基于壓控電荷源和小波變換自適應(yīng)算法的主－被動(dòng)壓電振動(dòng)控制

馬小陸，裘進(jìn)浩，季宏麗，李生權(quán)

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016;2.安徽工業(yè)大學(xué) 電氣信息學(xué)院，馬鞍山 243002)

壓電材料作為一種智能材料，以其良好的機(jī)電耦合特性，在智能結(jié)構(gòu)中不僅同時(shí)具有傳感和控制功能，還具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)緊湊、可靠性高和頻率響應(yīng)好等特點(diǎn)，在現(xiàn)代振動(dòng)控制中得到了廣泛的應(yīng)用。特別在航空航天、土木工程、汽車(chē)行業(yè)等對(duì)振動(dòng)控制要求較高的場(chǎng)合與領(lǐng)域受到越來(lái)越多的關(guān)注［1－3］。目前在壓電振動(dòng)控制系統(tǒng)中，主要有被動(dòng)、主動(dòng)控制二大類(lèi)。被動(dòng)控制方法是利用壓電材料的正壓電效應(yīng)，將結(jié)構(gòu)振動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，再通過(guò)一個(gè)外接的電阻或電阻電感電路，將電能轉(zhuǎn)化為電阻上消耗的熱能，從而產(chǎn)生壓電分流阻尼，起到抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的目的。這種基于RL壓電分流阻尼技術(shù)是由Forward在1979年最早提出，Hagood等［4－6］對(duì)其進(jìn)行了里程碑式的定量分析，目前眾多學(xué)者對(duì)此展開(kāi)了研究。基于RL壓電分流阻尼振動(dòng)控制不需要復(fù)雜的電路，也不需要功率放大器，因此控制系統(tǒng)體積小、重量輕。但是這種方法存在的問(wèn)題是系統(tǒng)魯棒性差，阻尼效果會(huì)隨著結(jié)構(gòu)共振頻率的變化而變差，而在工程實(shí)際中，結(jié)構(gòu)共振頻率不可避免受到外界因素的影響，且隨被控模態(tài)數(shù)量的增加，被動(dòng)控制電路復(fù)雜度增加，這就給RL壓電分流阻尼振動(dòng)控制系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了很大的困難［7－8］。壓電主動(dòng)控制是以現(xiàn)代控制理論為主要工具，以壓電材料作為受控結(jié)構(gòu)的傳感器和作動(dòng)器，由壓電傳感器采集振動(dòng)數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理后輸出控制信號(hào)，由壓電驅(qū)動(dòng)器對(duì)受控系統(tǒng)主動(dòng)輸入外部的控制能量，使受控振動(dòng)響應(yīng)與原振動(dòng)響應(yīng)相抵消，主動(dòng)控制方法可以根據(jù)系統(tǒng)的需求采用不同的控制算法，當(dāng)被控結(jié)構(gòu)本身或運(yùn)行環(huán)境發(fā)生改變時(shí)，可以在線調(diào)整控制參數(shù)，靈活性好，相對(duì)于被動(dòng)控制而言，主動(dòng)控制通常具有更高的性能，更好的減振效果。然而主動(dòng)控制通常需要較高的輸入功率，且存在潛在的不穩(wěn)定性、魯棒性差［9－10］。

基于上述原因，將主動(dòng)控制和被動(dòng)控制相結(jié)合無(wú)疑是一種好的方法。主－被動(dòng)控制方法是將主動(dòng)控制和被動(dòng)控制有機(jī)地結(jié)合在一起。本文提出的基于壓控電荷源和小波變換自適應(yīng)算法的主－被動(dòng)壓電振動(dòng)控制系統(tǒng)框圖如圖1所示，傳感器將被控結(jié)構(gòu)的振動(dòng)信息反饋到小波變換域LMS控制器中，控制器發(fā)出主動(dòng)控制信號(hào)驅(qū)動(dòng)壓控電荷源電路，對(duì)被控結(jié)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行被動(dòng)控制。這種控制方法即具有被動(dòng)控制穩(wěn)定性好、功率需求低的優(yōu)點(diǎn)，又具有主動(dòng)控制高性能的特點(diǎn)。在以下各節(jié)中，給出了主－被動(dòng)的控制原理，根據(jù)壓電元件等效電路的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了壓控電荷源的電路，基于dSPACE實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)，對(duì)四邊固支的壓電合金板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了正弦信號(hào)激勵(lì)下的單/多模態(tài)和白噪聲信號(hào)激勵(lì)下的振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果證明了提出的方法的可行性和優(yōu)越性。

圖1 主－被動(dòng)壓電振動(dòng)控制系統(tǒng)框圖Fig.1 The block diagram of active-passive piezoelectric vibration control system

1 主－被動(dòng)控制原理

圖1所示的主－被動(dòng)壓電振動(dòng)控制系統(tǒng)的等效電路可用圖2表示:

圖2 主－被動(dòng)壓電振動(dòng)控制系統(tǒng)等效電路Fig.2 The electrical equivalent of active-passive piezoelectric vibration control system

圖2中，由運(yùn)放的虛短可知:

壓控電荷源的表達(dá)式為:

可見(jiàn)，此壓控電荷源可看作一個(gè)可變負(fù)電容構(gòu)造電路，其輸入是可變電壓Vc，輸出則是隨輸入Vc而變的電荷Qc。因此，可假設(shè)圖2所示的壓控電荷源等效的可變負(fù)電容值為－Cr。

利用哈密頓原理(Hamilton’s Principle)可以推出圖2所示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型［11－12］如下:

其中:式(3)為被控結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，M，C，K分別為結(jié)構(gòu)的廣義質(zhì)量矩陣(被控結(jié)構(gòu)和壓電元件的質(zhì)量之和)、廣義阻尼矩陣及廣義剛度矩陣(被控結(jié)構(gòu)和壓電元件的剛度之和)，q為廣義位移矩陣，F(xiàn)m為結(jié)構(gòu)所受的外部廣義激勵(lì)力;式(4)為壓電分支電路的數(shù)學(xué)模型，Cr，Cp分別為等效可變負(fù)電容值和壓電元件的等效電容值，Q為壓電元件上的電荷;Kc為被控結(jié)構(gòu)與分支電路之間的機(jī)電耦合矩陣。

對(duì)式(3)和式(4)兩邊進(jìn)行拉氏變換，并令K1=1/Cp－1/Cr，得:

將上述定義代入式(5)得:

由式(7)可見(jiàn)，不同廣義機(jī)電耦合系數(shù)ξ下，壓電振動(dòng)控制系統(tǒng)衰減性能不同。廣義機(jī)電耦合系數(shù)ξ越大(即等效可變負(fù)電容值－Cr越接近壓電片的固有電容Cp)時(shí)，壓電振動(dòng)控制系統(tǒng)的衰減性能越好。

可見(jiàn)，只要選擇合適的壓控電荷源的輸入電壓Vc，即可得到不同的等效可變負(fù)電容－Vr的值，則可以對(duì)被控對(duì)象的振動(dòng)進(jìn)行有效的抑制。

2 控制電壓Vc的調(diào)節(jié)

為了更好地調(diào)節(jié)壓控電荷源的控制電壓，本文采用小波變換域LMS控制器。其原理圖如圖3所示。小波變換的方法是對(duì)自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)進(jìn)行正交變換將輸入向量正交分解到多尺度空間，利用小波的時(shí)頻局部特性可以減小輸入向量自相關(guān)陣的相關(guān)性，大大增加了算法的收斂步長(zhǎng)，從而提高LMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)性能。

圖3 小波變換域LMS算法設(shè)計(jì)的控制器示意圖Fig.3 The controller schematic of the LMS algorithm in wavelet transform

圖3中，Vs(n)為圖1中的傳感信號(hào)，Vc(n)為壓控電荷源的控制電壓信號(hào)，d(n)為參考信號(hào)，e(n)為偏差信號(hào)，rj(m){m=0，1，…，N －1}為小波濾波器，vj(n){n=0，1，…，N －1}為小波變換后的信號(hào)，WJ(n)=［w0(n)，w1(n)，…，wJ－1(n)］為自適應(yīng)濾波器系數(shù)，其中:

式(8)為輸入信號(hào)向量Vs(n)與濾波器rj(m){m=0，1，…，N －1}的離散卷積形式。

因此壓控電荷源的控制電壓為:

自適應(yīng)濾波器權(quán)值更新公式為:

其中μ為收斂步長(zhǎng)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 控制系統(tǒng)和實(shí)驗(yàn)裝置

為了驗(yàn)證所提出的主－被動(dòng)控制方法的有效性，建立了圖4所示的壓電智能合金薄板結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)裝置圖。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.4 Physical photo of the experimental apparatus

合金板的外型尺寸及壓電片的粘貼方案如圖5所示，薄板和壓電片的厚度均約為1mm。實(shí)驗(yàn)前利用MSC.Nastran結(jié)構(gòu)分析軟件對(duì)薄板進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算出薄板各階固有頻率大小及相應(yīng)的應(yīng)變最大位置，經(jīng)模態(tài)分析知，壓電片1貼于第一階模態(tài)的應(yīng)變最大位置;PZT5和PZT6分別粘貼在能同時(shí)感應(yīng)到前三階振動(dòng)的位置上，在薄板的下表面與PZT5相對(duì)應(yīng)的位置上，粘貼一塊壓電片PZT7，其目的也是為了使PZT7能同時(shí)感應(yīng)前三階振動(dòng)。壓電片尺寸為30×30×1(mm)。

圖5 壓電薄板外形及壓電片粘貼方案Fig.5 The piezoelectric thin plate shape and PZT paste program

薄板的前三階的共振頻率分別為 73.66 Hz、114.10 Hz、240.5 Hz。對(duì)于多模態(tài)控制，其實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖6所示，激勵(lì)信號(hào)選用頻率與薄板前三階共振頻率相同的正弦信號(hào)的組合，信號(hào)經(jīng)dSPACE1104的D/A輸出至功放，功放輸出信號(hào)連接PZT5激勵(lì)四周固支薄板的振動(dòng)。壓電片7的傳感信號(hào)經(jīng)濾波后輸入經(jīng)dSPACE1104的 A/D輸入至控制器，控制器輸出經(jīng)dSPACE的D/A端口連接至壓控電荷源電路，電荷源的輸出連接至壓電片6，用于控制薄板的振動(dòng)，壓控電荷源電路中電容Cs為1微法，運(yùn)算放大器選用LM356。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.6 The schematic diagram of experimental apparatus

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

為驗(yàn)證所提出主－被動(dòng)控制方法的有效性，被動(dòng)控制的壓控電荷源電路不變，進(jìn)行了如下三種情況的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)中，小波變換域LMS控制算法采用的db4小波，算法在Matlab中用S-Function C代碼實(shí)現(xiàn)的，并且采用了MALLAT快速算法，提高了系統(tǒng)快速性，小波變換域LMS的收斂系數(shù)、濾波器波長(zhǎng)和濾波器初始權(quán)值分別為0.01、32和0。

實(shí)驗(yàn)一:單模態(tài)振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)

單模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)，激勵(lì)信號(hào)選用頻率與需要控制的模態(tài)共振頻率相等的正弦信號(hào)，經(jīng)dSPACE1104的D/A口輸出至功放，功放輸出信號(hào)連接PZT5激勵(lì)四周固支薄板的振動(dòng)，對(duì)于一階模態(tài)控制，壓電片7將傳感信號(hào)經(jīng)dSPACE1104的AD輸入至小波變換域自適應(yīng)控制算法的輸入口，控制算法輸出經(jīng)dSPACE1104的DA輸出至壓控電荷放大器電路的輸入端，壓控電荷放大器電路的輸出端連接至壓電片1用于控制薄板的一階振動(dòng)，一階模態(tài)控制實(shí)驗(yàn)如圖7所示。

圖7 一階模態(tài)控制效果圖Fig.7 The control effect diagram of first mode

實(shí)驗(yàn)中壓電片6的信號(hào)被采集到dSPACE中用來(lái)觀察控制前后的振動(dòng)幅值，圖7(a)橫軸和縱軸分別表示時(shí)間和振動(dòng)的幅值，圖7(b)橫軸和縱軸分別表示頻率和振動(dòng)的幅值。

從圖7看出，利用壓控電荷放大器和小波變換自適應(yīng)算法的主－被動(dòng)方法對(duì)四周固支的合金板進(jìn)行單模態(tài)振動(dòng)控制時(shí)，其一階的振動(dòng)幅值降低了7.36 dB。

實(shí)驗(yàn)二:多模態(tài)振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)

激勵(lì)信號(hào)選用頻率與薄板前三階共振頻率相同的正弦信號(hào)的組合，連接圖如圖6所示，多模態(tài)的振動(dòng)控制效果，如圖8所示。

圖8 多模態(tài)控制效果圖Fig.8 The control effect diagram of multimode

從圖8可以看出，運(yùn)用此主－被動(dòng)控制方法對(duì)系統(tǒng)多模態(tài)振動(dòng)進(jìn)行控制時(shí)，一階模態(tài)的振動(dòng)幅值降低了4.96 dB，二階模態(tài)的振動(dòng)幅值降低了10.71 dB，三階模態(tài)的振動(dòng)幅值降低了10.86 dB，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)的多模態(tài)振動(dòng)的有效控制。

實(shí)驗(yàn)三:白噪聲信號(hào)激勵(lì)下的振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)

在dSPACE仿真平臺(tái)中，激勵(lì)信號(hào)采用白噪聲信號(hào)，PZT5作激勵(lì)，壓電片7作傳感，壓電片6作控制，其控制效果如圖9所示。

從圖9看出，此主－被動(dòng)控制方法能夠有效地抑制因白噪聲信號(hào)引起的隨機(jī)振動(dòng)。

綜合實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)二和實(shí)驗(yàn)三可見(jiàn)，盡管激勵(lì)信號(hào)變得越來(lái)越復(fù)雜，但基于壓控電荷源和小波變換自適應(yīng)算法的主－被動(dòng)壓電振動(dòng)控制方法，在控制系統(tǒng)中被動(dòng)控制電路不變和主動(dòng)控制不需要功率放大器的條件下，都能夠有效地抑制系統(tǒng)的振動(dòng)。

圖9 白噪聲信號(hào)激勵(lì)下控制前后響應(yīng)的頻譜圖對(duì)比Fig.9 The comparison of control spectrum responses with and without control force under the white noise excitation

4 結(jié)論

壓電被動(dòng)振動(dòng)方法中，分支電路元件參數(shù)對(duì)環(huán)境變化敏感，且隨被控模態(tài)數(shù)量的增加，分支電路復(fù)雜度增加;壓電主動(dòng)振動(dòng)方法需要較高的輸入功率。針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出了一種基于壓控電荷源和小波變換自適應(yīng)算法的振動(dòng)主－被動(dòng)控制策略。根據(jù)壓電片等效電路的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了壓控電荷源電路，推導(dǎo)了主－被控制方法的控制理論;對(duì)于壓控電荷源的控制電壓調(diào)節(jié)，采用小波變換自適應(yīng)算法，提高了系統(tǒng)的自適應(yīng)能力。幾種不同外界條件激勵(lì)情況的主－被動(dòng)振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，提出的方法能夠有效的抑制壓電合金板結(jié)構(gòu)由于正弦激勵(lì)引起的單模態(tài)和多模態(tài)引起的振動(dòng)，且能有效抑制白噪聲激勵(lì)引起的隨機(jī)振動(dòng)。該控制方法具有如下特點(diǎn):

(1)壓控電荷源的控制電壓采用小波變換自適應(yīng)算法調(diào)節(jié)，系統(tǒng)的自適應(yīng)和抗環(huán)境干擾能力強(qiáng);

(2)相比主動(dòng)控制方法，無(wú)需控制功放，系統(tǒng)輕便。

［1］Poulin K C，Vaicaitis R.Vibrations of stiffened composite panels with smart materials［J］.Journal of Vibration and Acoustics-transactions of the ASME，2004，126(3):370－379.

［2］Balamurugan V，Narayanan S.Finite element modeling of stiffened piezolaminated plates and shells with piezoelectric layers for active vibration control［J］.Smart Materials and Structures，2010，19:1 －21.

［3］ Carra S，Amabili M，Ohayon R，et al.Active vibration control of a thin rectangular palat in air or in contact with water in presence of tonal primary disturbance［J］.Aerospace Science And Technology，2008，12(1):54 －61.

［4］ Lin Y J，Venna S V.A novel method for piezoelectric transducers placementfor passive vibration controlof geometrically non-linear structures［J］.Sensor Review，2008，28(3):233－241.

［5］Porfiri M，dell'Isola F，Santini E.Modeling and design of passive electric networks interconnecting piezoelectric transducers for distributed vibration control［J］.International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics，2005，21(2):69－87.

［6］Hagood N W，von Flotow A.Damping of structural vibrations with piezoelectric materials and passive electrical networks［J］.Journal of Sound and Vibration，1991，146(2):243－268.

［7］Hollkamp J J.Multimodal passive vibration suppression with piezoelectric materials and resonant shunts［J］.Journal of Intelligent Material Systmes and Structures，1994，5(1):49－57.

［8］Behrens S，Moheimani S O R，F(xiàn)leming A J.Multiple mode current flowing passive piezoelectric shunt controller［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，266(5):929 －942.

［9］ Xue X，Tang J.Vibration control of nonlinear rotating beam using piezoelectric actuator and sliding mode approach［J］.Journal of Vibration and Control，2008，14(6):885 －908.

［10］Qiu J H，Masakazu H.Vibration control of a plate using a self-sensing piezoelectric actuator and an adaptive control approach［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2006，17(8－9):661－669.

［11］Morgan R A，Wang K W.An active-passive piezoelectric absorber forstructuralvibration controlunderharmonic excitationswith time-varying frequency，Part 1:algorithm development and analysis［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2002，124(1):77－89.

［12］ Tsai M S，Wang K W.On the structural damping characteristics of active piezoelectric actuators with passive shunt［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，221(1):1 －22.

［13］ Tang J，Wang K W.Active-passive hybrid piezoelectric networks for vibration control:comparisons and improvement［J］.Smart Materials and Structures，2001，10(4):794－806.