時標(biāo)上2階動態(tài)方程非線性邊值問題

鐘文勇

（吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南吉首 416000）

時標(biāo)上2階動態(tài)方程非線性邊值問題

鐘文勇

（吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南吉首 416000）

研究了時標(biāo)上一類2階動態(tài)方程的非線性邊值問題，利用2個算子和的不動點(diǎn)定理，得到非線性邊值問題至少存在1個解的充分條件.

時標(biāo)；動態(tài)方程；非線性邊值問題；不動點(diǎn)

時標(biāo)及時標(biāo)上的微積分理論主要目的在于“統(tǒng)一與推廣”，即統(tǒng)一和推廣現(xiàn)有的微積和差分以及常微分方程和差分方程的理論［1］.目前，這一理論正得到迅速發(fā)展.因為，一方面，它統(tǒng)一和推廣了經(jīng)典的微分和差分理論，另一方面，時標(biāo)上動態(tài)方程的研究也在真實現(xiàn)象和過程的數(shù)學(xué)模型中具有重要應(yīng)用［2］，例如時標(biāo)上的種群動力學(xué)、流行病模型、金融消費(fèi)過程的數(shù)學(xué)模型等［3－4］.總之，時標(biāo)和時標(biāo)上的動態(tài)方程理論有廣闊的應(yīng)用前景.近年來，時標(biāo)上動態(tài)方程的邊值問題的研究一直是該類系統(tǒng)研究的重要問題之一，并得到一些結(jié)果，但是，關(guān)于時標(biāo)上動態(tài)方程的非線性邊值問題的結(jié)果很少［5］，有待進(jìn)一步研究.

筆者主要研究如下時標(biāo)上2階非線性邊值問題：

其中：f（t，x）是定義在T T×R上的實值函數(shù)，T T為時標(biāo)，R表示全體實數(shù)集；g1，g2為定義在給定的函數(shù)空泛函.

1 預(yù)備知識

一個時標(biāo)T T是實數(shù)集R的一個任意閉子集，它具有由R誘導(dǎo)的拓?fù)浼错樞蜿P(guān)系.本節(jié)的主要內(nèi)容參考文獻(xiàn)［2］.

定義1 設(shè)t∈T T，定義前躍算子σ：T T｜→T T和后躍算子ρ：T T｜→T T分別為

規(guī)定inf?＝sup T T，sup?＝inf T T.

設(shè)t∈T T，若σ（t）＝t，則t稱為右稠密點(diǎn)；若σ（t）＞t，則t稱為右擴(kuò)散點(diǎn)；若ρ（t）＝t，則t稱為左稠密點(diǎn)；若ρ（t）＞t，則t稱為左擴(kuò)散點(diǎn).為了度量時標(biāo)上相鄰點(diǎn)的位置關(guān)系，定義尺度函數(shù)μ：T T｜→R為μ（t）＝σ（t）－t.

設(shè)a，b∈T T，定義T T中的閉區(qū)間為［a，b］TT＝｛t∈T T：a≤t≤b｝.T T中的其他類型的區(qū)間可類似定義.

現(xiàn)介紹時標(biāo)上的Δ－導(dǎo)數(shù)、Δ微積分的定義.由T T可定義集合T Tk：若sup T T＜∞，則T Tk＝T T＼（ρ（sup T T），sup T T］；若sup T T＝∞，則T Tk＝T T.

定義3 假設(shè)f：T T｜→R，對于給定的t∈T Tk，若存在γ（t）∈R，對任意給定的∈＞0，存在t的鄰域UTT使得對任意s∈UTT，不等式

成立，則稱γ（t）為函數(shù)f在t點(diǎn)的Δ－導(dǎo)數(shù)，并記fΔ（t）＝γ（t）.

記σ0（b）＝b，σ1（b）＝σ（b），σ2（b）＝σ（σ（b）），Ii＝［a，σi（b）］TT（i＝0，1，2）.C（I）表示定義在區(qū)間I上全體實值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間，‖·‖I表示C（I）的上確界范數(shù)，即.再記

則CΔ（I2）在范數(shù)‖x‖＝max｛‖xΔ‖I1，‖x‖I2｝下成為Banach空間.

設(shè)g1：C（I1）｜→T T，g2：CΔ（I2）｜→R是給定的泛函.

定義4 若x∈CΔ（I2），xΔΔ（t）∈Crd（I0），并且（1）式成立，則稱x（t）為邊值問題（1）的解.

引理1［6］設(shè)B是Banach空間，U是B的凸閉子集V中的開集，假設(shè)0∈U，T（ˉU）有界，T＝T1＋T2：ˉU｜→V，其中T1：ˉU｜→B是全連續(xù)算子，T2：ˉU｜→B是非線性壓縮算子（即存在連續(xù)單調(diào)非減函數(shù)φ：［0，∞）｜→［0，∞），φ（z）＜z（z＞0），使得對任意x，y∈ˉU，均有‖T2（x）－T2（y）‖≤φ（‖x－y‖）），則必然有：（ⅰ）T在ˉU中有一不動點(diǎn)；（ⅱ）或存在u∈?U滿足u＝λT（u），λ∈（0，1）.這里，ˉU和?U分別表示U的閉包和邊界.

2 主要結(jié)果

首先，研究邊值問題（1）對應(yīng)的線性問題解的存在性，為此，引入假設(shè)：

（H1）g1：C（I1）｜→R，g2：CΔ（I2）｜→R，且gi（0）＝0.存在非負(fù)常數(shù)l1，l2滿足l1≤1，l2≤1，l1· max｛1，（σ2（b）－a）｝＋l2＝l＜1，并使得對任意x，y∈C（I1）∩CΔ（I2），均有｜gi（x）－gi（y）｜≤li‖x－y‖Ii（i＝1，2）成立.

引理2 假設(shè)h：T T｜→R是連續(xù)的，若條件（H1）成立，則邊值問題

存在唯一解，且解可表示為

由（2）式中的邊界條件可確定x（a），xΔ（a），得到

其中G（t，s）由（3）式確定.

再證明唯一性.若x＝x（t），y＝y(tǒng)（t）均為（2）式的解，則

由（4）至（6）式及假設(shè)（H1）可知，

因此β＝0.進(jìn)一步有估計

這導(dǎo)出α＝0.從而x（t）＝y(tǒng)（t），t∈I2.證畢.

現(xiàn)作假設(shè)：

（H2）f：I2×R｜→R連續(xù).

類似于引理2的證明，可得到如下結(jié)果：

引理3 若假設(shè)（H1），（H2）成立，則邊值問題（1）等價于積分方程

由引理2，3可知算子T的定義是明確的，且邊值問題（1）等價于算子T的不動點(diǎn)問題.不難驗證T：CΔ（I2）｜→CΔ（I2）.再定義算子

則T＝T1＋T2.

為應(yīng)用引理1研究邊值問題（1），現(xiàn)給出T1，T2的幾個重要性質(zhì).

設(shè)r是正實數(shù)，Ωr＝｛x∈CΔ（I2）：‖x‖＜r｝.

引理4 若條件（H1），（H2）滿足，則是全連續(xù)算子.

證明 首先證明T1連續(xù).

由估計（10）及假設(shè)（H1）可得

綜合上述證明可知T1是全連續(xù)的.

為陳述和證明主要定理，進(jìn)一步引入以下基本假設(shè)：

（H3）存在非負(fù)函數(shù)p∈L1（I2）和單調(diào)非減函數(shù)ψ：［0，∞）｜→［0，∞），并且p在I2的具有正Δ－測度的子集上大于0，使得對任意（t，u）∈I2×R，成立｜f（t，u）｜≤p（t）ψ（｜u｜）.這里，L1（I2）表示在I2上LebesgueΔ－可積實函數(shù)的集合.

定理1 若（H1）至（H4）成立，則邊值問題（1）至少存在1個解.

證明 設(shè)算子T，T1，T2分別由（7）至（9）式定義.由引理2，3可知算子T的不動點(diǎn)就是邊值問題（1）的解.

以下證明算子T，T1，T2滿足引理2相應(yīng)條件，從而存在不動點(diǎn).

由（H4）知，存在r＞0使得

最后，證明引理1的結(jié)論（ⅱ）不成立.假若（ⅱ）成立，則存在λ∈（0，1），x∈?Ω使得x＝λT x，于是

可得到

綜上所述，由引理1知算子F在ˉΩr至少有1個不動點(diǎn)，即邊值問題（1）至少存在1個解.證畢.

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Nonlinear Boundary Value Problem for Second Order Dynamic Equations on Time Scales

ZHONG Wen－yong
（School of Mathematics and Statistics，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China）

This paper deals with the nonlinear boundary value problem for the second order dynamic equations on time scales.Using fixed－point theorem for the sum of two operators，some sufficient conditions are obtained to guarantee the existence of at least one solution of the boundary value problem.

time scales；dynamic equation；nonlinear boundary value problem；fixed point

book=83,ebook=166

O175.8

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2012.04.002

（責(zé)任編輯 向陽潔）

1007－2985（2012）04－0006－05

2012－04－25

湖南教育廳科學(xué)研究項目（10C1125）

鐘文勇（1963－），男，湖南吉首人，吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，博士，主要從事微分方程研究.