未知信源數(shù)目的DOA估計(jì)方法

李鵬飛 鐘子發(fā) 張 旻

(合肥電子工程學(xué)院309研究室 合肥 230037)

(安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230037)

1 引言

在現(xiàn)代電子戰(zhàn)信號(hào)環(huán)境中，由于信號(hào)密度大，信號(hào)形式復(fù)雜，使得電子偵察中的信號(hào)處理任務(wù)越來越困難。對(duì)無線電測(cè)向提出了高精度、高分辨率、解相干信號(hào)等方面的要求。最經(jīng)典的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方法是利用波束在空間掃描來確定目標(biāo)的方向，但是它無法分辨兩個(gè)很近的空間信號(hào)。以MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)[1]算法為代表的空間譜估計(jì)方法突破了瑞利限，可以達(dá)到很高的精度。該類算法一般要求信源數(shù)目精確已知，當(dāng)估計(jì)的信源數(shù)與真實(shí)信源數(shù)不一致時(shí)，會(huì)對(duì)信源方位的估計(jì)產(chǎn)生嚴(yán)重影響。同時(shí)在存在相干信號(hào)時(shí)，其性能嚴(yán)重下降，雖然可以通過空間平滑的方法進(jìn)行解相干，但是陣列孔徑損失嚴(yán)重。

信號(hào)稀疏分解作為一種新出現(xiàn)的信號(hào)分析思想，可以得到信號(hào)的一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的表達(dá)(即稀疏表示：sparse representation)，已經(jīng)在諸多應(yīng)用領(lǐng)域體現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)[2-5]。陣列信號(hào)的空間譜并不是連續(xù)的，也就是說僅僅存在少數(shù)幾個(gè)非零值分別代表著相應(yīng)的空間方位?？臻g信號(hào)的這種稀疏特性，決定了我們可以用稀疏分解的方法進(jìn)行DOA估計(jì)。利用稀疏分解的方法進(jìn)行D O A估計(jì)具有以下的優(yōu)點(diǎn)[6-10]：(1)具有很高的分辨率和估計(jì)精度；(2)不需要進(jìn)行任何預(yù)處理，可以直接應(yīng)用到相干信號(hào)上來；(3)對(duì)初始值的選擇不是很敏感。利用快拍數(shù)據(jù)的稀疏分解進(jìn)行DOA估計(jì)容易受到噪聲的影響。Malioutov等人[10]提出了l1-SVD(l1norm Singular Value Decomposition)的方法進(jìn)行DOA估計(jì)，即對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解(SVD)，然后利用l1范數(shù)約束求解稀疏解得到目標(biāo)的估計(jì)值。l1-SVD方法克服了快拍數(shù)據(jù)稀疏分解容易受到信號(hào)噪聲影響的缺點(diǎn)，但是該方法需要已知信源數(shù)，當(dāng)信源數(shù)過估計(jì)時(shí)，性能嚴(yán)重下降。

針對(duì)以上問題，本文提出了兩種不需要估計(jì)信源數(shù)目的DOA估計(jì)方法。一種基于特征向量稀疏分解(Eigen Vector Sparse Decomposition,EV-SD)的DOA估計(jì)方法，采用協(xié)方差矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量來代替陣列快拍數(shù)據(jù)作為稀疏分解向量，可以有效減少噪聲及信號(hào)幅度跳變的影響，和l1-SVD算法相比不需要估計(jì)信源數(shù)目，增強(qiáng)了算法的魯棒性。另一種基于協(xié)方差矩陣高階冪稀疏分解(High Order Power Sparse Decomposition,HOPSD)的DOA估計(jì)方法。首先證明了陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的高階冪的列向量是所有信號(hào)方向矢量的線性組合，因此可以利用其列向量的組合建立DOA估計(jì)的稀疏模型。該方法避免了估計(jì)信號(hào)源數(shù)目和特征值分解。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 陣列信號(hào)的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)來波方向?yàn)棣萯(i=1,…,p)的p個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到M元天線陣列，t時(shí)刻第l個(gè)陣元的接收信號(hào)為

τli為第l陣元相對(duì)參考陣元的延遲，寫成矢量形式為

式中Y(t)為t時(shí)刻采集的M×1維的陣列快拍數(shù)據(jù)矢量；A(θ)為M×p維的陣列導(dǎo)向矢量矩陣，A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θp)];S(t)為t時(shí)刻的p×1維的空間信號(hào)矢量；N(t)為M×1維的陣列噪聲數(shù)據(jù)矢量；其中，導(dǎo)向矢量為

式中rl(l=1,2,…,M)為陣列參考點(diǎn)和陣元n距離，γl(l=1,2,…,M)為陣元l相對(duì)參考點(diǎn)的極坐標(biāo)角度，c為電磁波傳播的速度。

2.2基于稀疏表示的DOA估計(jì)模型

稀疏表示進(jìn)行 DOA估計(jì)的主要思想是將信號(hào)的陣列流型矩陣擴(kuò)展成一個(gè)過完備的冗余字典D，它包含了所有可能的源位置信息。令θ={θ1,θ2,…,θN}代表所有可能的源位置的一個(gè)采樣集合，θn代表信號(hào)的到達(dá)角度(DOA)，方向矩陣A可擴(kuò)展成如下的過完備字典：

定義N×1的信號(hào)向量h={h1,h2,…,hN}，當(dāng)且僅當(dāng)源信號(hào)位于角度θn處，hn有非零值，其他分量均為零，可以得到DOA估計(jì)的稀疏模型：

利用基追蹤(Basic Pursuit,BP)[11]等稀疏分解算法求得h，根據(jù)h中非零元素的位置可以得到信號(hào)的DOA。直接利用式(5)進(jìn)行稀疏分解進(jìn)行DOA估計(jì)，容易受到噪聲的影響。文獻(xiàn)[10]提出l1-SVD的方法進(jìn)行DOA估計(jì)。即對(duì)式(2)陣列的接收數(shù)據(jù)采集多個(gè)快拍，然后對(duì)這些快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解，取其中的p個(gè)較大奇異值對(duì)應(yīng)的奇異向量的線性組合作為式(5)待分解的向量Y。

3 未知信源數(shù)下的DOA估計(jì)方法

3.1基于陣列協(xié)方差矩陣特征向量稀疏分解的DOA估計(jì)方法(EV-SD算法)

l1-SVD方法需要估計(jì)信號(hào)源的數(shù)目，本文利用多快拍數(shù)據(jù)估計(jì)陣列輸出的協(xié)方差矩陣，然后對(duì)協(xié)方差矩陣作特征值分解，利用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為待分解的數(shù)據(jù)向量，來實(shí)現(xiàn) DOA估計(jì)，避免了估計(jì)信源數(shù)目。

多采樣信號(hào)可以表示成如下形式：

利用L個(gè)快拍數(shù)據(jù)得到陣列的協(xié)方差矩陣估計(jì)值。

對(duì)R做特征值分解得

如果信號(hào)協(xié)方差矩陣的秩為K(K≤p)，假設(shè)噪聲協(xié)方差矩陣RN為滿秩矩陣，則有如下線性關(guān)系[12]：

其中1≤k≤K,ek為特征矢量，xk(i)為線性組合因子。當(dāng)噪聲協(xié)方差矩陣為理想白噪聲時(shí)，式(9)即簡(jiǎn)化為

式(10)說明無論信號(hào)源是否相干，最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量是各信號(hào)源方向矢量的一個(gè)線性組合。令協(xié)方差矩陣的最大特征值為emax，則

參照式(4)對(duì)a(θi)進(jìn)行擴(kuò)展，形成冗余字典D，得到特征向量的稀疏模型：

對(duì)式(12)進(jìn)行稀疏分解得到h,h中非零元素的位置就代表了空間目標(biāo)的方位信息。不同于基于快拍數(shù)據(jù)稀疏分解的 DOA估計(jì)方法，特征值分解減弱了噪聲的影響，而選取最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)一步減弱了噪聲的影響，因此本文方法在低信噪比情況下魯棒性較好。

3.2 基于陣列協(xié)方差矩陣高階冪稀疏分解的DOA估計(jì)方法(HOP-SD算法)

EV-SD方法雖然不需要估計(jì)信號(hào)源的數(shù)目，但是計(jì)算過程中的特征值分解計(jì)算量較大。因此本文提出一種不需要特征值分解和估計(jì)信號(hào)源數(shù)目的DOA估計(jì)方法。對(duì)陣列協(xié)方差矩陣R做特征值分解：

式中∑s為大特征值組成的對(duì)角陣，∑N為小特征值組成的對(duì)角陣。Us=[e1,e2,…,ep]為大特征值對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間，UN=[ep+1,…,eM]為小特征值對(duì)應(yīng)的噪聲子空間(信號(hào)為獨(dú)立信號(hào)時(shí)，p為信號(hào)個(gè)數(shù)；存在相干信號(hào)時(shí)，p為協(xié)方差矩陣的秩)。由式(13)可得

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，在一定信噪比條件下，m取有限整數(shù)就能獲得很好的收斂性能。令Rm=[r1,r2,…,rM],rm為M×1維的列向量。根據(jù)式(15)，則

其中(·)i表示取向量的第i個(gè)元素。從式(16)可以看出，ri是所有大特征向量的線性組合。將協(xié)方差矩陣高階冪的所有列向量相加，形成一個(gè)新的向量：

其中fi(i=1,2,…,p)代表組合系數(shù)。式(10)說明無論信號(hào)源是否相干，大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量是所有信號(hào)方向矢量的一個(gè)線性組合。由式(17)和式(10)可知，協(xié)方差矩陣高階冪的所有列向量的和向量b是所有信號(hào)方向矢量的一個(gè)線性組合。即

參照式(4)對(duì)a(θi)進(jìn)行擴(kuò)展，形成冗余字典D，得到特征向量的稀疏模型為

對(duì)式(19)進(jìn)行稀疏分解得到h,h中非零元素的位置就代表了空間目標(biāo)的方位信息。不同于l1-SVD方法，本文提出的HOP-SD算法不需要特征值分解，計(jì)算量較小。同時(shí)不需要估計(jì)信號(hào)源的數(shù)目，增強(qiáng)了算法的魯棒性。

3.3 稀疏正則化方法

由式(12)或式(19)求得h的過程實(shí)際上是一個(gè)反問題，反問題的特點(diǎn)亦為其難點(diǎn)就是：它們?cè)贖adamard定義下是不適定的，即在反問題中我們不能完全保證解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。通常利用正則化方法解決此類問題。盡可能地保證近似解的穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，保留解的盡可能多的信息。由于信號(hào)的稀疏特性，使得我們可以找到充分稀疏的唯一解，而且通過這個(gè)稀疏擴(kuò)展就可以精確重構(gòu)原信號(hào)[13,14]。

找到最好的、也就是最稀疏的信號(hào)表示，等同于解決下述問題：

其中是序列h中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)。從一個(gè)隨機(jī)冗余字典中尋找信號(hào)的稀疏擴(kuò)展是一個(gè) NP難問題，為解決這一難點(diǎn)，Chen等人[11]將其轉(zhuǎn)化為解決下述稍有差別的問題：

當(dāng)上述模型含有噪聲時(shí)，式(21)的約束條件不再適用，問題轉(zhuǎn)化為最小化目標(biāo)函數(shù)：

目標(biāo)函數(shù)中前一項(xiàng)反映失配程度，后一項(xiàng)反映稀疏性要求，λ為正則化參數(shù)。由于h是復(fù)數(shù)，它的l1范數(shù)為

可以發(fā)現(xiàn)式(23)的兩邊平方仍不能消除平方根項(xiàng)，直接導(dǎo)致我們不能使用二次規(guī)劃的方式最小化目標(biāo)函數(shù)。為了解決這個(gè)問題，我們采用二階錐規(guī)劃的方法，其轉(zhuǎn)化形式為

利用內(nèi)點(diǎn)法可以有效解決上述優(yōu)化問題，得到式(19)中稀疏分解的系數(shù)，進(jìn)而根據(jù)非零元素的位置求得信源的DOA估計(jì)值。式(22)或式(24)的求解需要參數(shù)λ的值，λ的取值不同，所得估值可能不同。故估計(jì)式(22)的關(guān)鍵是如何選擇合適的參數(shù)λ。L-曲線法是較成熟的方法，以對(duì)數(shù)為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，并以正則化參數(shù)λ為參變量得到類似于“L”形狀的擬合曲線圖，即?！癓”曲線上曲率最大的那點(diǎn)對(duì)應(yīng)的λ值是L-曲線的最優(yōu)值。圖1為式(24)的“L”曲線，根據(jù)圖1中曲率最大的點(diǎn)可以得到最優(yōu)的正則化參數(shù)λ=0.26。在下文的仿真實(shí)驗(yàn)中，正則化參數(shù)為0.26。

4 實(shí)驗(yàn)及性能分析

實(shí)驗(yàn)1 HOP-SD算法中冪指數(shù)的選取

HOP-SD算法利用陣列協(xié)方差矩陣的高階冪提取信號(hào)子空間作為特征分解的向量，理論上冪指數(shù)趨近于無窮大才能收斂到信號(hào)子空間，為了分析冪指數(shù)m對(duì)算法的性能影響，做如下實(shí)驗(yàn)：假設(shè)來波方向在0～180°內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的2個(gè)獨(dú)立信號(hào)入射到5元均勻線陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)，分別采用不同的冪指數(shù)計(jì)算 DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化曲線，每個(gè)信噪比下進(jìn)行1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)(如圖2所示)。

從圖2可以看出，在較低信噪比(-10 dB)的情況下，較小的冪指數(shù)不能使算法收斂到令人滿意的程度，均方根誤差達(dá)到 2.2°。隨著冪指數(shù)的增大，算法逐漸收斂，冪指數(shù)大于等于5時(shí)，收斂效果較好，估計(jì)的均方根誤差小于1°。因此實(shí)際應(yīng)用時(shí)，冪指數(shù)m取有限整數(shù)就能獲得很好的收斂性能。下文的仿真實(shí)驗(yàn)中，m=5。

實(shí)驗(yàn)2 對(duì)獨(dú)立信號(hào)的分辨率和估計(jì)精度

為了驗(yàn)證算法對(duì)兩個(gè)間隔很近信號(hào)的分辨能力，作如下定義：如果對(duì)兩個(gè)信號(hào)的估計(jì)誤差在1°以內(nèi)，則認(rèn)為能成功分辨，否則不能分辨。在信噪比15 dB下，2個(gè)獨(dú)立信號(hào)入射到5元均勻線陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)。圖3是不同角度間隔下的分辨概率。每個(gè)角度間隔下進(jìn)行1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。圖4是不同信噪比下的均方根誤差，信號(hào)的來波方向在0～180°內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，每個(gè)信噪比下進(jìn)行 1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。

從圖3可以看出，本文提出的HOP-SD和EVSD算法對(duì)非相干信號(hào)具有較高的分辨率，能分辨出很近的兩個(gè)信號(hào)，分辨性能明顯優(yōu)于MUSIC算法。在低信噪比下EV-SD算法稍優(yōu)于HOP-SD算法。從圖4可以看出，本文提出的方法具有較高的估計(jì)精度。在信噪比為-10 dB時(shí)，均方根誤差小于1°，和l1-SVD方法接近，優(yōu)于MUSIC算法。

實(shí)驗(yàn)3 相干信號(hào)的分辨率和估計(jì)精度

在信噪比15 dB下，2個(gè)相干信號(hào)入射到5元均勻線陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)。圖5是不同角度間隔下的分辨概率。每個(gè)角度間隔下進(jìn)行1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。圖6是不同信噪比下的均方根誤差，信號(hào)的來波方向在0～180°內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，每個(gè)信噪比下進(jìn)行1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。

圖1 L曲線圖

圖2 不同冪指數(shù)下的均方根誤差隨信噪比變化曲線

圖3 不同角度間隔下的分辨概率(非相干信號(hào))

從圖5可以看出，本文提出的 HOP-SD和EV-SD算法對(duì)相干信號(hào)同樣具有較高的分辨率，能分辨出很近的兩個(gè)信號(hào)，在低信噪比下EV-SD算法稍優(yōu)于HOP-SD算法。而MUSIC算法在相干信號(hào)存在的情況下，分辨性能嚴(yán)重下降。從圖6可以看出，本文方法對(duì)相干信號(hào)同樣具有較高的估計(jì)精度。在信噪比為-10 dB時(shí)，均方根誤差小于 1°。而MUSIC算法在存在相干信號(hào)時(shí)，性能嚴(yán)重下降。

圖4 不同信噪比下的均方根誤差(非相干信號(hào))

圖5 不同角度間隔下的分辨概率(相干信號(hào))

圖6 不同信噪比下的均方根誤差(相干信號(hào))

實(shí)驗(yàn)4 信號(hào)源過估計(jì)和欠估計(jì)時(shí)性能

假設(shè)來波方向在0～180°內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的2個(gè)獨(dú)立信號(hào)入射到5元均勻線陣上，陣元間距為半波長(zhǎng)，分別采用l1-SVD算法和本文方法計(jì)算DOA估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化曲線，每個(gè)信噪比下進(jìn)行1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。圖7是信源過估計(jì)時(shí)的估計(jì)精度比較，圖8是信源欠估計(jì)時(shí)的估計(jì)精度比較。

從圖7可以看出：當(dāng)信源過估計(jì)時(shí)，l1-SVD算法的估計(jì)精度嚴(yán)重下降，而本文提出的HOP-SD和EV-SD算法不受信源數(shù)估計(jì)正確與否的影響，不受其影響。從圖8可以看出，信源數(shù)欠估計(jì)時(shí)，對(duì)l1-SVD算法和本文方法的影響并不大。這主要是因?yàn)?，信源?shù)欠估計(jì)時(shí)，l1-SVD算法作為稀疏分解的奇異向量，仍然包含在信號(hào)子空間中，并且含有所有信號(hào)方向矢量的成分(證明參考式(10))。

5 結(jié)論

論文研究了兩種基于稀疏分解的 DOA估計(jì)方法，理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證所提算法具有很高的分辨率和估計(jì)精度，同時(shí)能夠適用于相干信號(hào)，不同于l1-SVD方法，本文提出的方法不需要估計(jì)信號(hào)源的數(shù)目，增強(qiáng)了算法的魯棒性。其中， EV-SD算法的分辨能力和估計(jì)精度在低信噪比下稍優(yōu)于HOP-SD算法。冗余字典的構(gòu)造和快速高效的稀疏分解算法是稀疏分解在DOA應(yīng)用中的難點(diǎn)和關(guān)鍵，目前適用于多維 DOA估計(jì)的冗余字典的構(gòu)造正在深入研究之中。

圖7 信源過估計(jì)時(shí)的均方根誤差

圖8 信源欠估計(jì)時(shí)的均方根誤差

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