空間目標(biāo)方向關(guān)系的圖譜分析方法

魏孔鵬，陳曉勇

（東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西撫州344000）

空間目標(biāo)方向關(guān)系的圖譜分析方法

魏孔鵬，陳曉勇

（東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西撫州344000）

在地學(xué)信息圖譜理論的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理和方法建立了能夠兼顧目標(biāo)形狀、尺寸和距離的方向關(guān)系模型，生成方向關(guān)系圖譜并進(jìn)行圖譜分析。首先將源目標(biāo)進(jìn)行形態(tài)變換；然后選擇方向關(guān)系的粒度，用變換后的源目標(biāo)和參考目標(biāo)相交區(qū)域面積的比值生成圖譜，再根據(jù)設(shè)定的特征值 （如均值、方差、熵等）進(jìn)行方向關(guān)系圖譜的分析；最后通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的正確性和可行性。

地學(xué)信息圖譜；方向關(guān)系；圖譜；空間分析；數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)

0 引言

地學(xué)空間分析（Geo－spatial Analysis）是基于地學(xué)對(duì)象的位置和形態(tài)特征分析空間數(shù)據(jù)、研究空間信息分布的特征以及相互關(guān)聯(lián)規(guī)律的科學(xué)［1］?？臻g方向關(guān)系在空間分析、空間推理、制圖綜合等過程中起著重要作用，與空間距離、空間拓?fù)潢P(guān)系同為GIS的重要理論問題［2］。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)空間目標(biāo)方向關(guān)系及其空間定性推理進(jìn)行了深入研究，提出的主要方向關(guān)系模型有：錐形模型［3］、最小約束矩陣（MBR）模型［4］、最小外接矩陣（MER）模型［5］、方向關(guān)系矩陣模型［6］和方向Voronoi模型［7］?，F(xiàn)有的模型主要是將參考目標(biāo)劃分成若干份，再附加參考框架，忽略了源目標(biāo)的尺寸、形狀、距離等空間特征。按照傳統(tǒng)的方向概念，目標(biāo)之間的方向關(guān)系與目標(biāo)間的距離無關(guān)，但當(dāng)顧及目標(biāo)的大小和形狀后，目標(biāo)之間的方向關(guān)系則與其間的距離相關(guān)。圖1a描述了距離對(duì)方向關(guān)系的影響：當(dāng)目標(biāo)B逐漸遠(yuǎn)離A時(shí)，方向關(guān)系的分布發(fā)生明顯變化；當(dāng)A、B無限遠(yuǎn)時(shí)，可視A、B的方向關(guān)系為兩點(diǎn)之間的方向關(guān)系。圖1b描述了形狀對(duì)方向關(guān)系的影響：當(dāng)源目標(biāo)B比參考目標(biāo)A的可視域［8］小或者相同時(shí)，容易推理出目標(biāo)A、B的方向關(guān)系；但若源目標(biāo)比參考目標(biāo)的可視域大，推理則比較困難。圖1c描述的是相同形狀但不同尺寸的源目標(biāo)：當(dāng)源目標(biāo)比參考目標(biāo)的尺寸大時(shí)，方向關(guān)系推理較困難。因此，有必要建立一種新的空間方向關(guān)系描述模型，能夠全面考慮形狀、尺寸、距離等空間目標(biāo)的特征。

本文用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理和方法建立了新的方向關(guān)系模型。首先對(duì)源目標(biāo)進(jìn)行形態(tài)變換，選擇方向關(guān)系的粒度；然后用變換后的源目標(biāo)和參考目標(biāo)相交區(qū)域面積的比值生成圖譜，根據(jù)設(shè)定的特征值（最小值、最大值、均值、方差、熵）論述圖譜的分析方法；最后用實(shí)例驗(yàn)證本文所述方法的正確性和可行性。

圖1 距離、形狀、尺寸對(duì)方向關(guān)系的影響Fig.1 The influence of distance，shape and size on direction relationship

1 圖譜的數(shù)學(xué)描述

地學(xué)信息圖譜具有圖形與譜系的雙重特性，是由大量地學(xué)數(shù)字信息經(jīng)過圖形思維與抽象概括，并以計(jì)算機(jī)多維與動(dòng)態(tài)可視化技術(shù)，顯示和揭示地球系統(tǒng)及各要素和現(xiàn)象空間形態(tài)結(jié)構(gòu)與時(shí)空變化規(guī)律的一種手段與方法［9］。近十幾年來，許多學(xué)者對(duì)地學(xué)信息圖譜的概念、理論和應(yīng)用做了廣泛研究，取得了很多成果［10］。本文將探索方向關(guān)系圖譜的數(shù)學(xué)描述方法，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行空間目標(biāo)方向關(guān)系圖譜的研究。

數(shù)學(xué)中將給定的一組元素稱為集合（Set）。如果在其元素中，按照指定的規(guī)則定義某種結(jié)構(gòu)，則構(gòu)成相應(yīng)空間（Space），空間形式和完整性取決于選擇的結(jié)構(gòu)?？臻g中所有線性獨(dú)立的元素（基元）的集合構(gòu)成該空間的完備正交基（Basis），空間中任何子集在完備正交基上的特征值分布稱為譜（Spectrum），其中單個(gè)的特征值稱為譜密度。

方向的集合＝｛上、下、前、后、左、右、東、南、西、北、東南、西北、1°、π、…｝；方向的結(jié)構(gòu)可以是二方向、四方向、八方向、十六方向、十二方向（時(shí)鐘方向）等；方向關(guān)系的完備正交基可以是｛前、后、左、右｝，也可以是｛東、南、西、北、東南、東北、西南、西北｝等；方向關(guān)系的譜是指在某個(gè)粒度下，空間目標(biāo)方向關(guān)系子集在完備正交基上的特征值分布，單個(gè)的特征值稱為方向關(guān)系的譜密度。

2 空間目標(biāo)方向關(guān)系的圖譜分析

2.1 方向關(guān)系模型的建立

首先，根據(jù)實(shí)際問題的需求選取α角度值（如1°、3°、5°等）作為方向關(guān)系的基元。根據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理［11］，目標(biāo)A以正北方向?yàn)槠鹗?，沿α角度無限膨脹地進(jìn)行形態(tài)變換，記為A⊕Iαn∞；目標(biāo)A經(jīng)過形態(tài)變換后若與目標(biāo)B有交集，則記為：

MBN是指目標(biāo)A形態(tài)變換后與目標(biāo)B的交集，MBN的值是該區(qū)域的像素值；若與目標(biāo)B無交集，則MBN＝0。

若按順時(shí)針方向，將目標(biāo)A每隔α角度依次膨脹一周，則目標(biāo)A共有N次形態(tài)變換，其中N＝360°／α。式（1）可推廣成：

｛MB1，MB2，…，MBN｝為目標(biāo)A每隔α角度形態(tài)變換后與目標(biāo)B相交區(qū)域的集合，MBN的數(shù)值為相交區(qū)域的像素值。

2.2 方向關(guān)系圖譜的生成

針對(duì)復(fù)雜圖形，構(gòu)建方向關(guān)系圖譜的基本過程如下：

（1）根據(jù)方向關(guān)系模型，目標(biāo)A共有N次形態(tài)變換，且形態(tài)變換后與目標(biāo)B的交集為｛MB1，MB2，…，MBN｝，其中MBN的非0值集合就構(gòu)成了方向關(guān)系的完備正交基，記為｛M′B1，M′B2，…，M′BN｝。對(duì)完備正交基進(jìn)行歸一化處理，并生成譜密度分布，即：

其中：ρ1，ρ2，…，ρn是某一方向的譜密度，則｛ρ1，ρ2，…，ρn｝就是目標(biāo)A與B方向關(guān)系的完備正交基上的譜密度分布，也稱為目標(biāo)A與B方向關(guān)系的譜。同理，可生成以B為參考目標(biāo)的A的方向關(guān)系圖譜的譜密度分布。

（2）根據(jù)譜密度分布，進(jìn)行譜分析和提取相應(yīng)的圖譜特征（如均值、方差、熵等）。按式（4）分別計(jì)算圖譜特征：

2.3 方向關(guān)系圖譜的分析

如圖2，目標(biāo)A、B的方向關(guān)系圖譜生成方式如下：

（1）從正北方向順時(shí)針每隔5°對(duì)目標(biāo)A進(jìn)行形態(tài)變換，與目標(biāo)B形成的交集為MB，按順時(shí)針方向依次形態(tài)變換一周，則共有72次形態(tài)變換。

｛MB1，MB2，…，MB72｝的非0值集合構(gòu)成方向關(guān)系圖譜的完備正交基，根據(jù)式（3）計(jì)算該方向關(guān)系的譜密度分布（表1）。

圖2 空間目標(biāo)A與B的方向關(guān)系模型Fig.2 The direction relationship of target A and B

表1 譜密度數(shù)據(jù)計(jì)算處理（A為參考目標(biāo)）Table 1 Spectrum density computation of experimental data（target A is reference target）

（2）結(jié)合已計(jì)算出的譜密度，根據(jù)式（4）提取相應(yīng)的圖譜特征（表2）。

表2 空間目標(biāo)A與B的方向關(guān)系圖譜特征Table 2 The spectrum feature of target A and B

（3）生成目標(biāo)A與目標(biāo)B方向關(guān)系圖譜的譜向量分布，如圖3所示。

圖3 空間目標(biāo)A與B的譜向量分布Fig.3 A generated sequence of spectrum density distribution for target A and B

3 實(shí)例分析

隨著大城市中建筑物高度和密度的快速增加，高層建筑物所造成的太陽陰影遮擋及其變化規(guī)律是一個(gè)迫切需要解決的問題。作為方向關(guān)系圖譜的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用，筆者開發(fā)了相應(yīng)的軟件系統(tǒng)：根據(jù)給定的三維地圖和相關(guān)參數(shù)（如地區(qū)的經(jīng)緯度、日期、時(shí)間、建筑物高度和形狀等）可生成某一時(shí)刻的太陽陰影圖；將太陽陰影圖與指定的地物集合相交，用陰影面積（或體積）的比率計(jì)算此時(shí)的圖譜密度；根據(jù)實(shí)際需要選擇某一時(shí)間間隔，作為方向關(guān)系圖譜的基元，并以此將一天24小時(shí)劃分成一個(gè)完整序列，生成相應(yīng)的方向關(guān)系圖譜，即可實(shí)現(xiàn)全天候高層建筑物太陽陰影遮擋的定量解析（圖4）。

圖4 基于方向圖譜的高層建筑物太陽陰影遮擋的全天候分析Fig.4 The analysis of the shadow of the sun－rise buildings around the clock by the direction relationship spectrum

在注冊(cè)新的商標(biāo)時(shí)，需要審查待注冊(cè)商標(biāo)圖像與已注冊(cè)商標(biāo)圖像的相似性，從而決定其是否具有注冊(cè)資格。由于注冊(cè)商標(biāo)的數(shù)目不斷增加，基于人工商標(biāo)查詢方式難以滿足檢索的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性要求，因此需要建立一種準(zhǔn)確、高效的商標(biāo)圖像自動(dòng)檢索系統(tǒng)。具體方法如下：1）初始化二值商標(biāo)圖像，提取圖像邊緣，計(jì)算最小外接圓；2）根據(jù)實(shí)際需要選取角度平分外接圓，計(jì)算每個(gè)分塊內(nèi)圖像的像素值；3）用各分塊內(nèi)圖像的面積比率生成商標(biāo)圖像的方向關(guān)系圖譜；4）根據(jù)譜密度分布和圖譜特征檢索分類商標(biāo)，如圖5所示。

圖5 商標(biāo)圖像的方向圖譜方法檢索分類Fig.5 The analysis of the trademark image classification and retrieval by the direction relationship spectrum

4 結(jié)語

陳述彭院士倡導(dǎo)的地學(xué)信息圖譜，從宏觀的“圖”關(guān)聯(lián)到微觀的“譜”解析，為解決地球信息科學(xué)中復(fù)雜分析問題提供了新的理論與方法?；跀?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理和方法構(gòu)建的方向關(guān)系模型、圖譜及相應(yīng)圖譜分析方法，全面考慮了形狀、尺寸、距離等空間目標(biāo)的特征，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜空間目標(biāo)之間的方向關(guān)系的完整解析，能夠滿足實(shí)際GIS空間分析應(yīng)用中的方向關(guān)系分析要求。實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的正確性和可行性。

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Abstract：This paper presents a new method for describing directional relations based on their graph－spectrums by using the theory of the Mathematical Morphology.Directional relation graph－spectrums are generated based on the ratio of intersection area by original target and reference target which has been morphological transformation.Graph－spectrum analysis of directional relations is described according to a set of selected features，such as minimum，maximum，mean，standard deviation and entropy.Finally these new measures are experimentally evaluated.

Key words：Geo－information graph－spectrum；directional relations；graph－spectrum；spatial analysis；mathematical morphology

Graph－Spectrum Analysis on Directional Relations of Spatial Targets

WEI Kong－peng，CHEN Xiao－yong
（College of Surveying and Mapping Engineering，East China Institute of Technology，F(xiàn)uzhou 344000，China）

P208

A

1672－0504（2012）04－0029－04

2011－12－28；

2012－02－28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（40940011、41161069）

魏孔鵬（1982－），男，碩士研究生，主要從事地學(xué)空間分析的理論與應(yīng)用研究。E－mail：kpwei＠ecit.edu.cn