關(guān)于高等數(shù)學(xué)中兩個(gè)問題的探討

司志本， 李春光

（1.河北民族師范學(xué)院 初等教育系，河北 承德 067000 2.河北民族師范學(xué)院 科研處，河北 承德 067000）

關(guān)于高等數(shù)學(xué)中兩個(gè)問題的探討

司志本1， 李春光2

（1.河北民族師范學(xué)院 初等教育系，河北 承德 067000 2.河北民族師范學(xué)院 科研處，河北 承德 067000）

分段函數(shù)和積分上限函數(shù)，是高等數(shù)學(xué)中比較重要的兩類函數(shù).分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和積分，是學(xué)生感到比較棘手的內(nèi)容，這就需要教師在內(nèi)容的解讀以及教學(xué)方法的選取上，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行科學(xué)的處理；積分上限函數(shù)，是一個(gè)用積分形式給出的函數(shù)，深入挖掘這個(gè)函數(shù)的潛在功能，對(duì)于學(xué)生深刻理解微積分的概念是十分有益的.

分段函數(shù)；積分上限函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；積分

在高等數(shù)學(xué)中，有許多內(nèi)容都要涉及到分段函數(shù)和積分上限函數(shù)，而學(xué)生在解決這兩類函數(shù)的相關(guān)問題時(shí)，往往會(huì)感到無(wú)從下手.本文將對(duì)這兩類函數(shù)的相關(guān)問題做一點(diǎn)探討，相信對(duì)學(xué)生能夠起到一定的指導(dǎo)作用.

1. 關(guān)于分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分

分段函數(shù)是一類常見的并且十分重要的函數(shù)，它的明顯特征就是“分段”，它在分界點(diǎn)處的一些運(yùn)算和性質(zhì)，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，需要謹(jǐn)慎處理.

1.1 對(duì)分段函數(shù)定義的理解

分段函數(shù)是指在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)(注：本文中的分段函數(shù)均指一元函數(shù))。分段函數(shù)雖然有時(shí)也可以用一個(gè)式子表示出來(lái)，例如，分段函數(shù)可以用一個(gè)式子表示為但是，為了研究方便，我們往往還是用幾個(gè)表達(dá)式來(lái)表示，而不刻意追求形式上的簡(jiǎn)單.

我們知道，初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.因?yàn)榉侄魏瘮?shù)的分段點(diǎn)往往是間斷點(diǎn)，所以，在有些情況下，分段函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上不是初等函數(shù).

因?yàn)榉侄魏瘮?shù)的關(guān)鍵特征是“分段”，所以，在一般情況下，分段函數(shù)的圖象是由若干段曲線組成的.例如，函數(shù)

的圖象是以點(diǎn)（0，-1）和點(diǎn)（0，1）（不含此點(diǎn)）為始點(diǎn)，分別向左和向右的兩條水平射線.

1.2 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般來(lái)說(shuō)，求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以分兩步進(jìn)行，第一步，先求出函數(shù)在去掉分界點(diǎn)以后的各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)；第二步，再研究函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況.在各個(gè)小區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義、公式和性質(zhì)等，采用多種方法去求；而在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般需要先研究函數(shù)在該點(diǎn)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)（左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)）.具體說(shuō)來(lái)，如果在該點(diǎn)存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)，那么就先求出函數(shù)在該點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)；然后再根據(jù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的情況，判斷函數(shù)在該點(diǎn)是否可導(dǎo)；若可導(dǎo)，再進(jìn)一步求出導(dǎo)數(shù).

解：先將函數(shù)f(x)寫為分段函數(shù)的形式.

當(dāng)x＞0時(shí)，有f′(x)=1；當(dāng)x＜0時(shí)，有f′(x)=-1；當(dāng)x=0時(shí)，由左、右導(dǎo)數(shù)的定義有

因?yàn)閒-′(0)≠f+′(0)，所以，函數(shù)在x=0點(diǎn)處不可導(dǎo).

有時(shí)也可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接求出函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

解：當(dāng)x≠0時(shí)，有

當(dāng)x=0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)定義有

1.3 分段函數(shù)的不定積分

在求分段函數(shù)的不定積分時(shí)，首先要求出分段函數(shù)在各個(gè)小區(qū)間上的不定積分，這些積分中包含著若干個(gè)積分常數(shù)，如果被積函數(shù)在所有的分界點(diǎn)都是連續(xù)的，那么就可以根據(jù)不定積分（原函數(shù)）的連續(xù)性，找出這些積分常數(shù)之間的關(guān)系，最后得到只含有一個(gè)積分常數(shù)的不定積分；如果被積函數(shù)在某些分界點(diǎn)不連續(xù)，那么最后的積分結(jié)果可能不止含有一個(gè)積分常數(shù)，而是含有幾個(gè)獨(dú)立的積分常數(shù).

因?yàn)楸环e函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，所以，根據(jù)原函數(shù)的定義可知，f(x)的原函數(shù)也在該區(qū)間上連續(xù).

在例3中，因?yàn)閒(x)在整個(gè)定義區(qū)間(-∞,+∞)上是連續(xù)的，所以，最后的積分結(jié)果中只含有一個(gè)積分常數(shù).

解：容易知道，分段點(diǎn)x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)（即函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的左右極限都存在）；分段點(diǎn)x=1是f(x)的連續(xù)點(diǎn).先分別求出f(x)在區(qū)間(-∞,0)，（0，1）和(1,+∞)上的不定積分：

由例4可知，在分段函數(shù)的不定積分中，如果分段點(diǎn)是不連續(xù)點(diǎn)，則積分常數(shù)可能不止一個(gè).

1.4 分段函數(shù)的定積分

與不定積分相比較，分段函數(shù)的定積分就顯得簡(jiǎn)單多了.定積分的定義告訴我們，有限個(gè)間斷點(diǎn)不影響定積分的值，所以，只要分段函數(shù)的定積分存在，我們就可以以分界點(diǎn)為界點(diǎn)，把原積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小的積分區(qū)間，先求出函數(shù)在每一個(gè)小區(qū)間上的定積分，然后再對(duì)這些積分值求和即可.

解：將被積函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式：

以x=π為界點(diǎn)，將積分區(qū)間[0，2π]拆為兩個(gè)小區(qū)間[0，π]，[π，2π]，則有

2. 關(guān)于積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

積分上限函數(shù)，是一個(gè)用積分形式給出的函數(shù)，深入挖掘這個(gè)函數(shù)的潛在功能，對(duì)于深入理解微分和積分的概念是十分有益的.我們先給出積分上限函數(shù)的定義以及與之相關(guān)的一個(gè)定理.

為積分上限函數(shù)，也稱變上限函數(shù).

定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

在[a,b]上可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為

2.1 幾個(gè)積分表達(dá)式

上面的（*）式體現(xiàn)了積分上限函數(shù)的一個(gè)明顯特征：即對(duì)一個(gè)函數(shù)先積分后微分，其作用相互抵消.這個(gè)特征可以看作是不定積分性質(zhì)的一種推廣.受（*）式啟發(fā)，我們從一個(gè)基本的積分表達(dá)式出發(fā)，把這個(gè)積分中三個(gè)含t的位置，分別用一個(gè)x，兩個(gè)x，三個(gè)x替換，對(duì)于得到的表達(dá)式再分別對(duì)x和t求導(dǎo)，研究一下這些導(dǎo)數(shù)的情況.在下面的討論中，我們假設(shè)所涉及的f(x)的導(dǎo)數(shù)和積分都是存在的.

最基本的積分為（三個(gè)位置都是t，不含x）：

把（1）式中1個(gè)位置的t換為x，可以得到下面三個(gè)積分：

CRISPR/Cas9系統(tǒng)也有局限性。如存在一定的脫靶效應(yīng)。CRISPR/Cas9系統(tǒng)的特異性取決于sgRNA上的識(shí)別序列。為了避免脫靶效應(yīng)，有必要將Cas9引導(dǎo)至其基因組中精確靶標(biāo)的sgRNA。為了確保Cas9的靶向活性和正常功能，使用Ⅱ型CRISPR/Cas系統(tǒng)和Cas9表征的研究已經(jīng)證明需要與靶基因序列完美匹配[26-28]。有學(xué)者研發(fā)了很多軟件輔助CRISPR/Cas9系統(tǒng)快速篩選特定基因序列靶點(diǎn)，有針對(duì)性地避開可能脫靶的位點(diǎn)，從而降低甚至消除脫靶現(xiàn)象[29]。

把（1）式中2個(gè)位置的t換為x，可以得到下面三個(gè)積分：

把（1）式中的三個(gè)t都換為x，可以得到下面一個(gè)積分：

把（1）式中的積分上限換為常數(shù)a，可以得到下面一個(gè)積分：

2.2 對(duì)x的導(dǎo)數(shù)

現(xiàn)在我們分別討論上面9個(gè)積分對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。

(2)式中的積分對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，上面的定理給出了結(jié)論，即

（4）式中的積分變量是x，因此，這個(gè)積分實(shí)際上是被積函數(shù)為常數(shù)的定積分，即

（5）式中的積分變量是t，被積函數(shù)f(x)可以視為常數(shù)，即再對(duì)x求導(dǎo),則有

（6）式中的積分變量是x，被積函數(shù)f(t)可以視為常數(shù)，即它對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為

（8）式中的積分變量是x，從本質(zhì)上講，與（1）式?jīng)]區(qū)別，但是，這個(gè)積分結(jié)果是x的函數(shù)，所以，對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為

其中，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù).

（9）式中的a是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)積分就是通常意義下的定積分，其積分結(jié)果是一個(gè)常數(shù)，所以，對(duì)x求導(dǎo)的結(jié)果是0，即

3. 對(duì)t的導(dǎo)數(shù)

關(guān)于（1）—（9）式中的9個(gè)積分對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，完全可以仿照上面的方法進(jìn)行討論，其結(jié)果與對(duì)x求導(dǎo)的結(jié)果十分相似，此處不再贅述.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1998,(8)

[2]西北工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)中的典型問題與解法[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2001,(6)

[3]呂通慶.數(shù)學(xué)分析中一些重要概念及其矛盾概念[M].北京：高等教育出版社，1979,(3)

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A

2095-3763（2012）02-0073-03

2011-11-20

司志本（1959-），男，河北興隆人，河北民族師范學(xué)院初等教育系教授。