基于愛爾朗分布的隨機(jī)動(dòng)態(tài)批量決策研究

易東波，鮑玉昆

(1.華中科技大學(xué)管理學(xué)院，湖北武漢 430074;2.南昌工程學(xué)院工商管理學(xué)院，江西南昌 330099)

批量問題在生產(chǎn)庫存領(lǐng)域一直備受關(guān)注。當(dāng)需求量因時(shí)間不同而有顯著差異時(shí)，需求時(shí)變的批量問題即為動(dòng)態(tài)批量問題，包括確定型時(shí)變需求的動(dòng)態(tài)批量問題與隨機(jī)型時(shí)變需求的動(dòng)態(tài)批量問題，其中前者受到更為廣泛的研究。解決確定型時(shí)變需求動(dòng)態(tài)批量問題的具有開創(chuàng)意義的經(jīng)典方法則是WAGNER和WHITIN在1958年提出的W-W最優(yōu)模型及算法［1］。W-W算法引發(fā)了大量對確定型時(shí)變需求下動(dòng)態(tài)批量問題的研究，相關(guān)成果也在庫存及生產(chǎn)計(jì)劃領(lǐng)域得到了諸多應(yīng)用，有關(guān)該類模型和算法種類繁多，具體可參見BRAHIMI等的綜述文獻(xiàn)［2］。

動(dòng)態(tài)批量中的無能力約束單品種動(dòng)態(tài)批量問題(uncapacitated single item lot sizing problem，USILSP)是研究關(guān)注點(diǎn)。USILSP是更復(fù)雜的動(dòng)態(tài)批量模型研究的基石，具有重要的基礎(chǔ)性研究價(jià)值。確定型時(shí)變需求的USILSP的相關(guān)模型和算法豐富多樣，而隨機(jī)時(shí)變需求的USILSP研究相對較少。較早對隨機(jī)動(dòng)態(tài)批量進(jìn)行研究的，生產(chǎn)領(lǐng)域有 WHYBARK 和 WILLIAMS［3］，庫存領(lǐng)域有SILVER［4］。其后 SOX 和 MUCKSTADT［5］研究了生產(chǎn)排程中隨機(jī)動(dòng)態(tài)批量的啟發(fā)式算法，TARIM和KINGSMAN［6］研究了生產(chǎn)庫存中帶有服務(wù)水平約束的隨機(jī)動(dòng)態(tài)批量問題。WEMMERLOV和WHYBARK［7］分析了在正態(tài)分布需求、給定服務(wù)水平、無能力約束和不存在缺貨回補(bǔ)成本的情形下，各類動(dòng)態(tài)批量算法之間的成本差異情況，而VARGAS［8］給出了正態(tài)分布需求下無能力約束的單品種動(dòng)態(tài)批量模型的優(yōu)化算法。

雖然在假設(shè)需求時(shí)較多用到正態(tài)分布，但現(xiàn)實(shí)中很多產(chǎn)品的需求用正態(tài)分布不一定就能獲得好的擬合。NENES等通過對某企業(yè)的調(diào)查和研究，發(fā)現(xiàn)該企業(yè)大多數(shù)產(chǎn)品的需求真正為正態(tài)分布需求的物品種類較少，而符合Gamma分布的非對稱隨機(jī)需求的物品則占多數(shù)［9］，并且，正態(tài)分布需求在其變異系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值)非顯著小于1時(shí)，負(fù)需求存在的概率難以忽略［10］，因而可能會(huì)在一定程度影響最優(yōu)策略的適用性。愛爾朗分布作為Gamma分布的典型特例，計(jì)算和應(yīng)用更為簡便，亦可用來描述非常規(guī)需求的物品，并且如同Gamma分布，不存在負(fù)的需求值。當(dāng)愛爾朗分布在其復(fù)合的指數(shù)分布的個(gè)數(shù)較多時(shí)，也能逼近正態(tài)分布刻畫隨機(jī)需求的效果。因此，應(yīng)用愛爾朗分布研究需求既可以較好地?cái)M合諸多非常規(guī)需求物品，又可避免負(fù)需求出現(xiàn)而導(dǎo)致的不利情形，也能在一定條件下做到類似正態(tài)分布的效果，從而使相應(yīng)模型及策略在其應(yīng)用性方面可能表現(xiàn)得更好。

考慮愛爾朗分布需求下、有缺貨回補(bǔ)情形的USILSP，側(cè)重于相應(yīng)的多時(shí)期最優(yōu)累積批量及動(dòng)態(tài)批量策略的效果，以及其與正態(tài)分布情形下的差異性。近來研究隨機(jī)需求下的USILSP較少，最近的且相關(guān)程度較高的研究可詳見文獻(xiàn)［8］。筆者所用的有關(guān)方法與模型借鑒文獻(xiàn)［8］進(jìn)行了愛爾朗分布下的形式拓展，但因該文獻(xiàn)并未對其表格“Table A2”中的最優(yōu)累積批量數(shù)據(jù)具體如何計(jì)算予以說明，筆者對此提出了針對隨機(jī)動(dòng)態(tài)批量情形的二分搜索算法。二分搜索算法雖在確定型時(shí)變需求下的批量決策［11］研究中有應(yīng)用，但并未應(yīng)用于隨機(jī)型時(shí)變需求下的批量決策情形中。二分搜索的思想雖簡單，但其具體算法及程序并非可以簡單移植到不同問題中，且有針對性地提出完整正確的二分搜索算法亦非容易［12］。針對隨機(jī)動(dòng)態(tài)批量情形的二分搜索算法，經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證，該算法是正確可靠的(對文獻(xiàn)［8］的表格“Table A1”中的數(shù)據(jù)結(jié)合該二分搜索算法，經(jīng)計(jì)算獲得了與“Table A2”中基本一致的數(shù)據(jù))。

綜上所述，進(jìn)行該研究的意義有4個(gè)方面:一是由于愛爾朗分布較之于正態(tài)分布在刻畫產(chǎn)品需求方面具有更好的適用性(不存在負(fù)需求、能描述更多類別的產(chǎn)品需求)，因而研究愛爾朗分布下的USILSP有助于其相應(yīng)的研究結(jié)論具有更廣泛的適用性;二是就目前所了解的相關(guān)主流文獻(xiàn)而言，還未有專門研究愛爾朗分布需求下的USILSP的文獻(xiàn);三是拓展了二分搜索的應(yīng)用范圍，形成了針對隨機(jī)時(shí)變需求動(dòng)態(tài)批量情形的二分搜索算法，用于動(dòng)態(tài)批量的數(shù)值計(jì)算中;四是相對于正態(tài)分布下的USILSP，該研究提供了在相關(guān)數(shù)值計(jì)算方面可資對照的標(biāo)桿。

1 相關(guān)模型

參照文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［8］關(guān)于動(dòng)態(tài)批量模型的假設(shè)條件，愛爾朗分布下的動(dòng)態(tài)批量模型亦可具體設(shè)定如下:時(shí)期為t(1≤t≤T)，需求的概率密度函數(shù)為愛爾朗分布gt(x)(x為自變量)，計(jì)劃期為T期，產(chǎn)能或供應(yīng)能力不受限制，每期期末確定單位庫存持有成本ht或單位缺貨懲罰成本bt，且有bt=βht(β為常量)?？紤]前置期為L期，t期的固定啟動(dòng)成本為St-L。令rt(x)為gt(x)的相應(yīng)卷積函數(shù)，即有:

若令 u=λx，則有:

此外，還假定i期(初期)和j期(末期)分別為兩個(gè)相鄰生產(chǎn)批量或補(bǔ)貨批量到達(dá)的時(shí)期，Q為累計(jì)批量，Qi，j則為從第i期到第j-1期的累計(jì)生產(chǎn)量或補(bǔ)貨量，則U(Q，i，j)為從第i期到第 j期(1≤i＜j≤T+1)的期望總成本。若 i=1，j=T+1，則U(Q，i，j)為整個(gè)計(jì)劃期 T期內(nèi)的總成本。參照文獻(xiàn)［8］中的式(3)～式(8)，以及該文獻(xiàn)中的有關(guān)證明，類似的，相應(yīng)從第i期到第j期的愛爾郎分布需求下對應(yīng)的總成本函數(shù)表達(dá)式式(4)及其最優(yōu)解的表達(dá)式式(5)和式(6)如下:

R't(λQ，n)可通過查閱相關(guān)概率分布表或通過Matlab軟件有關(guān)Gamma函數(shù)來計(jì)算相關(guān)數(shù)值，例如可計(jì)算出從第i期到第j期的最優(yōu)累計(jì)生產(chǎn)批量或補(bǔ)貨批量Q*(i，j)。因此，式(4)～式(6)都是可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算求最優(yōu)解的表達(dá)式。

2 數(shù)值試驗(yàn)及二分搜索算法

為研究在標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)均顯著變化情況下，愛爾朗分布需求的各最優(yōu)累積批量與正態(tài)分布需求的各最優(yōu)累積批量之間的差異性，采用兩個(gè)算例進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)。同時(shí)提出了相應(yīng)的二分搜索算法并編程實(shí)現(xiàn)相關(guān)計(jì)算。

兩個(gè)算例中的最優(yōu)累計(jì)批量數(shù)據(jù)按四舍五入取整數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)按四舍五入取到小數(shù)點(diǎn)后1位，相關(guān)比值數(shù)據(jù)按四舍五入取到小數(shù)點(diǎn)后兩位。第一個(gè)算例，采用文獻(xiàn)［8］當(dāng)中的算例數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)亦是在文獻(xiàn)［1］數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上做了一定的拓展，如在各期單位庫存持有成本均為1個(gè)單位的基礎(chǔ)上，增加了各期單位缺貨回補(bǔ)(懲罰)成本均為9個(gè)單位;又如，增加了各期需求服從正態(tài)分布的假定，將各期需求數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的需求均值，并設(shè)各期需求標(biāo)準(zhǔn)差為相應(yīng)需求均值的1/9，即變異系數(shù)為1/9。通過算例1的計(jì)算，可驗(yàn)證在同等變異系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差均值比為1/9)情況下，各最優(yōu)累積批量在愛爾朗分布與正態(tài)分布下的差異性。第二個(gè)算例，則在文獻(xiàn)［8］數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，均值不變的同時(shí)，將其各期的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值均增大為原來的約6.4(≈6.4)倍，即變異系數(shù)為，以了解相應(yīng)的差異性發(fā)生新變化的情況。

算例1 相關(guān)參數(shù)分別為:對所有t(1≤t≤T)，ht=1，bt=9，σt/μt=1/9。由于 n=(μ/σ)2，則對于所有t，n=(μ/σ)2=81。具體需求相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 算例1需求相關(guān)數(shù)據(jù)表

如 i=1，j=2 時(shí)，R'1(λQ，81)=0.9，通過調(diào)用軟件Matlab 7.9.0.529(R2009b)中的gammaincinv函數(shù)，且 λ =81/69，故 Q≈79。

(1)設(shè)定 Qi，j的 上、下界值。該算例中，對于任何 1≤i＜ j≤T+1，下界值均可設(shè)為，上界值均可設(shè)為，這樣可以涵蓋表1中的累計(jì)需求均值的數(shù)據(jù)范圍。

(2) 令 Qi，j==0。

(6)輸出 Qi，j，結(jié)束。

通過Matlab 7.9.0.529(R2009b)編程實(shí)現(xiàn)上述算法并成功運(yùn)行，可得到相應(yīng) Qi，j(1≤i＜j≤T+1，j≥i+1)值，并對其進(jìn)行四舍五入取整，得到累計(jì)批量 Qi，j數(shù)據(jù)，如表 2 所示。其中:Q2，6=262，表示從i=2期至 j=6期的累積批量值Q2，6為262單位;以下相關(guān)表格含義相同。

為驗(yàn)證該算法的正確性和可靠性，將該二分搜索算法運(yùn)用于正態(tài)分布需求情形，根據(jù)表1相關(guān)數(shù)據(jù)(即文獻(xiàn)［8］中“Table A1”的數(shù)據(jù))，通過運(yùn)行該算法的程序進(jìn)行計(jì)算，亦可獲得正態(tài)分布下累計(jì)批量數(shù)值，如表3所示。

用二分搜索算法得到的表3數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)［8］中的表格“Table A2”中的數(shù)據(jù)基本一致(表格中78個(gè)非零數(shù)據(jù)中75個(gè)完全相同。有3個(gè)數(shù)據(jù)不同:370與369、375與374、404與403，但都只相差1個(gè)單位值，其差異性幾乎不存在)，從而可見二分搜索算法是正確而可靠的，并可用該算法和誤差標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算。

表2 算例1的愛爾朗分布下最優(yōu)累積批量Qi，j數(shù)值表

表3 算例1的正態(tài)分布下最優(yōu)累積批量Qi，j數(shù)值表

表2與表3的數(shù)據(jù)相比，總體差別不大，但值得注意的是，隨著兩個(gè)表中“i期/j期”欄中的期數(shù)增大，相應(yīng)的累計(jì)批量值在表2和表3之間的差異逐漸增大。通常是表2中的數(shù)據(jù)值大于表3中相對應(yīng)的數(shù)據(jù)值，其體現(xiàn)的具體差異可用表2的非零數(shù)據(jù)元素除以表3中相應(yīng)的非零數(shù)據(jù)元素表示，所獲得的相應(yīng)比值如表4所示。

對表4中的非零元素求平均及標(biāo)準(zhǔn)差，可得均值為1.03，標(biāo)準(zhǔn)差為0.03。由于標(biāo)準(zhǔn)差均值比為0.03/1.03≈0.03，故可認(rèn)為均值1.03的置信度高，由此可知，表2中的元素值比表3中的元素值平均要大3%左右。

表4 算例1的最優(yōu)累積批量比值表

表5 算例2需求相關(guān)數(shù)據(jù)表

沿用算例1的有關(guān)方法，可獲得算例2數(shù)據(jù)對應(yīng)的愛爾朗分布、正態(tài)分布下的各最優(yōu)累積批量數(shù)據(jù)以及兩者各階段最優(yōu)累積批量的比值，如表6～表8所示。

顯然表6中的元素?cái)?shù)值均大于表7中相對應(yīng)的元素?cái)?shù)值。對表8中的非零元素求平均和標(biāo)準(zhǔn)差，可得均值為1.31，標(biāo)準(zhǔn)差為0.11。由于變異系數(shù)較小(0.11/1.31≈0.08)，可認(rèn)為均值1.31的置信度較高，由此可認(rèn)為，表6中的元素值比表3中相應(yīng)的元素值平均大31%左右。

表6 算例2的愛爾朗分布下最優(yōu)累積批量Qi，j數(shù)值表

表7 算例2的正態(tài)分布下最優(yōu)累積批量Qi，j數(shù)值表

表8 算例2的最優(yōu)累積批量比值表

3 比較分析

由上述數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果可知，隨著標(biāo)準(zhǔn)差增大，愛爾朗分布下的各最優(yōu)累積批量值也在增大。相對于標(biāo)準(zhǔn)差大幅度的變化，各最優(yōu)累積批量值在愛爾朗分布需求下與在正態(tài)分布需求下，相互之間差異的變化并不很大。參照式(5)和式(6)，一方面，可能是由于在愛爾朗分布下當(dāng)n較大時(shí)，其概率密度值gt(x)與相應(yīng)的正態(tài)分布概率密度值 φt(x)差別不大，從而 Rt(Q，n)或 R't(λQ，n)的值與正態(tài)分布下相對應(yīng)的值差異也不大;另一方面，式(5)或式(6)表達(dá)式形式與正態(tài)分布下的相應(yīng)表達(dá)式形式類似(見文獻(xiàn)［8］的相應(yīng)表達(dá)式)，除了Rt(Q，n)或R't(λQ，n)與正態(tài)分布下的有所不同。并且，這種差異均會(huì)由式(5)或式(6)中的單位庫存持有成本與單位缺貨懲罰成本所形成的加權(quán)平均組合所弱化，從而會(huì)進(jìn)一步平滑最優(yōu)累積批量值在愛爾朗分布與正態(tài)分布之間的差異。

就最優(yōu)總成本而言，對照式(4)與文獻(xiàn)［8］中的式(7)，在給定的成本結(jié)構(gòu)情況下(缺貨回補(bǔ)成本與庫存持有成本的比值β給定，生產(chǎn)及補(bǔ)貨啟動(dòng)成本給定)，結(jié)合上述數(shù)值試驗(yàn)分析所得的結(jié)論，可知影響最優(yōu)總成本大小的基礎(chǔ)因素為相應(yīng)的各最優(yōu)累積批量值。當(dāng)愛爾朗分布中的n充分大時(shí)，其累積概率值與相應(yīng)正態(tài)分布累積概率值差異也較小?？梢姡瑦蹱柪史植夹枨笙碌母髯顑?yōu)累積批量與正態(tài)分布下的相應(yīng)最優(yōu)累積批量相差不大，從而兩者的最優(yōu)總成本的差異性也不會(huì)很大。

如果考慮不允許或限制負(fù)需求的情形(即認(rèn)為負(fù)需求是對需求刻畫的高度失真)，就要加入懲罰因子。在類似算例2的情況中，變異系數(shù)相對較大時(shí)，用累積正態(tài)分布函數(shù)(Φ(x))描述需求而出現(xiàn)負(fù)需求的概率將會(huì)變得顯著(負(fù)需求的概率為1-Φ(μ/σ))。例如在算例2的情形下，出現(xiàn)負(fù)需求的概率為0.08(1-Φ()≈0.08)，若懲罰因子足夠大，則必存在使正態(tài)分布下各累積最優(yōu)批量值的平均增幅充分大于31%的情況，使得應(yīng)用愛爾朗分布所獲得的相應(yīng)最優(yōu)總成本值比正態(tài)分布下的最優(yōu)總成本值小，從而可能獲得更好的動(dòng)態(tài)批量策略。

4 結(jié)論

愛爾朗分布下的USILSP有助于在相關(guān)計(jì)算中避免負(fù)需求的誤差影響，也有助于其相應(yīng)的動(dòng)態(tài)批量決策應(yīng)用到產(chǎn)品需求更廣泛的范圍中，并且亦能為正態(tài)分布下USILSP相應(yīng)最優(yōu)累積批量值的計(jì)算提供對照和驗(yàn)證。此外，將二分搜索算法拓展于隨機(jī)動(dòng)態(tài)批量的情形中并編程，實(shí)現(xiàn)了相關(guān)計(jì)算。當(dāng)然，若考慮到標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)再進(jìn)一步大幅增加的情況，即變異系數(shù)為1或非顯著大于1，則愛爾朗分布就變成指數(shù)分布。用愛爾朗分布來描述相對低頻隨機(jī)需求的效果相對于正態(tài)分布而言，效果要更好些(正態(tài)分布函數(shù)通常適合用來描述高頻隨機(jī)需求)，從而相關(guān)最優(yōu)累積批量值及動(dòng)態(tài)批量策略的總成本值也可能更好些。如果變異系數(shù)顯著大于1，則物品的相應(yīng)需求可能為低頻、間歇性需求，塊狀需求甚至慢速移動(dòng)需求等，愛爾朗分布也不再適用，這時(shí)可考慮應(yīng)用Gamma分布來描述該類物品的需求。其相應(yīng)的動(dòng)態(tài)批量模型、最優(yōu)累積批量及優(yōu)化策略是今后值得注意的研究內(nèi)容。

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