“放大錯誤”——直擊數(shù)學本質(zhì)屬性

鄭圣發(fā)

（寧德市壽寧縣鰲陽小學，福建 寧德 355500）

【緣起】

在學校組織的年段互聽互學活動中，一位同組的教師執(zhí)教了蘇教版數(shù)學第十二冊的《放大和縮小》一課。當順利完成新課教學、配套練習后，教師補充了一道練習題：你能畫出平行四邊形（如圖①）按2∶1的比放大后的圖形嗎？

出乎教師們的意料，只有10%的學生畫出了正確的圖形（如圖③），有90%的學生畫成了上圖中的圖②。上課教師對學生的錯誤無所適從，盡管盡力指導、評析，仍有學生似懂非懂，不明就里。

【剖析】

課后，同組的教師們一交流，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)完成此練習教學的班級也出現(xiàn)了類似的狀況。接下來，教師們的交流聚焦于兩個問題，一是本節(jié)課有沒有必要拓展到平行四邊形的放大和縮小；二是學生為什么會發(fā)生這種錯誤。

對于問題一，大家一致認為有必要。雖然教材的例題、試一試、練一練等題目中都只出現(xiàn)長方形、正方形、直角三角形，但是從長方形、正方形、三角形的放大和縮小想到平行四邊形是自然之事，況且蘇教版配套的《練習與測試》中就多次要求對平行四邊形、梯形按一定的比放大和縮小。

對于問題二，經(jīng)過深入討論分析，各位教師認為原因亦有二。

首先是對“放大和縮小”的本質(zhì)屬性認識有偏差。圖形的放大和縮小是研究圖形的變換，是一種相似變換，與旋轉(zhuǎn)、平移等剛性變換不同，其本質(zhì)屬性不僅是對應線段（各邊長）都擴大或縮小相同的倍數(shù)，還要保持圖形的形狀不變（大小、方向、位置可變，每個角的大小不變）。教材中利用圖形的放大和縮小引出相同的比，只是本質(zhì)屬性特征中的一部分而已。教學中，教師多是挖掘圖形放大和縮小時各對應邊長的變化規(guī)律，從已知的“比”判斷圖形是放大或縮小，忽略了觀察圖形的形狀保持不變的特性。

其次是教材編排的局限性。教材在編寫“圖形的放大和縮小”時，例題呈現(xiàn)的是長方形的放大和縮小，練習中也只是讓學生按一定的比放大或縮小長方形、正方形、直角三角形，沒有出現(xiàn)平行四邊形、梯形。學生在完成這些練習時更多關注對應邊的放大或縮小，因為長方形、直角三角形的直角特性掩蓋了學生對圖形形狀變化的觀察（角的大?。瑢W生忽略了相似變換的另一個本質(zhì)屬性。所以，當面對平行四邊形的放大和縮小時，學生下意識地回避了相鄰的兩條邊，不約而同地選擇了底和高（底和高也成直角）。再者畫出的圖形也是平行四邊形，迷惑了學生的判斷，沒有引起學生的質(zhì)疑。

【對策】

認知心理學告訴我們，當學生在第一次認知活動中產(chǎn)生錯誤時，恰當而及時地處理可以有效糾正學生的錯誤認識。那么怎樣進行處理呢？筆者隨后在本班的教學活動中就此環(huán)節(jié)進行了嘗試。

第一步：將錯就錯——觸及本質(zhì)屬性

在學生完成了上面的練習后，展示不同的畫法，讓學生說說怎么想的。肯定有學生認為平行四邊形②也是把底和高都擴大2倍，所以也是平行四邊形①放大后的圖形，這時教師出示課前準備好的一組圖形：“請看下面的一組圖，它們的底和高都是4厘米，也就是說它們的底和高都擴大了2倍，照你們的想法，它們都是由平行四邊形①按2∶1的比放大而來的嘍？”學生看到這組圖形后議論紛紛，七嘴八舌地說：“這些平行四邊形與原來的平行四邊形越來越不像了?！薄靶边叢皇菙U大2倍，越來越長了?！薄靶螤钭兞?，就不是放大與縮小了?！薄瓕W生似乎開始明白了。

第二步：回顧反思——感受本質(zhì)屬性

再次出示例題和練習題放大和縮小前后的圖形，讓學生觀察、比較，直觀感受放大和縮小時圖形的形狀不變。追問：“平行四邊形越來越不像了，是因為形狀發(fā)生了變化，是嗎？”“要使形狀不發(fā)生變化，也就是要使平行四邊形中的哪個特征保持不變？”讓學生討論、分析，明確要使形狀不變就要使得斜邊與底邊的夾角不變。

第三步：再次操作——抓住本質(zhì)屬性

放手讓學生再次操作，通過同桌交流，創(chuàng)造出了獨特的方法。

方法一：在原圖上把相鄰的兩條邊按2∶1放大。

方法二：借助原圖的斜邊，把斜邊和底邊按2∶1放大。

方法三：看斜邊在水平方向上所占的格子數(shù)，原平行四邊形斜邊在水平方向上占1格，按2∶1放大后應該在水平方向上占2格。

方法四：把原圖分成兩部分，以直角三角形為標準按2∶1放大，然后補充完成平行四邊形。

從學生創(chuàng)造出的四種方法看來，他們已經(jīng)掌握了放大和縮小這一數(shù)學知識的本質(zhì)屬性，他們關注圖形的放大與縮小要保持形狀不變，也就是關注各邊的夾角角度不發(fā)生變化。

【反思】

學生在學習過程中難免犯錯誤，學習本身就是一個由出錯、辨錯到糾錯的循環(huán)往復、不斷提升的過程，這是教學的客觀規(guī)律。學生的錯誤反映了學生學習過程中存在的疑惑和困難，為教學提供了可靠的信息和有效的切入點，可以成為我們重要的教學資源。我們不僅要重視錯誤，糾正錯誤，還要“放大”錯誤，剖析錯誤，從錯誤中查找錯因，從錯誤中提高認識，從錯誤中增強能力。著眼于學生的發(fā)展，適時、恰當?shù)亍胺糯箦e誤”，能直擊數(shù)學知識的本質(zhì)屬性，能讓我們的數(shù)學課堂煥發(fā)精彩，這才是我們數(shù)學教學的本真追求。