Mathematica在Fourier級數(shù)分析中的應(yīng)用

張 平 張小華

（三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌 443002）

Mathematica在Fourier級數(shù)分析中的應(yīng)用

張 平 張小華

（三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌 443002）

文章用Mathematica實現(xiàn)了函數(shù)展開成Fourier級數(shù)及其圖形演示,將抽象的教學(xué)概念和復(fù)雜的過程用軟件來實現(xiàn)，從而降低教學(xué)問題的難度，增強學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性．

Mathemtica；Fourier級數(shù)；圖形演示

1 引 言

Fourier級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，同時也是其它后續(xù)課程的重要工具之一．如果在教學(xué)過程中只是簡單介紹函數(shù)展開成Fourier級數(shù)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難理解一個周期函數(shù)為什么可以用一系列三角函數(shù)來逼近它？從而無法理解函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的意義．同時盡管函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的公式形式簡單，含義明確，但即使對一些簡單的周期函數(shù)，學(xué)生應(yīng)用公式求其Fourier級數(shù)時常常面臨較大的計算量，往往需要花費很多的時間．Mathematica是當(dāng)今世界上優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件之一，具有強大的數(shù)值計算、符號計算和函數(shù)繪圖等功能，[1]且其界面友好，容易操作，學(xué)生可以在很短時間內(nèi)掌握其使用方法．本文利用Mathemtica的符號計算功能，實現(xiàn)了周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開，將學(xué)生從繁重的手工計算中解脫出來，同時通過繪圖，將抽象的理論與具體的圖像演示結(jié)合，使學(xué)生能更深刻的理解函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的基本概念和基本方法．

2 基于Mathematica的Fourier級數(shù)分析和應(yīng)用舉例

對一個周期為2π的周期函數(shù)f(x)，只要該函數(shù)滿足狄利克雷（Dirichlet）條件，便可展開成一個收斂的Fourier級數(shù)，即：[2]

其中

在早期的Mathematica版本中，沒有提供直接計算傅里葉級數(shù)的函數(shù)，只能借助函數(shù)NItegrate利用上述的Fourier級數(shù)展開公式編寫相應(yīng)的計算函數(shù)，[3]但程序編制比較復(fù)雜，且無法直接給出Fourier級數(shù)的展開形式．從Mathematica7.0開始，Mathemtica全面覆蓋數(shù)值和符號Fourier分析，對于函數(shù)展開成Fourier級數(shù)而言，Mathematica主要提供了如下的一些函數(shù)：

FourierSeries——給出復(fù)數(shù)形式的Fourier級數(shù)展開式；

FourierTrigSeries——給出Fourier三角級數(shù)展開式；

FourierSinSeries——給出Fourier正弦級數(shù)展開式；

FourierCosSeries——給出Fourier余弦級數(shù)展開式．

利用這些函數(shù)可以直接得到函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式．考慮到在教學(xué)過程中，對一個周期函數(shù)，一般得到是非復(fù)數(shù)形式的Fourier級數(shù)展開式，所以下面舉例中就不考慮FourierSeries在Fourier級數(shù)分析中的應(yīng)用．

例1 設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[-π,π]上的表達式為

將f(x)展開成Fourier級數(shù)．

Mathematica程序代碼如下：

此程序的第1句給出了函數(shù)f(x)的定義；第2句畫出函數(shù)f(x)的圖形；第3句輸入需要將函數(shù)f(x)展開至Fourier級數(shù)的第i階；第4句將函數(shù)f(x)展開至Fourier級數(shù)的前i階；第5句畫函數(shù)f(x)的Fourier級數(shù)的前i階對應(yīng)的圖形；最后一句把以上各圖形顯示在一起．運行上述程序可以得到一系列Fourier級數(shù)的部分及其圖形．由函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的計算公式知，當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，其Fourier級數(shù)只會含有正弦項．如當(dāng)輸入5時，得到的Fourier級數(shù)展開式的前5階部分和表達式為

由此可知，利用Mathematica計算的結(jié)果與手工計算結(jié)果完全一致，且得到的結(jié)果是精確的符號表達式結(jié)果．圖1給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級數(shù)的前5階、20階和40階對應(yīng)的圖形．從圖中可以看出，隨著Fourier級數(shù)階數(shù)的增加，其振幅越來越小，角頻率越來越大，它越來越接近要表示的周期函數(shù)．這表明，一個比較復(fù)雜的周期運動可以看成是許多不同頻率和振幅的簡諧振動的疊加．從數(shù)學(xué)上講，即為一個周期函數(shù)可以用一系列三角函數(shù)來逼近它．

圖1 例1的Fourier級數(shù)對函數(shù)的逼近效果

例2 設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[-π,π]上的表達式為

將f(x)展開成傅里葉級數(shù)．

運行上述程序，當(dāng)輸入4時，得到該函數(shù)Fourier級數(shù)展開式的前4階部分和表達式為

由于本例中的函數(shù)在定義域中為非奇非偶函數(shù)，所以其展開成Fourier級數(shù)時會同時含有正弦項和余弦項，且上述程序運行結(jié)果與文獻[2]理論計算結(jié)果一致，從而說明利用Mathematica軟件來計算函數(shù)的Fourier級數(shù)非常方便．圖2給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級數(shù)的前4階、10階和20階對應(yīng)的圖形．由圖可見，函數(shù)的Fourier級數(shù)隨著階數(shù)的增加，圖像愈來愈逼近函數(shù)的圖像，從而再次說明一個周期函數(shù)可以通過一系列三角函數(shù)來表示它．

圖2 例2的Fourier級數(shù)對函數(shù)的逼近效果

例3 設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[0,π）上的表達式為f(x)=x，將f(x)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)．

由Fourier級數(shù)分析的相關(guān)理論知，當(dāng)周期函數(shù)為奇函數(shù)時，它的Fourier級數(shù)只含有正弦項，即正弦級數(shù)；當(dāng)周期函數(shù)為偶函數(shù)時，它的Fourier級數(shù)只含有余弦項，即余弦級數(shù)．所以在本例中，我們首先要將函數(shù)進行奇延拓和偶延拓．函數(shù)展開成正弦級數(shù)的Mathematica程序代碼如下：

運行上述程序，當(dāng)輸入7時，得到該函數(shù)Fourier級數(shù)展開式的前7階部分和表達式為：

圖3給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級數(shù)的前3階、7階和50階對應(yīng)的圖形．

圖3 函數(shù)展開成正弦級數(shù)對函數(shù)的逼近效果

函數(shù)展開成余弦級數(shù)的Mathematica程序代碼如下：

運行上述程序，當(dāng)輸入7時，得到該函數(shù)Fourier級數(shù)展開式的前7階部分和表達式為：

圖4給出了函數(shù)的圖形及其Fourier級數(shù)的前3階、5階和9階對應(yīng)的圖形．由圖3和圖4可見，隨著三角多項式的階數(shù)增加，三角多項式的曲線越來越接近函數(shù)的圖形．通過這些實例表明，利用Mathematica可直觀地展示Fourier級數(shù)去逼近周期函數(shù)，將抽象的問題形象化，從而化解了學(xué)生對Fourier級數(shù)表示周期函數(shù)理解上的困惑．

圖4 函數(shù)展開成正弦級數(shù)對函數(shù)的逼近效果

3 結(jié)束語

在Fourier級數(shù)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件Mathemtica，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)形式、教學(xué)方法和手段上講，都是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種發(fā)展和補充．在教學(xué)過程中，老師擺脫了繁瑣的數(shù)學(xué)計算，使得問題簡單化、可視化；學(xué)生也從圖形的變化、軟件的計算等多方面對函數(shù)展開成Fourier級數(shù)進行學(xué)習(xí)，體驗Fourier級數(shù)分析有關(guān)理論的基本思想，加深對抽象概念的感性認(rèn)識，且增加學(xué)生實際動手操作能力的培養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)軟件Mathematica就像一座橋梁，將知識與應(yīng)用，理論與實際連接起來，讓學(xué)生加深感性認(rèn)識，使教學(xué)變得輕松易懂，同時也逐步鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)理論、計算機知識來解決實際問題的能力，從而提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和參與數(shù)學(xué)教學(xué)的目的．

[1]李建平，健民，劉雄偉，等.高等數(shù)學(xué)課程實驗[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]李文新.函數(shù)展開成Fourier級數(shù)的幾何解釋[J].江西教育學(xué)院學(xué)報，2005（3）:5-7.

（責(zé)任編輯：張新玲）

Abstract:In order to make students have direct perception and sophisticated understanding of Fourier series, the article presents the means to convert abstract math ideas and complicated process into software so that mathematics can be understood easier and the students’ interest and enthusiasm for advanced mathematics enhanced.

Keywords:Mathemtica software; Fourier series; Graphical presentation

On the Application of Mathematica in Fourier series Analysis

ZHANG Ping ZHANG Xiao-hua
( College of Science, Three Georges University, Yichang, Hubei, 443002 China )

TP391.1；O122.7

A

1009-8135（2012）03-0136-04

2012-01-25

張 平（1978-），女，湖北利川人，三峽大學(xué)理學(xué)院，講師，碩士.

張小華（1980-），男，湖北枝江人，三峽大學(xué)理學(xué)院，講師，博士.

本文系三峽大學(xué)教學(xué)研究項目(No.J2011086)研究成果之一