對量子力學中態(tài)疊加原理的探討

丁漢芹，劉偉霞，張 軍

（新疆大學物理科學與技術學院，新疆烏魯木齊830046）

對量子力學中態(tài)疊加原理的探討

丁漢芹，劉偉霞，張 軍

（新疆大學物理科學與技術學院，新疆烏魯木齊830046）

闡述了量子力學中態(tài)疊加原理的重要性，分析了教材中該原理的幾種不同的表述，并強調了波函數(shù)的相因子對疊加態(tài)的重要影響。

量子力學；態(tài)疊加原理；波函數(shù)；探討

量子力學是研究微觀量子系統(tǒng)運動變化規(guī)律的理論，它是在上個世紀20年代在總結了大量實驗事實和舊量子論的基礎上建立起來的。目前，量子力學已形成了相當完整的、系統(tǒng)的理論，它的全部內(nèi)容可以從少數(shù)幾個基本原理出發(fā)，通過嚴格邏輯推理的方法推演出來。不同的著作對量子力學基本原理的表述方法不盡完全相同，原理的數(shù)目和每條原理的內(nèi)容也不完全一樣，但從整體上來看，其總的內(nèi)涵沒有多大的區(qū)別，這些基本原理以及由此推出的全部內(nèi)容早已為物理學界所公認。盡管如此，但對某些基本原理的描述，以及對微觀世界物理圖像的看法還是存在著一定的分歧，尤其是對量子態(tài)疊加原理的認識更是仁者見仁、智者見智。為此，本文擬對這個問題作初步探討。

1 幾種典型的表述

在量子力學理論中，態(tài)疊加原理起著統(tǒng)制全局的作用，被稱之為“量子力學中頭等重要的原理”[1]。不同的學者對這個原理給出了不同的表述，我們選擇國內(nèi)教材中4種典型的說法作以探討。

（1）周世勛的表述[2]：對于一般的情況，如果Ψ1和Ψ2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加Ψ＝c1Ψ1+c2Ψ2（c1，c2是復數(shù)）也是體系的一個可能狀態(tài)。當粒子處于態(tài)Ψ1和態(tài)Ψ2的線性疊加態(tài)Ψ時，粒子是既處在態(tài)Ψ1，又處在態(tài)Ψ2。

（2）錢伯初的表述[3]：物理體系的任何一種狀態(tài)（波函數(shù)Ψ）總可以認為由某些其他狀態(tài)（波函數(shù)Ψ1，Ψ2，…）線性疊加而成，即Ψ＝C1Ψ1+C2Ψ2+…，（C1，C2，…為復常數(shù)）。如果Ψ1，Ψ2，…是可以實現(xiàn)的狀態(tài)（波函數(shù)），則它們的任何線性疊加態(tài)Ψ總是表示一種可以實現(xiàn)的狀態(tài)（波函數(shù)）。當物理體系處于這種疊加態(tài)Ψ時，可以認為該體系部分地處于Ψ1態(tài)，部分地處于Ψ2態(tài)，等等。

（3）曾謹言的表述[4]：設體系處于Ψ1描述的態(tài)下，測量力學量A所得結果是一個確切值a1（Ψ1稱為A的本征態(tài)，A的本征值為a1）。又假設在Ψ2態(tài)下，測得的結果是另一個確切值a2，則在Ψ＝c1Ψ1+c2Ψ2所描述的狀態(tài)，測量所得的結果，既可能為a1，也可能為a2（但不會是另外的值），而測得結果為a1或a2的相對幾率是完全確定的。我們稱Ψ態(tài)是Ψ1態(tài)和Ψ2態(tài)的線性疊加態(tài)，而且量子力學中態(tài)疊加原理是與測量密切聯(lián)系在一起的。

（4）喀興林的表述[5]：若Ψ1和Ψ2是體系的兩個可能的狀態(tài)，則Ψ＝c1Ψ1+c2Ψ2也是粒子可能的狀態(tài)。疊加態(tài)Ψ既不是Ψ1態(tài)，也不是Ψ2態(tài)，它是一個新態(tài)。

2 分析與討論

以上幾種表述雖有所不同，但一致的觀點是：若Ψ1和Ψ2是體系的兩個可能的態(tài)，則它們的線性疊加態(tài)Ψ＝c1Ψ1+c2Ψ2也是體系可能的狀態(tài)，這種疊加并且可以推廣到很多態(tài)。這來源于以下幾個方面共同的認識：第一，在量子力學中，波函數(shù)被用來描述一個物理體系的狀態(tài)，它的模方|Ψ|2表示在空間找到該粒子的幾率密度（假定波函數(shù)已歸一化），而波函數(shù)本身并沒有直接的物理意義，即Ψ本身不是可觀察的物理量。第二，量子力學中的基本方程是薛定諤方程，波函數(shù)Ψ1，Ψ2，…，以及它們的線性疊加Ψ都是同一個薛定諤方程的解。第三，量子態(tài)的疊加與經(jīng)典物理中疊加原理有著本質的不同。它們都揭示了微觀粒子波粒二象性的特征，微觀粒子的波函數(shù)是可以疊加的，并發(fā)生干涉現(xiàn)象，如電子的雙縫衍射實驗。這是微觀世界中最重要的性質，是量子力學的核心內(nèi)容。但是，我們認為原理中關于疊加態(tài)的陳述不是普遍成立的。我們對此作以分析與討論。

其中，哈密頓量H和波函數(shù)Ψ211，Ψ21-1分別為

描述它們疊加態(tài)的波函數(shù)記作（已歸一化）

Ψ同樣滿足上面的薛定諤方程。我們發(fā)現(xiàn)，疊加態(tài)Ψ描述的是氫原子體系的2PX軌道波函數(shù)，它的電子云呈啞鈴型的空間對稱分布。但是，Ψ211和Ψ21-1描述的電子云都是呈輪胎形狀的空間分布量子態(tài)。由此可見，疊加態(tài)Ψ是一個既不同于Ψ211，又不同Ψ21-1的新量子態(tài)。因此，我們沒有理由說“粒子既處在態(tài)Ψ211，又處在態(tài)Ψ21-1”（第（1）種表述），“體系部分地處于Ψ211態(tài)，部分地處于Ψ21-1態(tài)”（第（2）種表述）。

如此看來，似乎最后一種關于態(tài)疊加原理的表述是正確的，即疊加態(tài)完全是個不同于Ψ1，Ψ2的新態(tài)。但是，實際情況有時未必都是這樣，看個例子我們就知道了。設有一個波函數(shù)Φ，它是一個不帶相因子的實數(shù)形式。那么我們知道，Φ和2Φ描述的是同一個態(tài)?，F(xiàn)在令Ψ1＝Φ，Ψ2＝2Φ，再讓這兩個量子態(tài)疊加Ψ＝C1Ψ1+C2Ψ2。 只要組合系數(shù)C1，C2都是實數(shù)，且C1≠-2C2，我們得到的還是原來的態(tài)，而不是新態(tài)。此時，我們不能像第（4）那樣說，“疊加態(tài)Ψ既不是Ψ1態(tài)，又不是Ψ2態(tài)，它是一個新態(tài)”。

3 總結

我們求得疊加態(tài)所描述量子態(tài)中粒子的幾率密度為

從這個表達式中，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，只要相因子中的x≠π，Ψ和Φ描述的量子態(tài)中粒子在空間中的相對幾率密度是相等的；如果x＝π，則|Ψ|2＝0，但|Φ|2＝0。顯然，疊加態(tài)Ψ和Φ描述的粒子在空間中粒子的幾率分布不一樣了。由此可見，描述量子態(tài)波函數(shù)的相位對形成的疊加態(tài)的特征有著非常大的影響。

總之，在表述量子力學中的態(tài)疊加原理時，我們認為只要保留四種陳述中的前一部分內(nèi)容就足夠了，即“如果Ψ1和Ψ2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加Ψ＝c1Ψ1+c2Ψ2（c1，c2是復數(shù)）也是體系的一個可能狀態(tài)”。沒有必要使用令人費解的言語來做不適當?shù)慕忉?，給對該原理的理解和教學帶來不必要的困難。如果要強調疊加態(tài)的性質，一定要對波函數(shù)的相因子做相應的考慮和分析，從而保證陳述的科學性和準確性。

[1]Landu LD，Lifshitz EM.Quantum mechanics，non-relativistic theory[M].Oxford：Pergamon Press，1977：7.

[2]周世勛.量子力學教程[M].北京：高等教育出版社，1979：22-23.

[3]錢伯初.量子力學[M].北京：高等教育出版社，2006：70-71.

[4]曾謹言.量子力學導論[M].北京：北京大學出版社，1998：33-34.

[5]喀興林.高等量子力學[M].北京：高等教育出版社，2000：65-67.

〔責任編輯 李?！?/p>

Discussions on the S uperposition P rincip le of S tates in Q uantum M echanics

DING Han-qin，LIUWei-xia，ZHANG Jun
（School of Physical Science and Technology，Xinjiang University，Urumqi Xinjiang，830046）

The significance of the superposition principle of states in quantum mechanics is presented，and various statements of this principle in a few textbooks are commented.The important effect of phase factor in wave function on superposed state is emphasized.

quantum mechanics；the superposition principle of states；wave function；discussion

O 413

A

1674-0874（2012）04-0022-02

2012-05-05

新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金資助項目[2012211A012]；新疆大學博士啟動基金資助項目[BS110105]

丁漢芹（1969-），男，安徽安慶人，博士，講師，研究方向：凝聚態(tài)物理。