慣性輪擺鎮(zhèn)定控制器的迭代設(shè)計方法*

王軼卿，李 勝，侯保林

(1.南京工業(yè)大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，南京 210009;2.南京理工大學(xué) a.自動化學(xué)院;b.機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

慣性輪擺鎮(zhèn)定控制器的迭代設(shè)計方法*

王軼卿1，2a，李 勝2a，侯保林2b

(1.南京工業(yè)大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，南京 210009;2.南京理工大學(xué) a.自動化學(xué)院;b.機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

針對慣性輪擺系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題，提出了一種控制器迭代設(shè)計方法。該方法首先通過坐標(biāo)變換將慣性輪擺系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個非線性級聯(lián)系統(tǒng)，然后通過迭代設(shè)計和坐標(biāo)逆變換，獲得慣性輪擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器，并證明了所得控制器能夠使得慣性輪擺系統(tǒng)穩(wěn)定在擺桿垂直向上的平衡位置。最后參考一個實(shí)際的慣性輪擺系統(tǒng)的物理參數(shù)，通過仿真，驗(yàn)證了所設(shè)計控制器的有效性。與已有方法相比，該方法更為簡潔，更適合推廣到其他欠驅(qū)動系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制。

非線性控制;反饋鎮(zhèn)定;欠驅(qū)動系統(tǒng);慣性輪擺

0 引言

近年來，由于欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，其建模與控制問題得到了越來越多學(xué)者的關(guān)注與研究。實(shí)際工程中存在很多欠驅(qū)動系統(tǒng)，如移動機(jī)器人、水面/水下艦艇、空間飛行器和柔性系統(tǒng)等。這些系統(tǒng)有一個共有特征，即系統(tǒng)中驅(qū)動器的個數(shù)比系統(tǒng)自由度的個數(shù)要少。慣性輪擺是一個典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，很多學(xué)者將其作為欠驅(qū)動系統(tǒng)的研究范例，并且運(yùn)用很多方法來解決該系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制問題，如監(jiān)督式切換控制策略［2］、傳統(tǒng) Backstepping 方法［5-6］、滑?？刂疲?］、飽和函數(shù)法［8］等。

文獻(xiàn)［1］將慣性輪擺從垂直向下自然平衡位置至垂直向上平衡位置的鎮(zhèn)定問題分為兩個階段予以解決:擺起階段和平衡階段。在擺起階段，給出了一種基于能量的擺起控制方法，在平衡階段，則利用狀態(tài)反饋線性化和極點(diǎn)配置方法設(shè)計了系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定控制器，最后，運(yùn)用切換控制策略將上述兩個階段控制器綜合到一起用于系統(tǒng)的擺起和平衡控制，在此控制策略的作用下，系統(tǒng)的擺桿可以從垂直向下的位置擺起并平衡在垂直向上的位置，但由于切換時刻不易把握，系統(tǒng)鎮(zhèn)定需要多次切換和較長的時間。

文獻(xiàn)［5-6］通過全局坐標(biāo)變換將慣性輪擺的原動力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為一種非線性級聯(lián)系統(tǒng)模型。并使用傳統(tǒng)的Backstepping方法，構(gòu)造了系統(tǒng)的全局鎮(zhèn)定控制器。但在這種方法中，核心子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)需要事先已知，否則無法推導(dǎo)原系統(tǒng)的反饋控制器。

文獻(xiàn)［7］使用了一種和文獻(xiàn)［5-6］相同的全局坐標(biāo)變換將原系統(tǒng)動力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為一種非線性級聯(lián)系統(tǒng)模型，并基于多滑模面和數(shù)值微分方法設(shè)計了系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器，但在這種方法中需要給出一個充分小的時間間隔ΔT。

本文則提出了一種迭代控制器設(shè)計方法，用于慣性輪擺鎮(zhèn)定控制器設(shè)計，克服了上述控制器設(shè)計中存在的不足。論文首先給出了一種不同于文獻(xiàn)［5-7］的坐標(biāo)變換公式，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一種更簡潔的非線性級聯(lián)系統(tǒng)模型。然后提出了一種迭代控制器設(shè)計方法為此級聯(lián)系統(tǒng)模型設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，并將利用坐標(biāo)逆變換得到了慣性輪擺系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器。證明了所得控制器能夠使得慣性輪擺系統(tǒng)穩(wěn)定在擺桿垂直向上的平衡位置。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計控制器的有效性。

1 慣性輪擺系統(tǒng)模型

慣性輪擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。其中:A表示慣性輪擺系統(tǒng)中擺桿的重心。B表示慣性輪擺系統(tǒng)中轉(zhuǎn)動圓盤的重心。從圖1中可以看出，慣性輪擺系統(tǒng)是一個通過安裝在擺桿末端可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤的轉(zhuǎn)動來改變擺桿位置的物理擺。通過直流電機(jī)來驅(qū)動圓盤，而擺桿則沒有電機(jī)帶動。使用傳統(tǒng)拉格朗日方法可以得到慣性輪擺的動力學(xué)模型［1，5-6］:

圖1 慣性輪擺示意圖

從式(1)中可以看出，慣性輪擺系統(tǒng)的慣量矩陣是一個常數(shù)對稱矩陣，因此該系統(tǒng)是一個平坦對稱機(jī)械系統(tǒng)。并且擺桿角在［0，2π)內(nèi)，系統(tǒng)存在兩個平衡位置:

其中:第一個平衡位置是自然平衡位置，即系統(tǒng)在沒有任何外力的作用下，偏離平衡位置后仍然能夠回到此平衡位置;第二個平衡位置是受控平衡位置，即系統(tǒng)在沒有任何外力作用下，偏離平衡位置后不能回到此平衡位置，但可以通過設(shè)計控制器，使得系統(tǒng)偏離平衡位置后回到此平衡位置。

1.1 模型化簡與變換

根據(jù)文獻(xiàn)［1，5］可知，轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動角度對擺桿的位置沒有任何影響，因此可以忽略不計，系統(tǒng)動力學(xué)模型的簡化狀態(tài)空間方程可以表示為:

根據(jù)文獻(xiàn)［5，6］可知，式(2)所表示的簡化模型可以通過一個全局坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換成一個非線性級聯(lián)系統(tǒng)。

為了獲得一個更簡潔的級聯(lián)系統(tǒng)，本文提出了一種不同于文獻(xiàn)［5-6］的坐標(biāo)變換:

和控制輸入變換:

利用此變換，慣性輪擺的動力學(xué)模型(2)可以被轉(zhuǎn)化為如下方程:

對比文獻(xiàn)［1，5，7］可知，該方程也是一個具有嚴(yán)格反饋形式的非線性級聯(lián)系統(tǒng)，但形式上更為簡潔。

1.2 問題描述

本文主要研究如何設(shè)計一個連續(xù)狀態(tài)反饋控制器使得慣性輪擺的擺桿可以從垂直向下的自然平衡位置擺起并穩(wěn)定在垂直向上的受控平衡位置，即擺桿的角位置在區(qū)間［0，2π)內(nèi)，q1=0，擺桿的轉(zhuǎn)動速度˙q1=0，轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動速度˙q2=0，轉(zhuǎn)盤的位置角度q2可以為任意角度。

2 控制器設(shè)計

針對上述問題，本節(jié)給出了一種迭代鎮(zhèn)定控制器設(shè)計方法。

首先，慣性輪擺的簡化模型(5)可以分解為一個單變量仿射非線性子系統(tǒng):

其中:z1為系統(tǒng)狀態(tài)，z2為控制輸入;

和一個雙積分器子系統(tǒng):

其中:z2，z3為系統(tǒng)狀態(tài)，u為控制輸入;

并且，為了使z2=-k0σ(cz1)，可以令

由此可得系統(tǒng)(5)的控制輸入:

如果σ(z1)=tanh(z1)，那么

并且控制器(11)可以使得系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定在(0，0，0)。

3 穩(wěn)定性分析和仿真

為了完成證明，首先給出一個用于分析級聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性的引理:

引理 1［3，6］:考慮如下級聯(lián)非線性系統(tǒng):

其中:f:Rn×Rm→Rn和g:Rm→Rm都是光滑函數(shù)，并且滿足f(0，0)=0和g(0)=0，如果下列條件滿足:

則(12)在平衡點(diǎn)(0，0)是全局漸近穩(wěn)定的。

3.1 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

基于上述迭代設(shè)計過程，獲得了系統(tǒng)(5)的一個全局反饋鎮(zhèn)定控制器(11)，并且從式(11)和式(4)，可以得到慣性輪擺系統(tǒng)的全局反饋鎮(zhèn)定控制器:

由第3節(jié)所得結(jié)論和上述坐標(biāo)變換，可以得為如下定理:

定理1:在控制器(13)的作用下，系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)(0，0，0)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明:首先選擇坐標(biāo)變換:

當(dāng)控制輸入為式(11)時，系統(tǒng)(5)可以被轉(zhuǎn)換為:

基于引理1，可知系統(tǒng):

在(0，0)是漸近穩(wěn)定的，因?yàn)?

再次基于引理1，可知系統(tǒng):

在(0，0)是漸近穩(wěn)定的，其中:

因此，系統(tǒng)(5)在控制器(11)的作用下，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

同時，因?yàn)樽鴺?biāo)變換(3)和控制輸入(4)是全局同胚變換，因此系統(tǒng)(2)在控制器(13)作用下的漸近穩(wěn)定性與系統(tǒng)(5)在控制器(11)作用下的漸近穩(wěn)定性是等價的。即系統(tǒng)(2)在控制器(13)作用下在平衡點(diǎn)(0，0，0)是全局漸近穩(wěn)定的。

3.2 慣性輪擺仿真

下面通過一個仿真來驗(yàn)證所設(shè)計控制器的有效性，為了和已有控制器進(jìn)行比較，本文使用了和文獻(xiàn)［1，5，7］中一致的參數(shù)。參數(shù)如下所示:

由此可得:

設(shè)置控制器(13)的參數(shù)為c=30，k0=1，k1=12，k2=2。慣性輪擺的初始狀態(tài)為:q1=π，˙q1=0，˙q2=0。在控制器(13)的作用下，慣性輪擺的狀態(tài)軌跡和控制輸入如圖2所示。

圖2 慣性輪擺系統(tǒng)各狀態(tài)和控制輸入

仿真結(jié)果說明本文所提控制器可以使慣性輪擺的擺桿從垂直向下的位置擺起并平衡在垂直向上的位置。為了獲得更快的擺起速度和收斂速度，需要更大的電機(jī)力矩，與文獻(xiàn)［5］的仿真結(jié)果相比，系統(tǒng)各狀態(tài)能夠更快地收斂至平衡位置，但電機(jī)最大力矩也比文獻(xiàn)［5］中的最大力矩更大一些。

4 結(jié)束語

本文針對慣性輪擺的全局鎮(zhèn)定問題，提出了一種迭代控制器設(shè)計方法和一種全局坐標(biāo)變換公式，利用此坐標(biāo)變換公式和控制器設(shè)計方法，可以獲得一個更簡潔的變換結(jié)果和反饋鎮(zhèn)定控制器。所設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器可以使得系統(tǒng)各狀態(tài)漸近收斂于平衡位置。仿真結(jié)果給出了所設(shè)計控制器的效果和性能。本文所提出的迭代控制器設(shè)計方法也可以用于一類可以轉(zhuǎn)化為級聯(lián)形式的欠驅(qū)動系統(tǒng)，如TORA系統(tǒng)等。

［1］R.Xu，ü. ?zgüner:Sliding mode control of a class of underactuated systems.Automatica，2008，44(1):233-241.

［2］M.W.Spong，P.Corke，R.Lozano.Nonlinear control of the Inertia Wheel Pendulum Automatica，2001，37(11):1845-1851.

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［6］R.Olfati-Saber.Nonlinear Control of Underactuated Mechanical Systems with Application to Robotics and Aerospace Vehicles.PhD thesis，Massachusetts Institute of Technology，Department of Electrical Engineering and Computer Science，F(xiàn)ebruary 2001.

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A Recursive Design Method for Stabilization of the Inertia Wheel Pendulum

WANG Yi-qing1，2a，LI Sheng2a，HOU Bao-lin2b
(1.School of Automation and Electronic Engineering，Nanjing University of Technology，Jiangsu 210009，China;2a.School of Automation;2b.School of Mechnical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China)

Aimed at the stabilization problem of the Inertia Wheel Pendulum system，a recursive design method of stabilization controller was proposed.In this method，the Inertia Wheel Pendulum system was transformed into a nonlinear cascade form through a coordinate transformation firstly.And through a recursive design procedure and inverse coordinate transformation，a state feedback controller of Inertia Wheel Pendulum system with explicit form was obtained.And then the stability of the Inertia Wheel Pendulum system under the proposed controller at position，where the pole was vertial up，was proved.Finally，the effectiveness and performance of the proposed stabilization controllers for an inertia wheel pendulum system whose parameters were taken from a real-life model of the IWP was shown through simulations.Compared with some existing method，the proposed method in this paper was more simplicity and suitable to expand to the stabilization of other underactuated systems.

nonlinear control;feedback stabilization;underactuated system;inertia wheel pendulum

TH16;TG65

A

1001-2265(2012)12-0041-04

2012-04-03;

2012-09-25

國家自然科學(xué)基金(51175266);江蘇省高校自然科學(xué)研究計劃項(xiàng)目(12KJB510008);南京工業(yè)大學(xué)青年教師學(xué)術(shù)基金(39710013)

王軼卿(1981—)，女，河北三河人，南京工業(yè)大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院講師，博士生，主要從事欠驅(qū)動系統(tǒng)控制、非線性控制、智能控制等方面的研究，(E-mail)wangyiqing1112@163.com。

(編輯 李秀敏)