絕對(duì)重力儀研制中一種新的自由落體軌跡重建算法＊

吳 瓊滕云田黃大倫龍劍鋒

1）中國(guó)北京100081中國(guó)地震局地球物理研究所

2）中國(guó)北京100013中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院

絕對(duì)重力儀研制中一種新的自由落體軌跡重建算法＊

吳 瓊1），滕云田1）黃大倫2）龍劍鋒1）

1）中國(guó)北京100081中國(guó)地震局地球物理研究所

2）中國(guó)北京100013中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院

真空系統(tǒng)中落體做自由下落運(yùn)動(dòng)的軌跡重建算法，是進(jìn)行擬合求解絕對(duì)重力測(cè)量結(jié)果的關(guān)鍵步驟之一.在自主研制小型高精度激光干涉絕對(duì)重力儀的過(guò)程中，基于目前高速發(fā)展的數(shù)字測(cè)量技術(shù)，提出一種自由落體軌跡重建的算法.其基本原理是：首先通過(guò)高速采樣，得到落體自由下落過(guò)程中產(chǎn)生的一系列數(shù)字化的激光干涉信號(hào)；其次通過(guò)數(shù)字處理算法提取干涉信號(hào)每次過(guò)零前后采樣點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)；然后按照相同的下落高度均分這些過(guò)零點(diǎn)，得到落體運(yùn)動(dòng)軌跡上的“時(shí)間－位移”坐標(biāo)，從而重建落體軌跡.模擬實(shí)驗(yàn)表明，該算法時(shí)間平均誤差在±0.01 ns范圍以?xún)?nèi)，由此引入的計(jì)算測(cè)量重力加速度平均誤差為5.2×10－12m/s2，一次完整測(cè)量循環(huán)的時(shí)間為15 s，計(jì)算時(shí)間為2.5 s.該結(jié)果保證了高精度絕對(duì)重力儀研制中對(duì)測(cè)量速度和計(jì)算精度的要求.

絕對(duì)重力儀 自由落體 過(guò)零點(diǎn)計(jì)算 軌跡重建

Abstract：Rebuilding the trace of a free－fall body in the vacuum is one of the key steps in finding gravitational acceleration from the sampled fringe signals.This paper proposed an algorithm for rebuilding the trace during the independent process of developing small Laser Interference Absolute Gravimeter.The basic principles are：①Computing the time of the points before and after zero－crossing of a completely sampled fringe signal，which is generated by a freely falling body，and getting the time coordinates of zero－crossing points；②Dividing these time coordinates to get the Time－Displacement Coordinates in the bodytrace using the same displacement interval.In the experiment，we found that it needs 2.5 s to complete one calculation，the average timing accuracy is ±0.01 ns，the induced error is 5.2×10－12m/s2，and one complete measurement time is 15 s.The results satisfy the demand of the measurement speed and the accuracy in developing the high precision laser interference absolute gravimeter.

Key words：absolute gravimeter；free－fall body；calculation of zero－crossing；trace rebuilding

引言

絕對(duì)重力儀是一種高精度的重力加速度絕對(duì)值（10－8m/s2）測(cè)量設(shè)備，廣泛應(yīng)用于地震監(jiān)測(cè)（劉棟勛，劉文泰，1984；游澤霖，徐菊生，1984；Simon et al，2001），地?zé)豳Y源探測(cè)（Sugihara，2003），海平面測(cè)量（Vilibic，1997），相對(duì)重力儀的標(biāo)定（Hinderer et al，1991），資源探測(cè)（張善法等，2009），以及潛艇的導(dǎo)航和導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)（程力等，2007；郭有光等，2003）等領(lǐng)域.一般絕對(duì)重力儀按照落體的運(yùn)動(dòng)方式可以分為上拋法和下落法（Sakuma，1984；Rothleitner et al，2009），g值的確定是通過(guò)追蹤計(jì)算位于真空室內(nèi)做自由下落（或上拋）運(yùn)動(dòng)的落體（或拋體）的運(yùn)動(dòng)軌跡得到的.算法的主要過(guò)程是首先獲得落體相對(duì)于參考點(diǎn)位置（參考棱鏡）信息的干涉帶信息，然后提取干涉帶上包含的落體運(yùn)動(dòng)的信息，通過(guò)最小二乘擬合獲得儀器歸算點(diǎn)處的重力加速度值（Durando et al，2002）.這個(gè)過(guò)程中落體運(yùn)動(dòng)信息的提取精度是保證結(jié)果精度的前提.2009年第8次國(guó)際絕對(duì)重力儀比對(duì)大會(huì)上，基于原子干涉的絕對(duì)重力儀第一次出現(xiàn)（de Angelis et al，2009）.這種儀器是通過(guò)磁光阱冷卻原子云團(tuán)，從而提取原子團(tuán)自由下落時(shí)感受的重力場(chǎng)信息.這種測(cè)量方式從原理上與激光干涉法測(cè)量的精度處于同一量級(jí).

激光干涉絕對(duì)重力儀中，對(duì)干涉帶的處理可以分為硬件和軟件兩類(lèi).美國(guó)的JILA－g以及FG5系列重力儀均是基于硬件的過(guò)零觸發(fā)法提取干涉帶的過(guò)零點(diǎn)信息（Zumberge et al，1982；Van Camp et al，2003）.其主要過(guò)程是通過(guò)過(guò)零檢測(cè)器檢測(cè)干涉帶的過(guò)零點(diǎn)，然后將干涉帶過(guò)零時(shí)產(chǎn)生的每N個(gè)脈沖信號(hào)生成1個(gè)脈沖，送入與外部銣原子鐘同步的時(shí)間間隔分析儀中，從而測(cè)量每N個(gè)干涉帶所經(jīng)歷的時(shí)間間隔.這種方法主要是通過(guò)硬件的方式提取落體運(yùn)動(dòng)軌跡上的時(shí)間－位移對(duì)，然后利用最小二乘原理擬合落體運(yùn)動(dòng)軌跡，計(jì)算重力加速度.

隨著現(xiàn)代數(shù)字技術(shù)的高速發(fā)展，干涉帶的數(shù)字化處理與基于硬件的過(guò)零觸發(fā)處理電路相比，有著硬件系統(tǒng)和處理算法簡(jiǎn)單、誤差小、模塊化的優(yōu)勢(shì).意大利學(xué)者D’Agostino等提出了一種數(shù)字化干涉帶處理算法局部擬合算法（D’Agostino et al，2005，2008），通過(guò)數(shù)字處理算法提取干涉帶上落體感受到的重力作用信息.Bich等（2007）對(duì)該算法的測(cè)量誤差進(jìn)行了詳細(xì)分析.該算法首先通過(guò)高速數(shù)字化儀對(duì)干涉帶信號(hào)進(jìn)行采集，然后寫(xiě)出一個(gè)帶有重力加速度變量的函數(shù)方程，通過(guò)總體最小二乘算法，與干涉帶信號(hào)直接擬合求解g值.為了減小誤差，將干涉信號(hào)分成若干段，每段內(nèi)利用函數(shù)方程擬合干涉波形，直接求解g值.由于每段包含了很短的采樣時(shí)間，故可以認(rèn)為每段內(nèi)干涉信號(hào)的頻率恒定，這樣的近似的確可以減小調(diào)頻帶來(lái)的誤差.但實(shí)際落體下落過(guò)程中，干涉帶的頻率隨下落距離的加大而加快，局部擬合算法基于段內(nèi)干涉帶波形頻率固定的假設(shè)和對(duì)整個(gè)下落距離干涉帶擬合，無(wú)疑會(huì)增加算法的誤差和計(jì)算時(shí)間.

本文首先描述了筆者所在的研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)絕對(duì)重力儀的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，然后介紹了該系統(tǒng)提出的一種全新的落體軌跡重建算法.該算法利用數(shù)字處理算法，提取數(shù)字化的干涉帶過(guò)零點(diǎn)信息，重建落體運(yùn)動(dòng)軌跡.通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)，得到了這種算法的計(jì)算精度和所需時(shí)間.結(jié)果表明，這種算法在保證精度的前提下提高了運(yùn)算速度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)落體軌跡精確重建.最后給出了實(shí)驗(yàn)樣機(jī)在2011年5月21日—6月2日的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

1算法原理

在地球重力場(chǎng)作用下，真空系統(tǒng)中落體做自由下落運(yùn)動(dòng)時(shí)，反應(yīng)落體位置信息的干涉光束被光電接收器接收.光電接收器輸出電信號(hào)被高速數(shù)字化儀接收，轉(zhuǎn)變成數(shù)字信號(hào)后保存在數(shù)字化儀的內(nèi)存中.數(shù)字化儀的時(shí)間基準(zhǔn)用外部銣原子鐘鎖定，如圖1所示.本系統(tǒng)采用的光源為基于非飽和蒸汽壓的碘穩(wěn)定633 nm He－Ne激光系統(tǒng)，工作時(shí)鎖定在I2分子飽和吸收譜線(xiàn)的f峰（錢(qián)進(jìn)等，2008），頻率日長(zhǎng)期穩(wěn)定性?xún)?yōu)于5×10－11；光電接收器頻帶為4 kHz—80 MHz；銣原子鐘頻率重現(xiàn)性小于5×10－11，穩(wěn)定度小于1×10－11/s；高速數(shù)字化儀采樣頻率為62.5 MHz，時(shí)間基準(zhǔn)通過(guò)鎖相環(huán)由外部銣原子鐘提供，板載內(nèi)存128 M，字長(zhǎng)8位.

圖1 算法中的功能模塊連接示意圖Fig.1 Relationship between the function modules in the algorithm

落體相對(duì)于參考棱鏡位置信息的干涉帶波形可以認(rèn)為是調(diào)頻的正弦波，其瞬時(shí)頻率隨著落體下落的速度的增加而不斷增加，下落的位移與干涉帶波形瞬時(shí)頻率的關(guān)系可以表示為

式中，λ為激光波長(zhǎng)，本研究中的激光波長(zhǎng)取633 nm；f為干涉帶波形的瞬時(shí)頻率；T為瞬時(shí)周期；s為落體自由下落的位移；g為重力加速度（1g＝9.8 m/s2）.

由此可以計(jì)算出，當(dāng)計(jì)算的落體下落距離為1—18cm時(shí)，干涉帶的頻率范圍為1.4—5.9 MHz.為了從得到的數(shù)字干涉帶波形中重建落體的下落軌跡，需要計(jì)算落體在某個(gè)時(shí)刻的下落距離.由于落體每下落半個(gè)激光波長(zhǎng)，就會(huì)產(chǎn)生一條完整的干涉帶波形，同時(shí)數(shù)字化儀的時(shí)間基準(zhǔn)來(lái)自于外部的銣原子鐘，因此可以通過(guò)計(jì)算一個(gè)完整的正弦波上的采樣點(diǎn)來(lái)得到落體運(yùn)動(dòng)軌跡上的時(shí)間－位移坐標(biāo)，進(jìn)而重建落體的下落軌跡.

因?yàn)楦缮鎺Рㄐ问且环N調(diào)頻的正弦波形，同時(shí)又混入了各種背景噪聲，為了保證計(jì)算的精確度，可以通過(guò)計(jì)算信號(hào)斜率最大的過(guò)零點(diǎn)位置來(lái)重建落體的下落軌跡.在計(jì)算中，我們將落體的整個(gè)下落過(guò)程分成L段，每段中包含N個(gè)過(guò)零點(diǎn)，即每段對(duì)應(yīng)落體下落的距離為

式中，S為每段對(duì)應(yīng)落體自由下落的距離；N＝400，為每段中包含的干涉帶過(guò)零點(diǎn)次數(shù)；λ＝633 nm，為激光波長(zhǎng).由此可以計(jì)算出每段落體自由下落的位移約為0.06mm.

由于每段內(nèi)部我們僅需要統(tǒng)計(jì)干涉帶波形的過(guò)零點(diǎn)次數(shù)，所以不需要對(duì)每個(gè)過(guò)零點(diǎn)都精確計(jì)算其過(guò)零點(diǎn)時(shí)刻.因此，我們僅對(duì)每段的第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)進(jìn)行精確計(jì)算，具體計(jì)算過(guò)程如下：

1）首先設(shè)定一個(gè)噪聲上限閾值T，將絕對(duì)值大于T的采樣點(diǎn)組成一個(gè)新的時(shí)間序列Xnew，計(jì)算Xnew的過(guò)零點(diǎn)次數(shù)，然后提取每次過(guò)零點(diǎn)的前一個(gè)和后一個(gè)幅值大于T坐標(biāo)，組成兩個(gè)新的時(shí)間序列Xind1和Xind2.圖2分別給出了過(guò)零點(diǎn)前（圓圈）和過(guò)零點(diǎn)后（星號(hào)）得到的Xind1和Xind2.Xind1的長(zhǎng)度就是總過(guò)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

圖2 過(guò)零點(diǎn)算法結(jié)果（過(guò)零點(diǎn)前用圓圈表示，過(guò)零點(diǎn)后用星號(hào)表示）Fig.2 Result of the zero－crossing algorithm.Circles stand for the points before zero－crossing points，and stars denote the points after zero－crossing points

2）設(shè)定總段數(shù)L和每段內(nèi)過(guò)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)N，由此確定每段落體的位移為S＝（N－1）/2 ×（λ/2），總位移為s＝S×L；

3）利用Xind1和Xind2計(jì)算每段第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)的準(zhǔn)確時(shí)刻.設(shè)干涉帶的采樣率為fs，對(duì)于第i段第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)，該時(shí)刻的準(zhǔn)確計(jì)算可以分為以下3種情況：

a 如果Xind2（i）與Xind1（i）之間無(wú)采樣點(diǎn)，則該時(shí)刻為

b 如果Xind2（i）與Xind1（i）之間僅有一個(gè)采樣點(diǎn)，在原始時(shí)間序列中的下標(biāo)為k，則該時(shí)刻為

c 如果Xind2（i）與Xind1（i）之間多于一個(gè)采樣點(diǎn)，則對(duì)Xind2（i）與Xind1（i）之間的所有點(diǎn)進(jìn)行置零，在Xind2（i）與Xind1（i）之間進(jìn)行線(xiàn)性插值，設(shè)得到的插值曲線(xiàn)上最接近零的點(diǎn)下標(biāo)為k，則該時(shí)刻為

2 模擬計(jì)算軌跡重建算法的精度

為了得到本文第一部分中描述的算法精度和效率，首先在雙核、4GB RAM的硬件環(huán)境測(cè)試.本算法采樣、計(jì)算總時(shí)間不超過(guò)15s，純計(jì)算時(shí)間不超過(guò)2.5s，如果考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性要求而等待的時(shí)間，40s內(nèi)可以完成一次測(cè)量，每小時(shí)可以進(jìn)行約90次測(cè)量.然后利用第一部分的計(jì)算過(guò)程1），通過(guò)不同頻率的正弦波來(lái)模擬落體在不同下落位置時(shí)產(chǎn)生的干涉帶信號(hào)，計(jì)算本算法在各個(gè)頻點(diǎn)處的誤差.

具體過(guò)程為：首先將銣原子鐘輸出的10MHz標(biāo)準(zhǔn)正弦波送入頻率綜合器，然后利用頻率綜合器輸出不同頻率的正弦波信號(hào)，通過(guò)集成有本算法的數(shù)字采集與處理系統(tǒng)分析計(jì)算這些正弦波信號(hào)，從而估計(jì)算法精度.這里用于實(shí)驗(yàn)的頻率綜合器的輸出正弦波的時(shí)間誤差與外部銣原子鐘的時(shí)間不確定性一致.采集L段這樣的正弦波，每段內(nèi)有N個(gè)過(guò)零點(diǎn)，即（N－1）/2個(gè)完整的正弦波.設(shè)送入數(shù)字化儀的正弦波脈沖頻率為f，采樣頻率為fs，則每段正弦波對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間可以表示為

通過(guò)第一部分的算法，可以計(jì)算每段正弦波起始點(diǎn)到終止點(diǎn)之間的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則這段波形對(duì)應(yīng)的時(shí)間可以表示為

則算法的時(shí)間誤差可以表示為

由此引入的絕對(duì)重力加速度值的計(jì)算誤差可以表示為

正弦波輸入數(shù)字化儀后，采集1000段，每段400個(gè)過(guò)零點(diǎn)，由式（8）計(jì)算得到1000段累積時(shí)間誤差、最大時(shí)間誤差、最小時(shí)間誤差和平均時(shí)間誤差.圖3顯示了落體從2cm即干涉帶瞬時(shí)頻率為1.98MHz開(kāi)始，下落至18cm的過(guò)程中不同頻率點(diǎn)處算法的累積，最大和最小時(shí)間誤差，以及由此引入的測(cè)量誤差.

圖3 算法時(shí)間誤差（a）以及由此引入的測(cè)量誤差（b）估計(jì)Fig.3 Estimation of the algorithm time（a）and measurement（b）errors

通過(guò)利用式（1）和式（9）對(duì)算法時(shí)間誤差的估計(jì)發(fā)現(xiàn)，落體下落的高度在2cm之前，算法誤差較大；當(dāng)落體下落的高度超過(guò)2cm后，算法的累積時(shí)間誤差穩(wěn)定在±20ns之間；而當(dāng)落體下落高度大于6cm時(shí)，累積時(shí)間誤差穩(wěn)定在±10 ns之間.

由于實(shí)際干涉帶波形的頻率隨著下落高度的增加而增加，在相同的時(shí)間段內(nèi)，低頻段的過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于高頻段，因此其過(guò)零點(diǎn)計(jì)算誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響遠(yuǎn)小于高頻段.因此在計(jì)算該算法在落體整個(gè)下落過(guò)程中誤差的綜合時(shí)，可以根據(jù)頻率設(shè)計(jì)一個(gè)加權(quán)系數(shù)，即

式中，fi是某個(gè)高度對(duì)應(yīng)的干涉帶信號(hào)瞬時(shí)頻率，wi為該頻率對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù).表1給出了落體在1—18cm段、2—18cm段和6—18cm段內(nèi)算法對(duì)應(yīng)的綜合時(shí)間誤差和由此引入的綜合測(cè)量誤差.

表1 算法綜合誤差Table 1 Total error of the algorithm

從表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在平均誤差方面，算法的綜合誤差隨著落體下落距離的增加呈現(xiàn)明顯的減小趨勢(shì)，但是均非常接近與零.而算法在累積、最大和最小綜合誤差方面，從2—18cm和6—18cm兩個(gè)下落段的計(jì)算結(jié)果中看，沒(méi)有明顯的改善.這從一個(gè)方面證明了，在干涉帶頻率比較低時(shí)，雖然算法誤差較大，但是由于過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不多，算法的誤差沒(méi)有給結(jié)果帶來(lái)明顯的計(jì)算誤差.因此，可以利用該算法從落體下落2cm時(shí)開(kāi)始取數(shù)計(jì)算，盡量增加有效的數(shù)據(jù)量，提高測(cè)量結(jié)果的可靠性.

3 實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)結(jié)果與結(jié)論

2011年5—6月，筆者所屬研究小組使用基于本文介紹的軌跡重建算法的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)在北京國(guó)家地球觀(guān)象臺(tái)進(jìn)行了試驗(yàn)觀(guān)測(cè).為研究落體次數(shù)對(duì)觀(guān)測(cè)精度的影響，在該臺(tái)的國(guó)家重力基準(zhǔn)點(diǎn)（編號(hào)H03，基巖點(diǎn)）分別進(jìn)行了320次下落和160次下落的兩次觀(guān)測(cè).同時(shí)作為抗干擾觀(guān)測(cè)試驗(yàn)，在該臺(tái)的普通辦公室設(shè)置重力點(diǎn)（編號(hào)H09，地板點(diǎn)）也進(jìn)行了一次320次下落的測(cè)量.H03測(cè)點(diǎn)參考值采用FG5/232在2009年和2010年的觀(guān)測(cè)結(jié)果的平均值，H09測(cè)點(diǎn)的參考值采用兩套高精度相對(duì)重力儀（聯(lián)測(cè)精度10×10－8m/s2）與H03測(cè)點(diǎn)聯(lián)測(cè)得到.H09和H03兩點(diǎn)的參考重力值均根據(jù)梯度測(cè)量結(jié)果歸算到實(shí)驗(yàn)樣機(jī)0.6m的有效高度.表2給出了這2個(gè)測(cè)點(diǎn)的3次測(cè)量結(jié)果與各測(cè)點(diǎn)的參考值之間的偏差與測(cè)量精度.

表2 2011年5月實(shí)驗(yàn)樣機(jī)測(cè)量結(jié)果Table 2 Measurement results in the test of May 2011

結(jié)果表明，基于本文算法的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)精度在160次測(cè)量時(shí)即優(yōu)于10×10－8m/s2，系統(tǒng)偏差約71×10－8m/s2，H09測(cè)點(diǎn)兩次測(cè)量系統(tǒng)偏差固定.這一結(jié)果為下一步進(jìn)行系統(tǒng)差的確認(rèn)和研發(fā)更高精度的絕對(duì)重力儀提供了技術(shù)保障.

本文基于自主研制的數(shù)字化絕對(duì)重力儀的數(shù)字化干涉帶信號(hào)，提出了一種全新的數(shù)字處理算法，它不同于目前國(guó)際上流行的基于硬件的過(guò)零點(diǎn)觸發(fā)法和基于數(shù)字化干涉帶局部擬合算法.本文算法主要針對(duì)數(shù)字化的干涉帶信號(hào)，利用分段和對(duì)每段第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)精確時(shí)刻的求取，提取落體下落過(guò)程中的時(shí)間位移坐標(biāo).然后通過(guò)最小二乘擬合求解重力加速度.可以說(shuō)是基于硬件的過(guò)零觸發(fā)法的軟件替代.該設(shè)備和算法簡(jiǎn)單，誤差小，采集可以實(shí)現(xiàn)模塊化，利于系統(tǒng)誤差的理論計(jì)算和固定，便于具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)儀器的批量商業(yè)化生產(chǎn).

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A new type of algorithm for rebuilding the trace of free－fall body in absolute gravimeter development

Wu Qiong1），Teng Yuntian1）Huang Dalun2）Long Jianfeng1）
1）Institute of Geophysics，China Earthquake Administration，Beijing 100081，China
2）National Institute of Metrology P.R.China，Beijing 100013，China

10.3969/j.issn.0253－3782.2012.04.011

P315.61

A

中國(guó)地震局地球物理研究所基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)（DQJB01A02）資助.

2011－06－23收到初稿，2012－01－04決定采用修改稿.

e－mail：wuqiong＿cea＠hotmail.com

吳瓊，滕云田，黃大倫，龍劍鋒.2012.絕對(duì)重力儀研制中一種新的自由落體軌跡重建算法.地震學(xué)報(bào)，34（4）：549－－556.

Wu Qiong，Teng Yuntian，Huang Dalun，Long Jianfeng.2012.A new type of algorithm for rebuilding the trace of free－fall body in absolute gravimeter development.Acta Seismologica Sinica，34（4）：549－－556.