灰色GM（1，1）冪模型初始條件的組合優(yōu)化

王正新，黨耀國，裴玲玲

灰色GM（1，1）冪模型初始條件的組合優(yōu)化

王正新1，黨耀國2，裴玲玲2

（1．浙江師范大學經濟與管理學院，浙江金華321004；2．南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇南京210016）

針對GM（1，1）冪模型求解初始條件的優(yōu)化問題，提出一種基于原始序列新舊信息的線性組合優(yōu)化方法。在模擬誤差平方和最小化的目標下，構建初始條件組合權重的優(yōu)化模型，給出最優(yōu)組合權重的解析式。最后以中國高中升學率的數(shù)據(jù)為例，驗證了此優(yōu)化模型的有效性和優(yōu)越性。結果表明初始條件優(yōu)化方法能夠有效地平衡新舊信息的權重，并提高GM（1，1）冪模型的模擬和預測精度。

灰色系統(tǒng)；GM（1，1）冪模型；初始條件；組合優(yōu)化

一、引 言

作為灰色系統(tǒng)預測和控制理論的核心模型，近年來，GM（1，1）模型已經為國內外學者所認可［1］301。目前，在模型改進和實際應用方面都取得了很多有價值的研究成果［2－6］。然而，無論如何改進GM（1，1）模型，它的預測函數(shù)始終是單調遞增或衰減的，因此，對于非線性特征較強的原始數(shù)據(jù)，該模型并不適用。這是限制GM（1，1）模型進一步推廣應用的突出問題。

灰色GM（1，1）冪模型是近兩年發(fā)展起來一種新型灰色模型，其主要優(yōu)點在于灰色作用量中的冪指數(shù)能夠較好地反映原始數(shù)據(jù)的非線性特征，因而可用于描述和預測事物非線性發(fā)展態(tài)勢。然而過去很長一段時間里，人們并未注意到GM（1，1）冪模型的應用價值，主要原因就在于該模型的求解較GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型更加困難。王正新等人利用灰色系統(tǒng)信息覆蓋的思想首次給出了冪指數(shù)的白化公式，提出了GM（1，1）冪模型的求解方法，并討論了冪指數(shù)的不同取值范圍對模型解的性質的影響［7］。李軍亮等人將GM（1，1）冪模型的應用范圍拓展為非等間距序列，并采用粒子群算法求解模型，取得了較好的應用效果［8］。王豐效以白化微分方程為基礎，利用梯形公式白化灰導數(shù)，得到了一種改進灰導數(shù)的GM（1，1）冪模型［9］。王正新等人基于誤差來源分析，提出了無偏GM（1，1）冪模型，該模型對傳統(tǒng)GM（1，1）冪模型及其本身的時間響應函數(shù)所表達的曲線進行模擬和預測具有重合性［10］。

上述對GM（1，1）冪模型的改進均是從灰色微分方程的角度出發(fā)的，而模型求解的初始條件也是影響灰建模精度的重要因素之一。由于傳統(tǒng)解法認為，序列的第一個數(shù)據(jù)代表系統(tǒng)發(fā)展的初始狀態(tài)，應該以此為初始條件求解微分方程。然而，這卻違背了鄧聚龍教授提出的“新息優(yōu)先”原理［1］。黨耀國等人以序列中最新的數(shù)據(jù)x（1）（n）作為初始條件建立GM（1，1）模型，這種方法充分利用了新信息，取得了較好的預測效果［11］。我們認為，這種思路對改善模型對未來的預測精度是有幫助的，但是，我們也難以從理論上嚴格證明以x（1）（n）作為初始條件一定會取得比以x（1）（1）作為初始條件更好的預測結果。

基于以上的分析，本文考慮以序列的第一個數(shù)據(jù)x（1）（1）和最后一個數(shù)據(jù)x（1）（n）的某種線性組合作為GM（1，1）冪模型的初始條件，并建立優(yōu)化模型求解最優(yōu)的組合權重，以期取得更高的建模精度。

二、GM（1，1）冪模型的定義

設非負原始序列為X（0）＝（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），對原始序列X（0）作一階累加生成（1－AGO），得序列：

對序列X（1）作緊鄰均值生成（Neighbor Generation），得序列：

Z（1）＝（z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n））

其中，z（1）（k）＝0．5（x（1）（k）＋x（1）（k－1）），k＝2，3，…，n。

定義1［7］設X（0）為非負的單峰原始數(shù)據(jù)序列，X（1）為X（0）的1－AGO序列，Z（1）為X（1）的緊鄰均值生成序列，則有滿足灰建模三條件的如下非線性模型，稱

為GM（1，1）冪模型。

其中，γ≠1，GM（1，1）冪模型發(fā)展系數(shù)a、灰色作用量b，以及冪指數(shù)γ均為未知參數(shù)。當γ＝0時，GM（1，1）冪模型為GM（1，1）模型；當γ＝2時，GM（1，1）冪模型為灰色Verhulst模型。γ的具體計算公式見王正新等人的研究［7］。

得到冪指數(shù)γ的估計之后我們便可以根據(jù)式（1）對參數(shù)列（a，b）T作最小二乘估計

為GM（1，1）冪模型的白化方程。

定理1［7］設B，Y，＾a如定義1所述，＾a＝（a，b）T＝（BTB）－1BTY，則

2．GM（1，1）冪模型x（0）（k）＋az（1）（k）＝b（z（1）（k））γ的時間響應序列為

＾x（1）（k＋1）＝

其中，k＝1，2，…，n

3．還原值

選擇不同的初始值將會直接影響到最終的模擬預測結果。下面將研究給定冪指數(shù)γ的情況下，GM（1，1）冪模型初始條件的組合優(yōu)化問題。

三、GM（1，1）冪模型初始條件的組合優(yōu)化

不妨先給出GM（1，1）冪模型白化方程解的一般表達式：

若取初始條件為x（1）（1），GM（1，1）冪模型的時間響應式為式（5）；

若取初始條件為x（1）（n），GM（1，1）冪模型的時間響應式為：

其中，k＝1，2，…，n。

下面考慮引入一個參數(shù)β來組合這兩種初始條件，以體現(xiàn)新舊信息在初始條件中的重要性，β∈［0，1］。

當取式（7）中的t＝1時，

當取式（7）中的t＝n時，

分別用β和1－β乘以式（9）和式（10）：

于是，

由式（13）解得：

確定參數(shù)c，使得

達到最小。

解式（16）得：

由公式（14）和（17）可知

解式（18）得初始條件的加權系數(shù)：

因此，GM（1，1）冪模型優(yōu)化的時間響應式為

當β＝1時，式（20）等價于式（5），即以x（1）（1）為初始條件的時間響應式；

當β＝0時，式（20）等價于式（8），即以x（1）（n）為初始條件的時間響應式。

四、模型檢驗

將第k時刻的相對誤差（Relative Percentage Error）記為RPE（k），其公式為

所有時點的相對誤差平均值（Average Relative Percentage Error）記為ARPE，其公式為

對于給定α，當ARPE＜α且RPE（n）＜α成立時，稱模型為殘差合格模型，一般取α＝5%。

五、應用實例

近20年來，中國經濟有了長足的發(fā)展，在國際上的地位有了很大的提高，擴大高等教育的規(guī)模是勢所必然的，中國高等教育也正朝著大眾化的方向發(fā)展。高中升學率為普通高校招生數(shù)（含電大普通班）與普通高中畢業(yè)生數(shù)之比，該指標是反映高等教育發(fā)展的重要指標。自從1999年中國實施擴招政策以來，高中升學率呈現(xiàn)出先增長后下降的單峰特性（見表1），由王正新等人的研究結論［7］可知，宜采用GM（1，1）冪模型進行模擬和預測。下面利用本文提出的優(yōu)化方法對中國高中升學率進行模擬和預測，同時與王正新等人提出的冪指數(shù)優(yōu)化方法［12］進行精度比較。

表1 1999－2008年中國高中升學率（%）

（一）冪指數(shù)優(yōu)化方法［12］

利用參數(shù)之間的關系構建優(yōu)化模型，得冪指數(shù)的最優(yōu)值γ＊＝0．294，取＾x（1）（1）＝X（1）（1）＝63．8，可得時間響應式＾x（1）（k＋1）＝（187．631 7－168．832 9e－0．08298k）1．4165；k＝1，2，…，9。

（二）初始條件組合優(yōu)化方法

根據(jù)式（19）計算初始條件為x（1）（1）和x（1）（n）的組合權系數(shù)：

可見，新信息x（1）（n）的權重大于x（1）（1）。

將β值代入式（20），得GM（1，1）冪模型優(yōu)化的時間響應式為：

累減還原值為

注意到，優(yōu)化初始條件的GM（1，1）冪模型的初始條件不再是x（1）（1），因此，此處的模擬增加了1999年的數(shù)據(jù)作為比較。兩種模型的精度比較見表2。

由表2可以看出，本文優(yōu)化模型和冪指數(shù)優(yōu)化方法的平均模擬誤差（ARPE）分別為1．26%和1．20%，均小于5%，可見兩者均為殘差合格模型，但是本文優(yōu)化模型的精度略高于冪指數(shù)優(yōu)化方法。在對2007和2008兩年數(shù)據(jù)的預測方面，本文提出的優(yōu)化模型也具有明顯的優(yōu)勢。主要原因就在于本文提出的優(yōu)化模型考慮了新舊信息在初始條件中的最優(yōu)權重。

六、結 論

初始條件是影響灰色系統(tǒng)建模精度的關鍵因素之一。無論是以序列的最舊數(shù)據(jù)x（1）（1）為初始條件，還是以序列中最新的數(shù)據(jù)x（1）（n）為初始條件，都難以獲得高精度的建模結果。由本文構建的組合優(yōu)化模型求出的權重能夠平衡新舊信息在預測中的作用，從而有效地提高GM（1，1）冪模型的模擬和預測精度。

表2 兩種優(yōu)化模型的精度比較表

［1］ 鄧聚龍．灰理論基礎［M］．武漢：華中科技大學出版社，2002．

［2］ Wang Y F．Predicting Stock Price Using Grey Prediction System［J］．Expert Systems with Applications，2002，22（8）．

［3］ Xie N M，Liu S F．Discrete Grey Forecasting Model and Its Optimization［J］．Applied Mathematical Modelling，2009，33（4）．

［4］ Li D C，Yeh C W，Chang C J．An Improved Grey－Based Approach for Early Manufacturing Data Forecasting［J］．Computers ＆Industrial Engineering，2009，57（5）．

［5］ 薛小榮，黨小剛．基于灰色理論的西安土地利用預測研究［J］．統(tǒng)計與信息論壇，2009，24（11）．

［6］ 曾波，劉思峰．近似非齊次指數(shù)增長序列的間接DGM（1，1）模型分析［J］．統(tǒng)計與信息論壇，2010，25（8）．

［7］ 王正新，黨耀國，劉思峰，等．GM（1，1）冪模型求解方法及其解的性質［J］．系統(tǒng)工程與電子技術，2009，31（10）．

［8］ 李軍亮，肖新平，廖銳全．非等間距GM（1，1）冪模型及其應用［J］．系統(tǒng)工程理論與實踐，2010，30（3）．

［9］ 王豐效．改進灰導數(shù)的GM（1，1）冪模型［J］．純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2011，27（2）．

［10］王正新，黨耀國，練鄭偉．無偏GM（1，1）冪模型及其應用［J］．中國管理科學，2011，19（4）．

［11］Dang Y G，Liu S F．The GM Models that x（n）be Taken as Initial Value［J］．Kybernetes，2004，33（2）．

［12］王正新．含可變參數(shù)的緩沖算子與GM（1，1）冪模型研究［D］．南京：南京航空航天大學博士學位論文，2010．

Combinatorial Optimization of the Initial Value in GM（1，1）Power Model

WANG Zheng－xin1，DANG Yao－guo2，PEI Ling－ling2
（1．School of Economics and Management，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China；2．College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

In view of the optimization problem of the initial value in GM（1，1）power model，this paper puts forward a linear combinatorial optimization method based on new and old information of original sequence．A combinatorial optimization model for the weights of initial values is constructed with the objective of minimum simulation error sum of squares．The analytical expression of the weights of initial values is proposed．Finally，the superiority and effectiveness of the new methods is illustrated by the data of the promotion rates from senior secondary schools to higher education in China．The results show that the initial condition optimization method proposed in this paper can effectively balance the weights of old and new information and improved the simulation and prediction accuracy of GM（1，1）power model．

grey system；GM（1，1）power model；initial value；combinatorial optimization

book=55,ebook=83

N941．5

A

1007－3116（2012）06－0055－05

（責任編輯：馬 慧）

2011－12－24

國家自然科學基金項目《基于灰色理論的小樣本振蕩序列預測方法及其應用研究》（71101123）；全國教育科學“十一五”規(guī)劃青年課題《“十二五”期間中國大學生失業(yè)預警研究》（EIA100402）

王正新，男，江蘇高郵人，管理科學與工程博士，講師，研究方向：預測與決策理論。