一類二階具偏差變元微分方程周期解

陳應生

（華僑大學數(shù)學科學學院，福建泉州362021）

一類二階具偏差變元微分方程周期解

陳應生

（華僑大學數(shù)學科學學院，福建泉州362021）

研究具有偏差變元的二階微分方程x″（t）＋h（x′（t））＋f（x（t））x′（t）＋g（t，x（t－τ（t）））＝p（t）的周期解的存在性問題，利用重合度理論，在滿足一定條件下，得到方程至少存在一個周期解的新結(jié)果．

微分方程；周期解；重合度；偏差變元

二階微分方程周期解問題的研究一直是人們廣泛關(guān)注的問題，文獻［1－4］研究了具有偏差變元的Rayleigh方程x″（t）＋f（x′（t））＋g（t，x（t－τ（t）））＝p（t）的周期解的充分條件．文獻［5］研究了Duffing方程x″（t）＋f（x′（t））＋gx（t－τ（t）））＝p（t）的T周期解問題，得出如果存在M＞0，D＞0，K＞0，使得?。┊攛∈R時，｜f（x）｜≤K；ⅱ）當x≤－D時，g（x）≥－M；ⅲ）當｜x｜≥D時，xg（x）＞0，則方程至少存在一個周期解．文獻［6］研究了x″（t）＋h（x′（t））＋f（x（t））x′（t）＋gx（t－τ（t）））＝p（t）的T周期解問題，其中：f，g，τ和p都是定義在R的連續(xù)函數(shù)，τ和p以T為周期文獻［6］得出如果存在M＞0，D＞0，H＞0和K＞0，使得?。┊攛∈R時，｜f（x）｜≤M；ⅱ）當x∈R時，｜h（x）｜≤K；ⅲ）當｜x｜≥D時，xg（x）＞0且｜g（x）｜＞K；ⅳ）當x≤－D時，g（x）≥－H，則當TM＜1時，方程至少存在一個T周期解．本文研究微分方程

的周期解問題．式（1）中：f，τ和p都是定義在R上的連續(xù)函數(shù)；g是［0，T］×R上的連續(xù)函數(shù)；τ和p以T為周期；g是關(guān)于第1個變量t以T為周期，且∫T0p（t）dt＝0．

1 預備知識

引入重合度理論的連續(xù)性引理．設X，Y是賦范向量空間，L∶DomL?X→Y為線性映射，N∶X→Y是連續(xù)映射．若Dim Ker L＝co dim Im L＜＋∞，Im L為Y的非空閉子集，則稱L是指標為零的Fredholm映射，且存在投影P∶X→X，Q∶Y→Y，使得Im P＝Ker L，ImL＝Ker Q＝Im（I－Q），X＝Ker L⊕Ker P，Y＝ImL⊕ImQ，則L｜DomL∩KerP∶DomL∩Ker P→ImL可逆．設其逆映射為KP，Ω為 X中的有界開集，若QN∶與KP（I－Q）N∶ˉΩ→X都是緊的，則稱映射N的ˉΩ上是L－緊的．由于ImQ與Ker L同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J∶ImQ→Ker L．

引理1 設Ω是X中的有界開集，L∶DomL?X→Y是指標為零的Fredholm映射，N∶X→Y在上是L－緊的，假設?。θ我獾摩恕剩?，1），方程Lx＝λNx的解滿足x??Q；ⅱ）對任意的x∈?Q∩ Ker L，QNx≠0；ⅲ）Brouwer度deg｛JQN，Q∩Ker L，0｝≠0．則方程Lx＝Nx在DomL∩ˉΩ至少存在一個解．

設X＝｛x∈C1（R，R）∶x（t，T）＝x（t）｝，Y＝｛x∈C（R，R）∶x（t＋T）＝x（t）｝．定義范數(shù)｜x｜0＝則（X，‖·‖）和（X，｜·｜0）都是Banach空間，記‖x‖2＝

定義線性算子L∶DomL→Y，Lx＝x″，其中：x∈DomL＝C2T＝｛｛x∈C2（R，R）x（t＋T）＝x（t）｝?X，及定義連續(xù)映射N∶X→Y，Nx＝－h(huán)（x′（t））－f（x′（t））－f（x（t））x′（t）－g（t，x（t－τ（t）））＋p（t），x∈X．易知，要證明方程（1）至少存在一個周期解等價于證明算子方程Lx＝Nx，x∈DomL?X至少存在一個周期解．

其中：Nx（s）＝－h(huán)（x′（s））－f（x（s））x′（s）－g（s，x（s－τ（s）））＋p（s）．

利用Lebesgue收斂定理，可以證明QN∶X→Y和KP（I－Q）N∶X→X是連續(xù)的，再利用Arzela－Ascoli定理可以證明，對于X中的任意有界開子集Ω，QN∶Ω→Y及KP（I－Q）N∶Ω→X是緊的，因而N在Ω上是L－緊的．

顯然，算子方程Lx＝λNx，x∈DomL?X，λ∈（0，1）等價于方程

引理2［7］即Writinger不等式．若f∈C1［a，b］，且f（a）＝f（b）＝0，則有

引理3 即閔可夫斯基（Minkowski）不等式．若f，g∈C［a，b］，則

如果存在a≥0，b＞0，D＞0，H＞0，K＞0，那么有A1）當x∈R時，｜h（x）｜≤K；A2）當｜x｜≥D時，xg（t，x）＞0，且｜g（t，x）｜＞K；A3）當x∈R時

引理4 若條件A1），A2）成立，則方程（2）的任一T周期解x（t）滿足

又因為有

且有

所以有

2 主要結(jié)論

定理1 若條件A1），A2），A3），A4）成立，則當時，方程（1）至少有一個T周期解．

證明 設Ω1＝｛x∶x∈DomL?X，Lx＝λNx，λ∈（0，1）｝．首先證明Ω1就有界的．設x＝x（t）∈Ω1，則x（t）是方程（2）的解，對方程（2）兩邊從0到T上積分可得

設E1＝｛t∶t∈［0，T］，x（t－τ（t））＞ρ｝，E2＝｛t∶t∈［0，T］，x（t－τ（t））＜－ρ｝，E3＝｛t∶t∈［0，T］，｜x（t－τ（t））｜≤ρ｝，由式（3）得

所以有

由條件A2）可得

所以可得

設v（t）＝x（t＋t＊）－x（t＊），則有v（0）＝v（T）＝0．由引理2可得

又

由Minkowski不等式及式（4）有

由E2＋E3的定義及式（6），（8）可得

由式（7），（9），（10）及條件A1）中的｜h（x）｜≤K，可得到

由條件（A1）可得

由式（3），（12）可得

所以有

由式（11）及條件A1），A3）可得

故一定存在M3＞0，使得以及存在η∈（0，T），使得x′（η）＝0，．所以即Ω1是有界的．

設Ω2＝｛x∶x∈Ker L，Nx∈ImL｝，則對任意的x∈Ω2，存在m∈R，使得x＝m，且故而存在ξ∈［0，T］，使得g（ξ，m）＝0，從而由條件A2）可得，｜m｜≤D，故Ω2是有界的

設Ω＝｛x∶x∈X，‖x‖＜D＋M3＋1∶＝M｝，則Ω?Ω1∪Ω2，且它是一個閉集．對?x∈?Ω∩Ker L和λ∈（0，1），有Lx≠λNx；對?x∈?Ω∩Ker L，有x＝N（N＞D），或x＝－N．因此有

作變換H（x，s）＝sx＋（1－s）g（x），s∈［0，1］，因為?x∈?Ω∩Ker L及s∈［0，1］，有xH（x，s）＝sx2＋（1－s）g（x）x＞0，因此H（x，s）是同倫變換．

因為ImΩ＝Ker L＝R，所以可取同構(gòu)映射J＝I∶ImΩ→Ker L．由拓撲度的同倫不變性原理可知deg｛JQNx，Ω∩Ker L，0｝＝deg｛QNx，Ω∩Ker L，0｝＝deg｛H（x，0），Ω∩Ker L，0｝＝deg｛H（x，1），Ω∩Ker L，0｝＝1≠0．

故定理1成立，方程（1）至少有一個T周期解．

定理2 若條件A1），A2），A3），A4）成立，則當時，方程（1）至少有一個T周期解．

證明 與定理1相同．

即當x≤－D，g（x）≥－H·｜x｜≥D時，｜g（x）｜＞K，則有文獻［6］是定理1中，當r＝0，a＝0的特殊情形，且不需要TM＜1的條件．定理1推廣改進了文獻［6］的結(jié)果．文獻［5］是當h（x）＝0，a＝0，r＝0時的特殊情形，定理1改進了文獻［5］的結(jié)果．

3 例子

考慮方程

［1］ LIU Bing－wen，HUANG Li－h(huán)ong．Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Liénard equation with a deviating argument［J］．Applied Math Letter，2008，21（1）：51－56．

［2］ ZHAO Jun－fang，GENG Feng－jie，ZHAO Jian－feng，et al．Positive solutions to a new kind Strum－Liouville－like fourpoint boundary value problem［J］．Applied Mathematics and Computation，2010，217（2）：811－819．

［3］ 魯世平，葛渭高，鄭祖庥．具偏差變元的Rayleigh方程周期解問題［J］．數(shù)學學報，2004，47（2）：299－304．

［4］ 佘志偉，王全義．一類具有偏差變元的二階泛函微分方程的周期解［J］．華僑大學學報：自然科學版，2009，30（6）：709－714．

［5］ 李鵬程．二階非線性泛函微分方程周期解的存在定理［J］．吉林大學學報：理學版，2003，41（3）：272－275．

［6］ 陳新一．二階非線性泛函微分方程周期解的存在定理［J］．西北民族大學學報：自然科學版，2010，31（1）：1－4．

［7］ 匡繼昌．常用不等式［M］．濟南：山東科學技術(shù)出版社，2010．

Periodic Solutions for a Class of Second Order Differential Equation with Deviating Arguments

CHEN Ying－sheng
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，we study the problem on the existence of periodic solutions for a class of second order differential equations x″（t）＋h（x′（t））＋f（x（t））x′（t）＋g（t，x（t－τ（t）））＝p（t）．By means of the coincidence degree theory，one new result is obtained under some conditions．

differential equation；periodic solution；coincidence degree；deviating arguments

O 175．14

A

（責任編輯：陳志賢 英文審校：黃心中）

1000－5013（2012）04－0467－05

2011－09－21

陳應生（1976－），男，講師，主要從事常微分及泛函微分方程的研究．E－mail：cyssheng＠hqu．edu．cn．

國務院僑辦科研基金資助項目（09QZR10）；福建省自然科學基金資助項目（Z0511026）