有考慮實際系統(tǒng)中存在的飽和、時滯等問題，需進(jìn)一步進(jìn)行實驗驗證。理論上，本算法仍然是基于PMSM模型，容易受到參數(shù)變化的影響，如何能提高系統(tǒng)魯棒性，將是下一步另一個研究的方向。

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