矩陣代數(shù)的極大零乘子代數(shù)

胡小濤，王國賢

(1.哈爾濱師范大學;2.黑河學院)

1 有關概念及主要結果

約定基域F是特征0代數(shù)閉域.為敘述方便，給出以下幾個定義.設任一n階矩陣A=(aij)，稱(i，j)為元素aij所在的位置，定義

(i，j)＜(k，l)?i=k且j＜l;或者i＜k.于是A的n2個位置構成了字典序.在這個字典序下，稱矩陣A中第一個非零元出現(xiàn)的位置(i，j)為A的水平，記為Lev(A)=(i，j)，稱i為矩陣A的高度，記為ht(A).設V是矩陣代數(shù)Mn(F)的任意子空間，Lev(V)=min{Lev(A)|A∈V}，ht={ht(A)|A∈V}.約定Lev(O)=(∞，∞)，ht(0)=∞，其中O為零矩陣或零空間.如果Lev(A)=(k，l)且第k行為(0，…，0，1，0，…0)，那么稱A是一個廣義矩陣單位，此時將A記為Ukl，設M(n，F(xiàn))為所有n階矩陣構成的向量空間，n(n，F(xiàn))為所有嚴格上三角的n階矩陣構成的向量空間.

記

現(xiàn)將主要結果敘述如下，其證明將在下一節(jié)中給出:

定理1.1 設μ是M(n，F(xiàn))的具有最大維數(shù)的零乘子代數(shù).那么dimμ=［n2/4］且

(1)若n=2m，則μ共軛于A2m;

(2)若n=2m+1，則μ共軛于B2m+1或B2'm.+1

2 相關引理

引理2.1n(n，F(xiàn))在下面兩種相似變換下都保持不變

(A)將第i列乘以非零數(shù)λ，同時將第i行乘以 1/λ;

(B)將第i列的λ倍加到第j列而第i列保持不變，同時將第j行的-λ倍加到第i行而第j行保持不變，這里約定i＜j.

引理2.2 設M是任意零乘子代數(shù).若Lev(M)=(i，k1)，則存在廣義矩陣單位Ui，k1，Ui，k2，…，Ui，kr以及水平大于(i，n)的子空間 l，使得M相似于

其中i＜k1＜k2＜…＜kr≤n且l中每一個矩陣X都滿足:

(1)X的第kj行為零，這里1≤j≤r.

(2)如果TXT-1的第s行為零，那么X的第s行仍為零.

證明 由于零乘子代數(shù)的任意元皆結合冪零，所以根據(jù)Jacobson弱閉集定理，可知零乘子代數(shù)可以同時嚴格上三角.于是不妨認為M?n(n，F(xiàn)).由于Lev(M)=(i，k1)，所以存在矩陣Ai，k1∈M，使得Lev(Ai，k1)=(i，k1)，其中i＜k1＜n應用引理2.1中兩種相似變換使Ai，k1相似于一個廣義矩陣單位Ai，k1且M相似于n(n，F(xiàn))的一個新的零乘子代數(shù)，仍記為M.易見，M中每個矩陣都可寫成aUi，k1+P的形式，其中a∈F且Lev(P)＞(i，k).設M1=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，k1)}.于是M=FUⅠ，k1⊕M1.如果Lev(M1)=(i，k2)，那 么存在矩陣Ai，k2∈V1，使 得Lev(Ai，k2)=(i，k2)，其中i＜k1＜k2≤n.應用引理2.1中兩種相似變換使Ai，k2相似于一個廣義矩陣單位Ui，k2變成了另一個與其相似的矩陣，但第i行沒變，仍記為Ui，k1.這時，M中每個矩陣都可寫成aUi，k1+bUi，k2+P的形式，其中a，b∈F，且Lev(P)＞(i，k2).設M2=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，k2)}.于是Ui，k1，Ui，k2，…，Ui，kr及Mr=Span{P∈M|Lev(P)＞(i，n)}，使得M=FUi，k1⊕FUi，k2⊕ … ⊕FUi，kr⊕Mr.設X是Mr中任意一個矩陣，由于Lev(l)＞(i，n)，所以X的第i行為零，這里1≤j≤r.故對X第一個結論成立.易見，引理2.1中兩種相似變換不改變矩陣的除第kj以外的零行，1≤j≤r.故對X的第二個結論成立.證畢

為了方便，以下將(1)稱為廣義矩陣單位分解，簡稱GMU分解

定理1.1的證明 由引理2.2，可得下列GMU分解:

其中

由引理2.2，上面出現(xiàn)的廣義矩陣單位的下角標的點對中第一個位置的元素不會出現(xiàn)在第二個位置.因此

于是

另一方面，考慮到前面定義的A2m或B2m+1，B2'm+1的結構，可知dimμ≥［n2/4］.故 dimμ=［n2/4］從而

ik=k，rk=n-t其中k=1，…，t

若n=2m，則t=m.由(6)知，當k=1，…，m時，有rk=m.由(5)與(6)，知前面出現(xiàn)的廣義矩陣單位的水平分別為:

若n=2m+1.則t=m或m+1.由(6)知，當k=1，…，m時，有rk=m+1;或者當k=1，…，m+1時，有rk=m.由于(5)與(6)，所以前面出現(xiàn)的廣義矩陣單位的水平分別為:

首先假設n=2m.由(2)-(4)及(7)，知

ht(μm-1)=m-i+1 及dimμm-1=im，1≤i≤m.

其中，μ0=V.對i歸納且由引理2.2，知μm-i由如下形式矩陣組成:

其中

ht(μm-i)=m-i+1≤ht(B)≤m，1≤i≤m，關于任意取定的i，若1 ≤j≤m，則與Vm-i中每個矩陣的乘積為零.進而，通過簡單的計算，知

其中A的前m-i行構成m-i×j的矩陣單位Em-i，j.即

特別的，當i=m-1時，有

進而

因為

所以

若n=2m+1，可作類似的討論，此處略.

［1］ Mirzakhani M.A simple proof of a theorem of Schur.Amer Math Monthy，1988，105:260-262.

［2］ Jacobon N.Schur theorem on commutative matrices.Bull A-mer Math Soc，1944，50:431-436.

［3］ 蘇育才，盧才輝，崔一敏.有限維半單李代數(shù)簡明教程.北京:科學出版社，2008.