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    直流電阻率三維正演的預(yù)條件共軛梯度法研究

    2012-09-18 08:17:48楊金鳳鄧居智匡海陽(yáng)
    物探化探計(jì)算技術(shù) 2012年3期
    關(guān)鍵詞:線性方程組共軛差分

    楊金鳳,鄧居智,陳 輝,匡海陽(yáng)

    (東華理工大學(xué) 放射性地質(zhì)與勘探技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,江西撫州 344000)

    直流電阻率三維正演的預(yù)條件共軛梯度法研究

    楊金鳳,鄧居智,陳 輝,匡海陽(yáng)

    (東華理工大學(xué) 放射性地質(zhì)與勘探技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,江西撫州 344000)

    電阻率三維正演;SSOR-PCG;異常場(chǎng)法;有限差分法;E-SCAN法

    0 前言

    近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展,需要巨大的計(jì)算量及計(jì)算機(jī)內(nèi)存的電阻率三維正演在PC機(jī)上得以實(shí)現(xiàn),并逐漸步入實(shí)用階段。但要實(shí)現(xiàn)快速高效的全三維電阻率反演,仍然具有一定的難度,而正演是反演的基礎(chǔ),因而電阻率三維正演仍然是當(dāng)前研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)[2~5]。如何快速、準(zhǔn)確地求解離散后的線性方程組,則是直流電阻率三維正演的核心問題。

    在常用的線性方程組的求解方法中,預(yù)條件共軛梯度法是較好的迭代方法,特別是不完全Cholesky共軛梯度(ICCG)法[2,6~8]。但是對(duì)于大型復(fù)雜問題,必然要增加網(wǎng)格剖分的數(shù)量,那么計(jì)算機(jī)內(nèi)存的占用量勢(shì)必要增加,且計(jì)算速度也會(huì)受到影響。這就需要在此基礎(chǔ)上研究其它一些更適合的預(yù)處理方法,進(jìn)一步優(yōu)化內(nèi)存占用量和計(jì)算速度[9]?;谟邢薏罘值臄?shù)值計(jì)算方法,Spitzer[10]采用對(duì)稱超松弛預(yù)條件共軛梯(SSOR-CG)法求解離散的線性方程組,實(shí)現(xiàn)了快速、精確、實(shí)用性強(qiáng)的正演計(jì)算。吳小平[7]引入不完全Cholesky共軛梯度(ICCG)算法及一維稀疏存儲(chǔ)模式,實(shí)現(xiàn)了電阻率三維有限差分正演的快速計(jì)算。作者在SPITZER的研究基礎(chǔ)上,利用SSOR-CG法研究直流電阻率三維有限差分正演問題,采用第一類邊界條件和混合邊界條件,并引入異常場(chǎng)法來(lái)消除總場(chǎng)中由點(diǎn)電源導(dǎo)致的奇異性。

    1 直流電阻率法三維正演

    1.1 基本方程及其邊界條件

    將點(diǎn)電源置于水平地面上A點(diǎn),I為電流強(qiáng)度。產(chǎn)生電源三維地電場(chǎng)電位u滿足微分方程:

    式中 σ(x,y,z)為電導(dǎo)率;f為電流源項(xiàng),是源位置的函數(shù)。

    當(dāng)電流強(qiáng)度為+I(xiàn)的點(diǎn)電流源時(shí),源函數(shù)為:

    式中 (x,y,z)、(x0,y0,z0)分別為觀測(cè)點(diǎn)和點(diǎn)電流源位置;δ為狄拉克函數(shù)。

    u滿足如下邊界條件的電位函數(shù)。

    其中 Γs為區(qū)域Ω的地面邊界;?!逓閰^(qū)域Ω的地下無(wú)窮遠(yuǎn)邊界;n是邊界外法線方向的坐標(biāo)變量;r為源點(diǎn)到邊界上點(diǎn)的向徑;θ是邊界外法線方向的單位矢量n與r的夾角。

    1.2 異常場(chǎng)法

    從上面的方程可以看出,電位函數(shù)存在電流源項(xiàng),即該函數(shù)在點(diǎn)電流源上存在奇異點(diǎn)。那么當(dāng)求解區(qū)域存在電流源時(shí),如果采用總場(chǎng)電位法求解,往往造成電源附近解的不可信。一種常見的做法是將場(chǎng)源所在點(diǎn)從求解區(qū)內(nèi)“挖除”,這樣便在被“挖除”的場(chǎng)源點(diǎn)周圍形成新的求解邊界。這些新邊界上的節(jié)點(diǎn)離場(chǎng)源很近,而場(chǎng)源在那里產(chǎn)生的正常場(chǎng),一般都大大超過不均勻體產(chǎn)生的異常場(chǎng),因而這些邊界節(jié)點(diǎn)位置可以近似為正常場(chǎng)值。但是由于場(chǎng)源附近的電場(chǎng)變化梯度很大,而用差商代替微商的作法是以節(jié)點(diǎn)之間的電位變化為基礎(chǔ)的,所以為提高差分格式的近似程度,必須在場(chǎng)源附近減小網(wǎng)格步長(zhǎng)。但這樣會(huì)使網(wǎng)格剖分和構(gòu)組差分格式變得復(fù)雜、繁瑣,而減小步長(zhǎng)又勢(shì)必增加總結(jié)點(diǎn)數(shù),從而增加計(jì)算量和計(jì)算費(fèi)用[11]。

    為了提高計(jì)算精度和計(jì)算速度,避免由源奇異性引起的差分計(jì)算復(fù)雜性,作者采用將解析計(jì)算和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法,即異常場(chǎng)法[12、13]。假設(shè)電流源附近的電導(dǎo)率為σM,由供電電流源在以電導(dǎo)率σM為均勻半空間產(chǎn)生的正常場(chǎng)為up,與供電電流源無(wú)關(guān)的由電阻率分布異常引起的異常場(chǎng)為us??傻萌缦玛P(guān)系式:

    將式(5)、式(6)代入基本方程,得異常場(chǎng)方程

    其中 邊界條件為:

    1.3 微分方程離散化

    利用有限差分法對(duì)式(7)進(jìn)行數(shù)值求解時(shí),由于方程是二階微分方程,含有對(duì)電導(dǎo)率空間分布的導(dǎo)數(shù),要求電導(dǎo)率具有一定的連續(xù)性才可以求解因此對(duì)式(7)進(jìn)行體積分,由格林定理將體積分化為面積分,消除對(duì)電導(dǎo)率的導(dǎo)數(shù)要求,再利用有限差分法構(gòu)成求解方程[2],即:

    對(duì)式(10)應(yīng)用格林定理,有:

    式中 si,j,k為包圍區(qū)域Δvi,j,k的表面。

    對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行六面體剖分,然后在網(wǎng)格點(diǎn)上利用七點(diǎn)差分格式離散,如圖1所示。

    圖1 直流電阻率三維正演網(wǎng)格剖分和離散示意圖Fig.1 3-D finite difference grid discretization

    從式(11)可見,對(duì)研究區(qū)域及其邊界,邊界條件式(8)和式(9)可直接應(yīng)用到該方程中。利用中心差商近似得代替us/n,并沿體積Δvi,j,k的邊界積分,則第(i,j,k)節(jié)點(diǎn)及其周圍六個(gè)節(jié)點(diǎn)上的電位滿足式(12)。

    對(duì)于全部有限網(wǎng)格的所有節(jié)點(diǎn),式(12)可表示成矩陣形式:

    式中 A為耦合系數(shù);u為待求節(jié)點(diǎn)的異常場(chǎng)列向量;b為已知向量。

    2 基于SSOR-PCG法的大型稀疏線性方程組求解

    對(duì)于電阻率三維正演問題,大型線性方程組的求解是決定計(jì)算速度和效率的關(guān)鍵一步。而由前面的分析可知,電阻率三維正演所形成的矩陣是含有大量零元素的稀疏矩陣。如果使用一維變帶寬存儲(chǔ)方式,其中仍包含大量的零元素,很大程度上浪費(fèi)了內(nèi)存空間;而使用直接法求解該方程組,其速度又不是很理想。為此,作者采用一維非零元素的壓縮存儲(chǔ)的方式對(duì)系數(shù)矩陣的存儲(chǔ),并利用預(yù)條件共軛梯度法求解大型線性方程組,極大地降低了內(nèi)存占用量和提高了計(jì)算速度。

    2.1 一維非零元素壓縮存儲(chǔ)模式

    由系數(shù)矩陣A的特點(diǎn)可知,其每行或每列至多含七個(gè)非零元,即含有七個(gè)非零對(duì)角元。而從式(12)可看出,節(jié)點(diǎn)(i,j,k)的電位值u只與其相鄰六個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位值有關(guān),因此在程序中定義七個(gè)一維整型數(shù)組ipos0(μ)、…、ipos6(μ)來(lái)指示系數(shù)C0(μ)、…、C6(μ)中的每一個(gè)非零元的列號(hào),這里μ=1、…、imjmkm,用以指示非零元的行號(hào),也是節(jié)點(diǎn)編號(hào)。其中離散的節(jié)點(diǎn)按照從左到右,從前到后,從上到下的順序編號(hào),按編號(hào)i、j、k,i=1、…、im;j=1、…、jm;k=1、…、km,首先沿剖分的x方向讀取,然后再沿y方向,最后沿z方向依次循環(huán)讀取。這樣很容易得到任意位置編號(hào)(i,j,k)的非零元的行號(hào),按式(15)計(jì)算:

    那么對(duì)應(yīng)的列號(hào)也隨即可以確定。

    從上面的存儲(chǔ)過程可以看出,其比按行壓縮存儲(chǔ)更為簡(jiǎn)單易行。由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)位置(i,j,k),這樣就不需要保存每一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的連接系數(shù)在矩陣中的行和列。而根據(jù)節(jié)點(diǎn)編號(hào)可以很容易地反向計(jì)算出節(jié)點(diǎn)的具體位置(i,j,k),同時(shí)其周圍六個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置和它編號(hào)μ也可以求得。在計(jì)算矩陣與列向量的乘積時(shí),只有七個(gè)節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的列向量中非零元與列向量進(jìn)行相乘,這樣就可以消除與零元素相乘的運(yùn)算,提高了解方程的速度,所需的存儲(chǔ)空間也得以大大減少。

    2.2 SSOR-PCG迭代算法

    共軛梯度迭代算法,對(duì)于系數(shù)矩陣接近單位陣時(shí)其對(duì)應(yīng)條件數(shù)很小,計(jì)算速度很快;而當(dāng)A的條件數(shù)cond(A)>102時(shí),則收斂速度就很慢。所以對(duì)于電阻率三維正演計(jì)算的類似問題,由于網(wǎng)格大小和物性參數(shù)可能相差幾個(gè)數(shù)量級(jí),所形成的大型稀疏線性方程組的稀疏矩陣A的特征值的變化范圍很大,因而對(duì)應(yīng)的條件數(shù)必然很大,所以就要對(duì)式(14)的線性系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)處理,改善矩陣A的條件數(shù)。然后再運(yùn)用CG法解該式,計(jì)算速度將會(huì)大大提高。

    作者在本文采用SSOR預(yù)條件方法[14],先將系數(shù)矩陣A分解為:

    其中 E是下三角矩陣;I是單位矩陣。

    其中 L=I+wE;w是松弛因子。

    解式(14)的SSOR預(yù)條件共軛梯度迭代過程如下:

    其中 r0、p0是共軛梯度迭代的初始化向量;u0是解的初值;α、β為常數(shù)。

    從以上的計(jì)算流程可以看出,預(yù)條件矩陣很容易求得,且不增加計(jì)算內(nèi)存需求。這樣在整個(gè)計(jì)算過程中,主要就是系數(shù)矩陣A與任一列向量的乘積,以及預(yù)條件矩陣與任一列向量的乘積。而A中每一行的非零元素不參加計(jì)算,再加上用一維稀疏存儲(chǔ),所以可以快速求得。關(guān)鍵是如何快速的求得預(yù)條件矩陣M的逆與任一向量的乘積,直接求解很困難。注意到L是下三角陣,而LΤ是上三角陣,可先將ti=(LLΤ)-1ri轉(zhuǎn)化為求方程組LLΤti=ri,然后用高斯消去法先順帶、后回帶解得ti。由于矩陣L中僅有少量的非零元素,并以稀疏存儲(chǔ)方式存儲(chǔ),因此順帶和回帶過程僅涉及少量非零元素的操作,均可以非常簡(jiǎn)單、快速地完成。

    松弛因子w的選擇是控制迭代收斂的重要參數(shù),對(duì)模型給予不同的w值試算結(jié)果如下頁(yè)圖2所示。從圖2可看出,w在1.3~1.7之間迭代次數(shù)變化較小,對(duì)迭代過程影響不是很大;而w取“0”時(shí),該迭代是發(fā)散的;最終取w值為“1.5”,此時(shí)的收斂速度最快。SSOR-PCG迭代的收斂標(biāo)準(zhǔn)是是第一次迭代后殘差的L2范數(shù)。

    由此可見,單獨(dú)的SSOR-PCG迭代技術(shù)或系數(shù)矩陣稀疏存儲(chǔ)技術(shù)均不能有效的解決問題,但將兩者有機(jī)地結(jié)合,再加上合適的松弛因子的選擇就可形成快速高效的迭代算法。

    3 模型算例

    3.1 垂直接觸帶模型

    垂直接觸帶模型如下頁(yè)圖3(b)所示,左邊介質(zhì)的電阻率是1Ωm,右邊的電阻率為10Ωm。單

    其預(yù)條件矩陣定義為:位點(diǎn)電源位于左邊介質(zhì)上,距界面6m,采用39× 39×20網(wǎng)格剖分,計(jì)算機(jī)配置為Intel Core 3.0GHz雙核處理器,內(nèi)存3.0GB,32為XP系統(tǒng)。SSOR-PCG算法迭代546次收斂,耗時(shí)3.69s。圖3(a)是單位點(diǎn)電源的總電場(chǎng)法,異常場(chǎng)法計(jì)算結(jié)果和理論電位曲線的比較。異常電場(chǎng)法計(jì)算的電位曲線和理論電位曲線幾乎完全吻合,平均誤差為0.69%;而總場(chǎng)法計(jì)算的電位曲線相差很大,其平均誤差為9.03%,尤其是在源點(diǎn)附近誤差很大,這是由源的奇異性引起的。

    圖2 對(duì)不同的松弛因子w值SSOR-PCG算法所需的迭代次數(shù)Fig.2 The number of iteration required by SSOR-PCG for different relaxation factors

    3.2 層狀介質(zhì)模型

    模型2為二層介質(zhì),第一層電阻率為10Ωm,第二層的電阻率為100Ωm,厚度為3m。采用39 ×39×20的網(wǎng)格剖分,SSOR-PCG迭代742次,耗時(shí)5.23s。

    表1是單位點(diǎn)電源的總場(chǎng)法、異常場(chǎng)位法計(jì)算結(jié)果ut、us和理論電位值u的比較。異常場(chǎng)法計(jì)算的平均誤差△uS為0.16%,而總場(chǎng)法的平均誤差△ut為6.48%,精度提高一個(gè)多量級(jí)。特別是在電源附近,總場(chǎng)法計(jì)算誤差較大,異常場(chǎng)法計(jì)算精度較高。從表1還可看出,利用源點(diǎn)移除法,去除源點(diǎn)后總場(chǎng)法的平均誤差為3.45%,誤差減小了近一半,但還是比異常場(chǎng)法的平均誤差高,其平均誤差只有0.12%??梢姰惓?chǎng)法對(duì)于提高計(jì)算精度,有顯著的效果。

    3.3 低阻異常模型

    為了說(shuō)明SSOR-PCG迭代算法在直流電阻率三維正演模擬中計(jì)算的可靠性,作者設(shè)計(jì)了一個(gè)典型的低阻異常模型,設(shè)地下有一個(gè)40m×40m× 20m,電阻率為1Ωm的低阻長(zhǎng)方體,如圖4所示其頂部埋深為20m,圍巖的電阻率為100Ωm;圖4(b)是電性分界線在地面(xoy平面)的投影。將計(jì)算區(qū)域剖分為37×37×21個(gè)單元。

    作者采用的是高密度三維觀測(cè)方法ESCAN[15],將所布設(shè)的電極網(wǎng)格化為21×21,其中x方向和y方向均布設(shè)21個(gè)電極,點(diǎn)距、線距均為5m。圖4(b)標(biāo)出地面上E-SCAN法測(cè)量的441個(gè)電極位置。

    圖5為y=0低阻異常體中心E-SCAN裝置視電阻率擬斷面圖,其中橫坐標(biāo)x為算術(shù)坐標(biāo),縱坐標(biāo)AM/2為對(duì)數(shù)坐標(biāo)。由圖5可見,低阻模型會(huì)產(chǎn)生一個(gè)低阻異常區(qū)和高阻異常區(qū),低阻異常區(qū)范圍為AM/2從2.5m至20m,x方向從-40m~40m變化。高阻異常區(qū)位于低阻異常體下方,橫向范圍與模型基本一致。

    圖6為低阻異常體E-SCAN裝置在AM/2分別取3.54m、10.31m、15.2m、27.5m時(shí)的視電阻率等值線圖。圖6(a)中由于其探測(cè)深度還未到低阻異常體,視電阻率基本無(wú)變化;圖6(b)及圖6(c),由于受低阻異常體影響,在中心位置有一個(gè)明顯的低阻異常區(qū),范圍比低阻異常體大;下頁(yè)圖6(d)其探測(cè)深度穿過異常體時(shí),在中心位置出現(xiàn)一個(gè)明顯半徑大約為20m近似圓形高阻假異常區(qū)由此可見,E-SCAN裝置視電阻率受低阻異常體影響,隨著AM的增大由低阻異常轉(zhuǎn)向高阻異常異常范圍也隨之變小,并且E-SCAN裝置對(duì)異常體橫向分辨較好,縱向分辨率差。

    4 結(jié)論

    作者在本文詳細(xì)推導(dǎo)了異常場(chǎng)法所形成的方程,并對(duì)方程進(jìn)行差分離散得到大型稀疏線性方程組,將求解該大型稀疏線性方程組的SSOR-PCG迭代算法、系數(shù)矩陣的稀疏存儲(chǔ)技術(shù),以及消除點(diǎn)電源奇異性的異常場(chǎng)法三者有機(jī)的結(jié)合在一起。通過對(duì)二個(gè)簡(jiǎn)單模型的模擬結(jié)果與解析解對(duì)比,結(jié)果表明該方案的數(shù)值解與理論解基本吻合,說(shuō)明將解析計(jì)算和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合,并利用該算法求該正演計(jì)算中的異常電位,能消除點(diǎn)電源奇異性影響,在保持快速計(jì)算的基礎(chǔ)上,顯著提高了計(jì)算精度,而且內(nèi)存需求大大減少。另外對(duì)低阻地電模型的正演模擬結(jié)果表明,SSOR-PCG是電阻率三維有限差分穩(wěn)定高效的計(jì)算方法,實(shí)現(xiàn)了快速精確的電阻率三維正演計(jì)算,為其三維反演奠定了基礎(chǔ)。

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    book=147,ebook=147

    1001—1749(2012)03—0303—07

    P 631.3+22

    A

    10.3969/j.issn.1001-1749.2012.03.11

    楊金鳳(1984-),女,碩士,主要從事電法勘探正反演研究。

    國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2009BAB43B03;2011BAB04B03)

    2012-01-05改回日期:2012-01-09

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    基于差分隱私的大數(shù)據(jù)隱私保護(hù)
    保護(hù)私有信息的一般線性方程組計(jì)算協(xié)議
    基于Matlab實(shí)現(xiàn)線性方程組的迭代解法
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