聲振系統(tǒng)中高頻能量流分析法研究進(jìn)展

游 進(jìn)，孟 光，李鴻光

(1.中國空間技術(shù)研究院 載人航天總體部，北京 100094;2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

出于經(jīng)濟(jì)性要求和減重的考慮，很多產(chǎn)品結(jié)構(gòu)(如汽車、船舶、航空航天器等)采用很多輕薄構(gòu)件，使得這類結(jié)構(gòu)的中高頻減振降噪問題顯得較為突出。目前廣泛應(yīng)用于預(yù)測復(fù)雜結(jié)構(gòu)聲振響應(yīng)的成熟手段主要包括以力和位移為基本變量的有限元/邊界元法［1－2］，以及以能量為研究變量的統(tǒng)計(jì)能量分析法［3－6］(Statistical Energy Analysis，SEA)。對于傳統(tǒng)的有限元/邊界元法，由于結(jié)構(gòu)在中高頻上的模態(tài)波長很小，聲振響應(yīng)建模分析需要?jiǎng)澐址浅＜?xì)密的網(wǎng)格，造成計(jì)算成本過高。此外，中高頻上，結(jié)構(gòu)參數(shù)、邊界條件及載荷的細(xì)微變化均會對結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)造成顯著影響，傳統(tǒng)的有限元/邊界元法作為一種確定性方法，其計(jì)算結(jié)果只能視為聲振系統(tǒng)所有可能動(dòng)力響應(yīng)集合的一個(gè)樣本，這進(jìn)一步反映出有限元/邊界元在中高頻應(yīng)用上的局限性。SEA法基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的模態(tài)方法提出，以耦合結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)的空間及頻率平均總能量為基本研究變量，并從能量存儲、傳遞和耗散的角度來描述結(jié)構(gòu)的動(dòng)力行為。SEA采用集總參數(shù)模型，所建立的模型規(guī)模較小，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，只需用一組線性代數(shù)方程便可反映耦合子系統(tǒng)間的能量平衡關(guān)系，求解方程便可得到所有子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量，因而方法的計(jì)算效率很高。經(jīng)典SEA法的不足之處在于其引入的假設(shè)過于苛刻，因此一直以來都有學(xué)者質(zhì)疑其合理性［7－9］，同時(shí)這些假設(shè)也將SEA法的適用范圍限制在高頻區(qū)域。

為克服現(xiàn)有動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測方法的局限性，學(xué)者們基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的波動(dòng)方法提出了能量流分析法(Energy Flow Analysis，EFA)。能量流分析法基于對結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播波功率流傳遞特性的認(rèn)識，以在時(shí)間和波長距離上平均的能量密度及功率流作為其基本研究變量。通過利用三個(gè)基本關(guān)系，即:① 簡化的功率流－能量密度關(guān)系;② 損耗功率－能量密度關(guān)系;③ 微元體的能量守恒，可以導(dǎo)出能量流分析法的控制微分方程。能量流分析法以能量密度為變量，因此可以反映動(dòng)力響應(yīng)在耦合子系統(tǒng)空間上的分布情況，這與SEA作為集總參數(shù)方法只能提供子系統(tǒng)的平均總能量相比，具有很大的優(yōu)越性。從應(yīng)用的角度，能量流分析法可以方便地利用有限元法基于聲振系統(tǒng)的幾何模型對能量密度場進(jìn)行建模求解，相比于SEA不關(guān)注子系統(tǒng)的幾何模型細(xì)節(jié)及載荷位置等信息，能量流分析法可充分地反映幾何特征及載荷位置等對聲振系統(tǒng)動(dòng)響應(yīng)的影響。由于能量流分析法實(shí)用上有很大的優(yōu)點(diǎn)且方法引入的假設(shè)條件較少，因此受到很大的關(guān)注，提出至今獲得了很大的發(fā)展，本文基于能量流分析法理論及應(yīng)用研究的相關(guān)文獻(xiàn)，系統(tǒng)回顧能量流分析法的發(fā)展過程，提煉該方法的理論框架并說明其研究進(jìn)展。

1 基本能量流分析方程的發(fā)展

俄羅斯的一些學(xué)者最早從考慮能量密度和功率流在結(jié)構(gòu)內(nèi)分布的角度來研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)問題［10－14］。在這些有關(guān)結(jié)構(gòu)內(nèi)能量流傳遞特性的早期研究中，結(jié)構(gòu)中不同類型的傳播波被假定為互不相干且它們的能量可以疊加，從而導(dǎo)出了類似于熱傳導(dǎo)的描述結(jié)構(gòu)內(nèi)能量流分布的微分方程:

Wohlever等［16］針對縱向振動(dòng)桿和橫向振動(dòng)梁進(jìn)一步研究了穩(wěn)態(tài)振動(dòng)結(jié)構(gòu)內(nèi)的能量傳遞特性與熱傳導(dǎo)問題的類比性，并揭示了導(dǎo)出能量流分析微分方程所做近似假設(shè)的物理含義。假定桿內(nèi)存在相向傳播的縱波，在小阻尼條件下，由振動(dòng)位移解導(dǎo)出的相向傳播波的功率流和能量密度的解析式表明，功率流與能量密度的梯度成正比，能量由高能量密度區(qū)域流向低能量密度區(qū)域，即:

式中，q表示同時(shí)存在正負(fù)向傳播波的桿內(nèi)功率流。式(2)在桿上任意一點(diǎn)均成立，不需做任何假設(shè)。對于梁的彎曲振動(dòng)，由位移解導(dǎo)出的功率流與能量密度解析式表明，類似于式(2)的規(guī)律在任意點(diǎn)上并不準(zhǔn)確成立，只有忽略了彎曲振動(dòng)的近場項(xiàng)并將功率流與能量密度在一個(gè)波長的局部空間范圍上進(jìn)行平均，才可得到如式(2)的功率傳遞特性表達(dá)式。在波長距離上對解析能量密度和功率流進(jìn)行平均是一種重要的概念，因?yàn)榻?jīng)過空間周期平均后，相同頻率的相向傳播波的能量密度和功率流等能量變量可以進(jìn)行疊加，從而使得從能量角度來理解振動(dòng)問題變得簡單。由于這種空間上的周期平均不涉及其它前提假設(shè)，因而實(shí)質(zhì)上反映了結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)場傳播波穩(wěn)態(tài)功率傳遞特性的一般規(guī)律。

基于對結(jié)構(gòu)內(nèi)功率流傳遞基本規(guī)律的認(rèn)識，Bouthier等［17－20］求得了板彎曲振動(dòng)和張緊膜在時(shí)間及波長距離上平均的功率流及能量密度表達(dá)式，同時(shí)也導(dǎo)出了相應(yīng)的能量微分方程:

式中:cg為二維結(jié)構(gòu)相應(yīng)傳播波的群速，x為二維結(jié)構(gòu)任意點(diǎn)的位置矢量。上式的導(dǎo)出利用了二維結(jié)構(gòu)內(nèi)相向平面彎曲波及壓縮波的如下簡化功率流傳遞特性:

式中，q為二維結(jié)構(gòu)內(nèi)的功率流矢量。板的彎曲振動(dòng)及張緊膜的能量方程均通過與從結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)用模態(tài)分析法解得的能量響應(yīng)精確解進(jìn)行了對比，從而驗(yàn)證了能量流分析法的有效性。在Bouthier等相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，Ichchou［21］對考慮柱面波、球面波和平面波時(shí)的能量傳遞模型進(jìn)行了一般性總結(jié)。

Zhang等［22－23］提出了一種新的推導(dǎo)結(jié)構(gòu)能量流分析微分方程的方法，這種方法視結(jié)構(gòu)中任意方向上的傳播波為在兩個(gè)垂直方向上傳播的波的疊加，合成波的能量密度及功率流均由傳播方向互相垂直的兩個(gè)波的能量密度及功率流疊加而成，因而可單獨(dú)對傳播方向垂直的兩個(gè)波的能量傳遞特性進(jìn)行分析，這樣做簡化了能量流分析微分方程的推導(dǎo)。

Lase等［24］期望提供從能量角度出發(fā)描述結(jié)構(gòu)振動(dòng)的一般性認(rèn)識，提出了通用能量動(dòng)力學(xué)方法(General Energetic Method，GEM)。這種方法指出結(jié)構(gòu)內(nèi)分別存在兩種能量密度和功率流，其中一種對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的總能量密度和主動(dòng)能量流(active energy flow)，反映結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播波的能量特性，另一種對應(yīng)于Lagrangian能量密度和被動(dòng)能量流(reactive energy flow)，反映結(jié)構(gòu)的模態(tài)能量特性。兩種不同類型的能量密度和能量流均存在控制微分方程，而當(dāng)忽略近場效應(yīng)和在波長距離上平均，即可由GEM中描述總能量和主動(dòng)能量流的方程導(dǎo)出經(jīng)典的能量流微分方程式(1)。

薄板結(jié)構(gòu)面內(nèi)縱波和剪切波的能量微分方程由Park等導(dǎo)出［25］，其形式與式(3)一致。由于縱波和剪切波的位移在運(yùn)動(dòng)方程中相互耦合，因此，與確立彎曲波的能量傳遞模型相比，面內(nèi)波能量傳遞模型的確立較為復(fù)雜。通過引入兩個(gè)勢函數(shù)使運(yùn)動(dòng)方程所描述的縱向運(yùn)動(dòng)和剪切運(yùn)動(dòng)解耦，分別導(dǎo)出縱波和剪切波的能量密度和功率流表達(dá)式并在一個(gè)波長的空間距離進(jìn)行局部平均，仍可以得到與式(4)一致的簡化功率流傳遞特性。

解妙霞等［26］導(dǎo)出了圓柱殼在軸對稱激勵(lì)下的彎曲振動(dòng)能量微分方程，由于激勵(lì)的對稱性，所考慮的圓柱殼彎曲運(yùn)動(dòng)屬一維問題，因而相應(yīng)的能量微分方程的形式和梁的彎曲振動(dòng)能量微分方程一致。

對于在垂直方向上具有不同剛度的正交各向異性板，Park等［27］導(dǎo)出了其彎曲波場的能量流分析方程:

式中:cgx和cgy為相互垂直方向上的彎曲波群速。當(dāng)考慮板為各向同性時(shí)，能量方程式(5)簡化為式(3)。正交各向異性板的功率流與能量密度關(guān)系為:

可見功率流與能量密度的梯度并不直接相關(guān)。

薄板彎曲波場能量方程式(3)是基于經(jīng)典的Kirchhoff板理論導(dǎo)出的，Kirchhoff板理論只用板中面的撓度描述板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而在高頻上彎曲板的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的效應(yīng)非常顯著，需用Mindlin板理論對其動(dòng)力狀態(tài)進(jìn)行描述，基于此，Park等［28］導(dǎo)出了均勻Mindlin板的彎曲振動(dòng)能量流分析方程。在Mindlin板的臨界頻率以下，板的彎曲振動(dòng)以撓曲效應(yīng)為主，其能量方程式與式(3)一致。在Mindlin板的臨界頻率以上，彎曲振動(dòng)板包含三種傳播波，即面外剪切波(Outof-plane shear wave)，撓曲主導(dǎo)彎曲波(Bending dominant flexural wave)和剪切主導(dǎo)彎曲波(Shear dominant flexural wave)，利用能量流分析理論的空間局部平均的思想，對這三種波場均可導(dǎo)出與式(3)形式一致的能量方程。

Yan［29］研究了能量流分析法在復(fù)合層板上的應(yīng)用，復(fù)合層板由多層正交各向異性板以不定向角度層疊而成。由于復(fù)合層板為各向異性，傳播波的群速呈現(xiàn)各向不同的特點(diǎn)，在假定結(jié)構(gòu)波場為平面波散射波場后，Yan導(dǎo)出了復(fù)合層板的彎曲、縱向及剪切波場的能量微分方程:

式中:α1，α2，β1和 β2與結(jié)構(gòu)剛度、頻率及波數(shù)有關(guān)。式(7)中，復(fù)合層板結(jié)構(gòu)的波場能量為兩部分能量之和，對其中的單一能量組分，均存在與之對應(yīng)的功率流組分，兩者間符合與式(4)一致的能量傳遞關(guān)系。

一般地，各種波場的能量流微分方程均利用有限元法求解，很多文獻(xiàn)把能量流分析方程的有限元求解方法稱為能量有限元分析(Energy finite element analysis，EFEA)。為簡化計(jì)算，Wang 等［30－32］提出用有限體元法求解能量流分析的基本方程，并稱之為零階能量有限元分析(EFEA0)。該方法的思路是用有限體元對連續(xù)能量場進(jìn)行離散，在單個(gè)體元空間上對能量方程進(jìn)行積分，同時(shí)用相鄰體元能量的差分代替能量對位置的導(dǎo)數(shù)，得到單個(gè)體元的能量平衡方程，這一過程消除了原方程中能量變量對位置的二階微分。Santos［77，78］等采用譜元法求解基本能量流分析方程，提出了能量譜有限元法(Energy spectral element method，ESEM)，該方法可給出能量分析方程的解析解，但適用性有限，很難用于幾何非均勻結(jié)構(gòu)和任意邊界條件等一般性問題。

2 耦合形式下能量流分析的應(yīng)用

工程實(shí)際中需進(jìn)行中高頻動(dòng)響應(yīng)分析的聲振系統(tǒng)一般都是較為復(fù)雜的耦合系統(tǒng)，可能包含不同子結(jié)構(gòu)間，或結(jié)構(gòu)與流體間的復(fù)雜耦合形式。在基本構(gòu)件的能量微分方程提出后，能量流分析法首先被用于一般的耦合結(jié)構(gòu)上，后又被用于處理結(jié)構(gòu)與流體(包括聲場與液體)間的耦合和其它更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)耦合形式上。

能量流分析法的基本變量是經(jīng)空間局部平均的能量密度，因而在耦合結(jié)構(gòu)交界面兩邊的能量密度不連續(xù)。能量流分析法提出后遇到的首要問題是不能將其有效地應(yīng)用于一般耦合結(jié)構(gòu)，在其發(fā)展初期的大多數(shù)應(yīng)用都只針對共線耦合梁等簡單耦合情況［16，24，33－34］。要將能量流分析法用于求解一般耦合結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵性問題將連接處的功率流傳遞特性與能量流分析的基本理論進(jìn)行結(jié)合?？紤]結(jié)構(gòu)間的耦合關(guān)系并將能量流分析法應(yīng)用于一般耦合結(jié)構(gòu)的方法由Cho等人提出［35－38］，具體過程就是將連接處各波場的能量密度和功率流均視為正負(fù)向傳播波的能量密度之和和功率流之差，再結(jié)合半無限耦合連接的功率傳遞系數(shù)，將連接處各耦合波場的能量密度與功率流聯(lián)系起來，從而使結(jié)構(gòu)耦合問題得以解決。

Bernhard等［39］總結(jié)了將能量流分析應(yīng)用于一般耦合結(jié)構(gòu)的具體方法，對一個(gè)復(fù)雜耦合板結(jié)構(gòu)的能量響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算以展示這種方法在處理實(shí)際復(fù)雜問題上的可行性。Vlahopoulos等［40］基于能量流分析法對復(fù)雜船體結(jié)構(gòu)的中高頻響應(yīng)進(jìn)行了預(yù)測。Klos對一個(gè)由不同材料組成的共面耦合板的能量響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算［41］。Borlase等［42］基于能量流分析法對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的阻尼分布進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到控制結(jié)構(gòu)某一部分振動(dòng)能量的目的。Park等［25］對兩塊耦合矩形板的能量響應(yīng)進(jìn)行求解，計(jì)算中考慮了面內(nèi)縱波、剪切波與彎曲波的相互耦合，結(jié)果表明，當(dāng)阻尼很大且分析頻率很高時(shí)，面內(nèi)波的能量響應(yīng)水平與彎曲波的能量響應(yīng)水平相當(dāng)。Zhang等［22－23］利用能量流分析法對一個(gè)潛艇結(jié)構(gòu)以及小型漁船的能量響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，并將結(jié)果與用致密有限元網(wǎng)格模型計(jì)算的響應(yīng)以及SEA的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，對于分析結(jié)構(gòu)的一些構(gòu)件，能量流分析法的結(jié)果與其它方法的預(yù)測結(jié)果比較吻合。曾勤謙等［43］利用能量流分析法對一個(gè)平面框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)預(yù)測。孫麗萍等［44－45］將能量流分析法用于船體基座的動(dòng)響應(yīng)計(jì)算。吳軼鋼基于零階能量有限元分析對加筋板的能量響應(yīng)進(jìn)行了求解［46］。

Cho等［35－38］提出的處理耦合結(jié)構(gòu)的方法雖然主要針對由相同結(jié)構(gòu)件組成的耦合系統(tǒng)(如僅由梁或板組成的耦合系統(tǒng))，但其反映了能量流分析法處理不同波場間耦合問題的一般原理，在其基礎(chǔ)上，很多學(xué)者作了不同方面的研究，以將能量流分析法的應(yīng)用拓展至更為一般的耦合形式。Seo等［47］研究了能量流分析法在通過梁連接的耦合板結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，并對一個(gè)含等距排列加強(qiáng)筋的矩形板的能量響應(yīng)進(jìn)行求解，與位移解的對比驗(yàn)證了方法的正確性。Vlahopoulos［48－50］將能量流分析法與周期結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合，對用周期布置的加強(qiáng)筋強(qiáng)化的潛艇結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了求解并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比。

為基于能量流分析法處理聲振耦合問題，Bitsie［51］首先導(dǎo)出了聲場的能量流分析方程，并在其基礎(chǔ)上導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)與聲場間的耦合關(guān)系。聲場的能量流分析方程與式(1)式(3)的形式相同，只是其位置矢量為空間三維矢量，聲場的功率流也相應(yīng)地為空間三維矢量。對于彎曲振動(dòng)平板與聲場間的耦合問題，當(dāng)頻率低于板的臨界聲輻射頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)－聲場的耦合關(guān)系對平板的作用表現(xiàn)為板上的有效面質(zhì)量和聲輻射阻尼因子，其中聲輻射阻尼因子是考慮到有限板的邊界聲輻射而引入的修正項(xiàng);當(dāng)頻率高于板的臨界聲輻射頻率時(shí)，該耦合關(guān)系對平板的作用表現(xiàn)為板上的輻射阻尼因子?？紤]了結(jié)構(gòu)－聲場耦合關(guān)系的結(jié)構(gòu)能量微分方程為:

式中，cg為板中彎曲波的群速，當(dāng)頻率低于臨界聲輻射頻率時(shí)，其值受到等效面質(zhì)量的影響，ηrad為結(jié)構(gòu)－聲場間的耦合作用導(dǎo)致的輻射阻尼因子，其表達(dá)式為:

結(jié)構(gòu)－聲場間的耦合問題還可利用基于能量流分析與能量邊界元分析的混合方法進(jìn)行處理［54－55］，對于由噪聲源引起的結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)，可以通過能量邊界元法的計(jì)算結(jié)果得到噪聲源作用于結(jié)構(gòu)的激勵(lì)，并由此根據(jù)能量流分析法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)。Dong等［56］基于該方法對聲振系統(tǒng)的振動(dòng)及噪聲對設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感度進(jìn)行研究，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，相關(guān)方法被用于汽車及船舶的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以使結(jié)構(gòu)的高頻噪聲達(dá)到最小。

Zhang等［22，57］研究了能量流分析法在與液體接觸的彎曲振動(dòng)板結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，與該方法在結(jié)構(gòu)－聲場耦合情況下的應(yīng)用相似，液體與結(jié)構(gòu)間的耦合作用也是根據(jù)頻率的不同以等效面質(zhì)量或等效輻射阻尼因子的方式對板的動(dòng)力特性產(chǎn)生影響，此種情況下，板的能量方程與式(8)相似。由于液體與板間的耦合作用會表現(xiàn)為板結(jié)構(gòu)上的等效面質(zhì)量，因此與板接觸的液體也會改變耦合板結(jié)構(gòu)連接的功率傳遞特性。此外，他們進(jìn)一步地將考慮了接觸流體作用的能量流分析法應(yīng)用在一些更復(fù)雜的耦合結(jié)構(gòu)上，即還同時(shí)考慮了周期排布加強(qiáng)筋或多塊板通過公共梁耦合的情況［58－59］，并將其用于預(yù)測與流體接觸的潛艇外殼的動(dòng)力響應(yīng)。

在一定的頻率范圍內(nèi)，實(shí)際耦合結(jié)構(gòu)的一部分子結(jié)構(gòu)可能只包含少數(shù)幾個(gè)波長(這些結(jié)構(gòu)件稱為短件或剛件)，而另一部分子結(jié)構(gòu)可能包含大量波長(這些結(jié)構(gòu)件稱為長件或柔件)?？紤]到這類結(jié)構(gòu)中的短件適合用基于位移的傳統(tǒng)有限元法求解，為預(yù)測整個(gè)耦合結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，Vlahopoulos等［60－62］提出了結(jié)合能量流分析與傳統(tǒng)有限元法的混合方法。該方法的主要思路是用動(dòng)力縮聚得到短件在邊界自由度上位移與力間的關(guān)系，再考慮力和位移的連續(xù)性條件將短件與長件進(jìn)行耦合。這種方法主要被用來對由短梁連接的兩根長梁這一共線耦合梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性進(jìn)行研究［60－61］。當(dāng)外載荷作用在長件上時(shí)，可以根據(jù)短件的動(dòng)力縮聚模型及邊界適應(yīng)性條件計(jì)算出連接短件的功率傳遞特性，依此功率傳遞特性用能量流分析法計(jì)算長件的能量響應(yīng)分布并由此確定短件邊界上的響應(yīng)，最后再計(jì)算短件的位移響應(yīng)。當(dāng)有激勵(lì)作用在短件上時(shí)［62］，短件自身的響應(yīng)會影響其所代表的連接的功率傳遞特性，因此需要根據(jù)邊界適應(yīng)性條件通過迭代來確定連接特性。這種方法后來被進(jìn)一步推廣應(yīng)用到平面復(fù)雜耦合梁結(jié)構(gòu)上［63］，并考慮了梁連接處彎曲波與縱波間的耦合。由于在計(jì)算短件連接的功率流傳遞特性需利用長件中傳播波的解析式，而實(shí)際中無法假定具有一般幾何特征的長件中傳播波的解析式，因此Vlahopoulos等人提出的這種方法局限于應(yīng)用在平面梁、桿耦合結(jié)構(gòu)上。

為解決一般的剛、柔件耦合結(jié)構(gòu)的響應(yīng)預(yù)測問題，利用模糊結(jié)構(gòu)理論的基本思想［64－66］，Hong 等［67］提出了另一種能量流分析/有限元混合方法。該方法以附加阻尼的方式反映柔件對剛件動(dòng)響應(yīng)的影響，其數(shù)值基于柔件在連接處的阻抗獲得。該方法具體過程是首先通過基于位移的傳統(tǒng)有限元法計(jì)算剛件的動(dòng)響應(yīng)并計(jì)算消耗在附加等效阻尼上的功率，以此作為柔件的輸入功率，再利用能量流分析法計(jì)算柔件上的能量密度分布。利用該方法，Hong等人對多個(gè)梁板組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。與Vlahopoulos等先前提出的混合方法相比［60－62］，這種方法具有更廣泛的適用性。

3 結(jié)構(gòu)的隨機(jī)能量流分析

能量流分析法提出后在很多實(shí)際問題中得到了應(yīng)用，但是大部分的研究及應(yīng)用都是針對結(jié)構(gòu)受單頻激勵(lì)的情形，這與能量流分析法的基本原理有關(guān)。在推導(dǎo)各種基本結(jié)構(gòu)件及聲場的能量流分析基本方程的過程中，均是在假定單頻激勵(lì)激發(fā)起單頻傳播波的情況下，得到了各波場的時(shí)間—空間平均功率流與能量密度間的簡明關(guān)系。實(shí)際結(jié)構(gòu)在中高頻上所受的激勵(lì)在很多情況下都是寬帶隨機(jī)激勵(lì)的形式，對于隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)預(yù)測過去，能量流分析法的應(yīng)用方式主要有兩種:① 按單頻激勵(lì)形式計(jì)算結(jié)構(gòu)在分析帶寬內(nèi)多個(gè)頻率點(diǎn)處的能量響應(yīng)再對響應(yīng)進(jìn)行頻率平均;②只在激勵(lì)帶寬的中心頻率上預(yù)測結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。然而，以上兩種有關(guān)能量流分析法處理隨機(jī)激勵(lì)情形的應(yīng)用在實(shí)質(zhì)上并沒有求解結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)，其計(jì)算結(jié)果并不反映結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的絕對響應(yīng)能量水平。

對于隨機(jī)激勵(lì)下能量流分析法的應(yīng)用，Han等［68－69］曾進(jìn)行過相關(guān)研究。他們導(dǎo)出了單根梁及單塊板在隨機(jī)激勵(lì)下能量密度的模態(tài)分析解析解，同時(shí)基于傳統(tǒng)的能量流分析法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，通過譜積分的方式得到平均能量密度，并主要對結(jié)構(gòu)在較低頻的一個(gè)頻段內(nèi)的結(jié)構(gòu)能量響應(yīng)進(jìn)行分析。Han等所給出的方法應(yīng)用屬于半經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，未經(jīng)嚴(yán)格的推導(dǎo)及證明，很少有后續(xù)相關(guān)研究及應(yīng)用。

通過考慮隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)能量方程中輸入功率的表達(dá)形式，游進(jìn)等［70－74］針對梁及板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)提出了能量流分析在隨機(jī)激勵(lì)下的應(yīng)用方法，并稱之為隨機(jī)能量流分析(Random energy flow analysis，REFA)。以彎曲振動(dòng)板為例，穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下，板的隨機(jī)能量流分析方程為:

式中，Πin(x，ω)為穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)的輸入功率譜，E的物理意義為結(jié)構(gòu)能量密度響應(yīng)譜的空間局部平均值［74］。相應(yīng)的平均能量密度及功率流分別按以下兩式計(jì)算:

隨機(jī)能量流分析方程(10)建立了結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的能量密度響應(yīng)譜與激勵(lì)輸入功率譜間的關(guān)系，其相應(yīng)的平均能量密度及功率流均需通過對譜進(jìn)行積分得到(即式(11)、式(12))，這是其應(yīng)用上與傳統(tǒng)能量流分析法處理單頻激勵(lì)情形的不同之處。此外，由于隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是非確定性響應(yīng)，因此隨機(jī)能量流分析法的計(jì)算結(jié)果反映的是結(jié)構(gòu)隨機(jī)能量響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均值。

隨機(jī)能量流分析法提出后被用于計(jì)算受隨機(jī)激勵(lì)的平面框架結(jié)構(gòu)［70］、空間框架結(jié)構(gòu)［71］及耦合板結(jié)構(gòu)［72－73］的能量響應(yīng)及功率流。游進(jìn)等［75］將隨機(jī)能量流分析法用于計(jì)算受隨機(jī)激勵(lì)的單根梁的能量密度和功率流，并通過與模態(tài)分析精確解進(jìn)行對比，表明分析頻帶所包含的模態(tài)數(shù)而非常寬是影響該方法預(yù)測精度的重要因素，在分析頻帶模態(tài)數(shù)足夠大的情況下，該方法可以在廣闊的頻率范圍上有效預(yù)測單系統(tǒng)的能量密度及功率流。

能量流分析和SEA都是基于能量的動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測方法，兩種方法間必然存在一定的聯(lián)系。SEA由于采用的是受獨(dú)立噪聲激勵(lì)的線性保守耦合振子的功率傳遞模型［3］，且由于其所采用的基本假設(shè)的關(guān)系，適于求解受非相關(guān)隨機(jī)激勵(lì)的耦合結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)［4］，其求解結(jié)果反映的是耦合結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。傳統(tǒng)的能量流分析法主要用于計(jì)算單頻激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)，因此在過去的研究中，兩種方法間并未建立起直接聯(lián)系，兩種方法計(jì)算結(jié)果的對比從未直接針對子系統(tǒng)的能量響應(yīng)，而是間接地針對不同子系統(tǒng)響應(yīng)能量的比值［23，40，57，76］?？紤]到隨機(jī)能量流分析可計(jì)算耦合結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的能量響應(yīng)，游進(jìn)等［74］以耦合梁結(jié)構(gòu)為模型建立了隨機(jī)能量流分析與SEA間關(guān)于能量和功率流變量間的直接關(guān)系。

隨機(jī)能量流分析與SEA雖分別從波及模態(tài)的角度定義各自的子系統(tǒng)，但它們所定義的子系統(tǒng)從本質(zhì)上是一致的，若用兩種方法對同一耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，則對相同的子系統(tǒng)，兩種方法預(yù)測的子系統(tǒng)總能量應(yīng)近似相等，即:

隨機(jī)能量流分析與SEA所描述的子系統(tǒng)間功率流的不同點(diǎn)體現(xiàn)在兩點(diǎn)上:① SEA是集總參數(shù)方法，其計(jì)算的功率流為集總參數(shù)，隨機(jī)能量流分析建立分布式模型，可以預(yù)測功率流在子系統(tǒng)內(nèi)的分布，而只有子系統(tǒng)邊界上的功率流直接反映了耦合子系統(tǒng)間的功率傳遞作用;② SEA與隨機(jī)能量流描述的子系統(tǒng)間功率流的方式有所不同:SEA處理的是任意一對耦合子系統(tǒng)間的功率流，隨機(jī)能量流分析只給出流入或流出某個(gè)子系統(tǒng)的功率流而不區(qū)分流入功率的來源和流出功率流的接受源。

圖1 平面耦合梁結(jié)構(gòu)Fig.1 Planar beam junction

圖2 功率流模型Fig.2 Energy flow models

隨機(jī)能量流分析與SEA間關(guān)于功率流變量間的關(guān)系可以平面耦合梁(如圖1)為模型進(jìn)行說明。該耦合結(jié)構(gòu)包含彎曲波與縱波間的耦合，以子系統(tǒng)1和2代表梁I的彎曲波和縱波子系統(tǒng)，以子系統(tǒng)3和4代表梁II的彎曲波和縱波子系統(tǒng)，則隨機(jī)能量流分析和SEA所采用的功率流模型如圖2所示。圖中Pi?j是SEA計(jì)算的子系統(tǒng)i與j間功率流的大小。qi是隨機(jī)能量流分析法預(yù)測的子系統(tǒng)i在其與其它子系統(tǒng)耦合邊界上的功率流。根據(jù)圖2，可得到兩種方法預(yù)測的子系統(tǒng)間功率流的關(guān)系為:

式(13)、式(14)反映了隨機(jī)能量流分析和SEA所定義的響應(yīng)能量及功率流變量的不同點(diǎn)，同時(shí)也建立了兩種方法關(guān)于能量和功率流變量間的直接關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是將兩種方法從研究變量的角度進(jìn)行統(tǒng)一?；诖耍瑢τ谌我馐茈S機(jī)激勵(lì)的耦合結(jié)構(gòu)，可對兩種方法計(jì)算的能量響應(yīng)和功率流進(jìn)行直接對比分析。

此外，文獻(xiàn)［71］針對一維結(jié)構(gòu)的功率流特性指出，隨機(jī)能量流分析反映的彎曲波場功率流特性與SEA中的耦合振子間的功率流特性是相似的，而前者所反映的縱波場及扭轉(zhuǎn)波場的功率流特性則無法由后者所采用的耦合振子功率流特性表達(dá)。

4 結(jié)論

經(jīng)過二十多年的發(fā)展，能量流分析的相關(guān)研究獲得了較大進(jìn)展。基本結(jié)構(gòu)件及一些復(fù)合結(jié)構(gòu)的各種波場及聲場的能量流分析基本方程已被建立起來。對于聲振耦合系統(tǒng)，能量流分析法不僅可用于存在不同波場間耦合的復(fù)雜耦合結(jié)構(gòu)上，而且可以預(yù)測結(jié)構(gòu)－流體耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，還可與其它方法相結(jié)合以處理一些具體的復(fù)雜耦合問題，體現(xiàn)出能量流分析法良好的適用性。此外，隨機(jī)能量流分析法解決了隨機(jī)激勵(lì)下聲振系統(tǒng)能量密度響應(yīng)及功率流的計(jì)算問題，同時(shí)，隨機(jī)能量流分析與經(jīng)典SEA間的區(qū)別和理論關(guān)聯(lián)也在一定程度上得到確認(rèn)。目前，能量流分析理論的一個(gè)不足是方法特性研究還不夠深入完善，需要進(jìn)一步系統(tǒng)研究影響方法使用范圍和預(yù)測精度的各種因素，以便于方法的廣泛應(yīng)用。

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