諧波電流檢測方法公式推導(dǎo)及內(nèi)在聯(lián)系探究

丁寧 張加勝

（中國石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院，山東 東營 257061）

0 引言

隨著電力電子裝置的廣泛應(yīng)用，大量非線性負(fù)荷的投入運行，致使電網(wǎng)的諧波污染越來越嚴(yán)重，諧波和無功功率的補償問題也日益受到重視。在要求對變化的諧波和無功功率進(jìn)行快速動態(tài)補償?shù)膱龊?，建立在平均值基礎(chǔ)上的傳統(tǒng)功率理論已難以使用。80年代初，日本學(xué)者赤木泰文（H.Akagi）等人提出了建立在瞬時值基礎(chǔ)上的三相電路瞬時無功功率理論［1，2］，而基于此理論的諧波和無功電流實時檢測方法成功應(yīng)用于有源電力濾波器，有力推動了有源電力濾波器的研究和發(fā)展，同時以瞬時無功功率理論為基礎(chǔ)的諧波和無功電流檢測方法也得到了廣泛的應(yīng)用。

目前使用的基于瞬時無功功率理論的諧波和無功電流檢測方法主要有p－q法、d－q法、ip－iq法［3］。有些文獻(xiàn)中臆斷地認(rèn)為d－q法中的idqd、idqq與ip－iq法中的ip、iq對應(yīng)相等，其實并非如此。本文從數(shù)學(xué)角度詳細(xì)推導(dǎo)了三種方法所用變換式的表達(dá)式，以變換式為切入點揭示三種檢測方法的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。

1 三種檢測法所用變換式的推導(dǎo)

1.1 p－q法

為簡明起見，本文均只考慮電壓和電流中不含零序分量的情況。設(shè)三相電路的瞬時電壓和瞬時電流分別為ua、ub、uc和ia、ib、ic，將它們變換到兩相正交的α－β坐標(biāo)系上，可得兩相瞬時電壓uα、uβ和兩相瞬時電流iα、iβ如下［4－5］:

如圖1所示，空間直角坐標(biāo)系α－β－γ為右手坐標(biāo)系，在αβ平面內(nèi)uα、uβ和iα、iβ分別合成為電壓矢量→■u和電流矢量→■i。瞬時無功功率理論定義三相電路的瞬時有功功率p和瞬時無功功率q分別為電流矢量與電壓矢量的點積和叉積，即:

圖1 瞬時無功功率理論定義的電壓、電流矢量圖

式（1）、（2）、（5）即為p－q法所運用的變換式。

1.2 d－q法

d－q變換（park變換）是在解決同步電機模型中時變系數(shù)這一問題而被廣泛應(yīng)用的一種數(shù)學(xué)變換。如圖2，abc為同步電機定子繞組，dq為轉(zhuǎn)子繞組，由于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)和凸極效應(yīng)，在abc坐標(biāo)下的同步電機方程中存在大量變化參數(shù)，給分析和計算帶來了很大困難，為解決這一問題，電機學(xué)中通常把abc三相繞組經(jīng)過適當(dāng)變換得到與定子繞組等效的并與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的dq繞組，這就是派克變換［6］。

下面簡要推導(dǎo)dq變換，以便于比較d－q法與ip－iq法的異同，更好地理解兩種方法的本質(zhì)。如圖2所示，由三相abc到兩相αβ 坐標(biāo)變換過程中運用直接投影法，iα、iβ可以分別看成ia、ib、ic向α、β軸上投影得到的投影之和，同時為消除正反變換矩陣之間的系數(shù)差異，采用恒功率變換，變換矩陣前添加系數(shù)，可得:

圖2 派克變換對應(yīng)的矢量圖

這就是被廣泛使用的恒功率下的park變換式，即為d－q法所用變換式。

1.3 ip－iq法

設(shè)三相電壓表達(dá)式為:

其中Us為相電壓有效值

取a軸為復(fù)平面的實軸，滯后實軸90°電角度為虛軸，如圖3所示，則b軸和c軸的位置分別為ej23π和e－j23π，則電壓空間矢量為:

圖3 電壓矢量合成示意圖

由此可知電壓空間矢量為一個恒幅等速旋轉(zhuǎn)的矢量，幅值和幅角大小分別為:

瞬時無功功率理論定義瞬時有功電流ip和瞬時無功電流iq分別為電流矢量在電壓矢量及其法線上的投影［7，8］，又因電流矢量 在αβ坐標(biāo)系下可分解為iα和iβ兩個分量，因此瞬時有功電流ip可表示成iα和兩個分量在電壓矢量 上的投影的疊加，同樣地瞬時無功電流iq也可表示成iα和iβ兩個分量在電壓矢量→法線上的投影的疊加，如圖1所示，可得式:

將式（15）寫成矩陣形式

將式（14）代入式（16），可得式（17）

將（2）式代入（17）式得ip－iq法的所用變換的表達(dá)式:

2 內(nèi)在聯(lián)系

一在相同的基準(zhǔn)（α軸），則需將ip－iq坐標(biāo)系順時針旋轉(zhuǎn)90°得到i'p－i'q坐標(biāo)系，這樣，ip、iq與、之間的關(guān)系便十分明了，可用下式描述:

圖4 d－q與ip－iq坐標(biāo)系關(guān)系圖

該結(jié)論可由式（10）與（19）得到驗證。

3 結(jié)束語

本文通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)詳細(xì)分析了導(dǎo)致三種檢測方法異同的原因所在，揭示了三種檢測方法所用變換式的內(nèi)在聯(lián)系，如式（20）和（21）所示。本文的分析及結(jié)論使p－q法、ip－iq法變換原理更加清晰、明了，d－q法則不再是純粹的數(shù)學(xué)變換，而有了一定的物理意義，其中式（21）揭示了d－q坐標(biāo)系下idqd、idqq與瞬時無功功率理論中的ip、iq的對應(yīng)關(guān)系，可以得出d－q坐標(biāo)系下兩個量的物理意義:idqd、idqq分別是瞬時無功功率理論中瞬時無功電流、瞬時有功電流的負(fù)值。這些分析與結(jié)論對理解和改進(jìn)諧波電流檢測方法和有指導(dǎo)意義。

［1］王兆安，楊君，劉進(jìn)軍，等.諧波抑制和無功功率補償［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2005.

［2］殷波，陳允平，等.α－β坐標(biāo)系下瞬時無功功率理論與傳統(tǒng)功率理論的統(tǒng)一數(shù)學(xué)描述及物理意義［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2003，18（5）:42－45.

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