隨機變量部分和之和的Lr收斂性

趙麗媛，王文勝，伊艷娟

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

隨機變量部分和之和的Lr收斂性

趙麗媛，王文勝，伊艷娟

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310036）

利用截尾和矩不等式方法，研究在剩余Cesàroα可積條件下NA序列部分和之和的Lr（1≤r＜2）收斂性和φ混合序列部分和之和的Lr（r＞2）收斂性，推廣和改進(jìn)了一些已有的結(jié)果.

剩余Cesàroα可積；Lr收斂性；NA序列；φ混合序列；部分和之和

0 引 言

對隨機變量序列｛Xi；i≥1｝，記S，稱Xi的部分和；，稱為Xi的部分和之和；則對每個自然數(shù)n顯然有T＊n＋Tn＝（n＋1）Sn.

隨機變量“部分和之和”的極限理論，是Resnick［1］和Arnold等［2］在研究記錄值的極限理論時發(fā)現(xiàn)的.在實際問題如隨機游動、破產(chǎn)理論及時間序列理論中均有必要研究“部分和之和”.基于此，文獻(xiàn)［3－4］分別研究了獨立同分布隨機變量列“部分和之和”的強、弱大數(shù)定律和中心極限定理，得到了部分和之和與部分和有一致的收斂條件.

近年，T.K.Chandra等提出了剩余Cesàroα一致可積和r階剩余Cesàroα一致可積的概念.

定義1［5］設(shè)α＞0，隨機變量序列｛Xn，n≥1｝被稱為Cesàroα一致可積，如果下面兩個條件成立：

定義2 設(shè)α＞0，隨機變量序列｛Xn，n≥1｝被稱為剩余Cesàroα一致可積，如果下面兩個條件成立：致可積要弱.

定義3 對于α∈（0，∞），r∈（0，∞）稱隨機變量是r階剩余Cesàroα一致可積，若滿足

文獻(xiàn)［5］研究了在剩余Cesàroα可積下隨機變量部分和的Lr（0＜r＜1）收斂性，本文研究了在剩余Cesàroα可積條件下NA序列部分和之和的Lr（1≤r＜2）收斂性和φ混合序列部分和之和的Lr（r＞2）收斂性，得到了部分和之和與部分和有一致的收斂條件.

定義4［6］稱隨機變量X1，X2，…，Xn，n≥2是負(fù)相關(guān)（Negatively Associated，下簡記為NA）的，若對｛1，2，…，n｝的任意兩個非空不交子集均有

其中fi，i＝1，2是使上述協(xié)方差存在的且對每個變元均非降（或均非升）的函數(shù).

稱隨機變量｛Xn；n≥1｝是NA列，如果對任意n≥2，X1，X2，…，Xn是NA的.

定義5［7］設(shè)｛Xn；n≥1｝是隨機變量序列，記

其中n≥0.若當(dāng)n→∞時，φ（n）→0；則稱｛Xn；n≥1｝是φ －混合隨機變量序列.

引理1［6］設(shè)｛Xn；n≥1｝是NA的，?n≥2，A1，A2，…，An是集合｛1，2，…，n｝的兩兩不交的非空子集.記ai＝＃（Ai），即為Ai中元素個數(shù)，如果fi：Rai→R，i＝1，2，…，m是對每個變元都非降（或同為對每個變元都非升）的函數(shù)，則f1（Xj；j∈A1），…，fm（Xj；j∈Am）是NA的.

引理2［8］設(shè)｛Xn；n≥1｝是NA序列，EXi＝0，1≤q≤2，E Xiq＜∞，i∈N，則存在僅依賴于q的正常數(shù)C，使

1 主要結(jié)論及其證明

定理3得證.

［1］Resnick S L.Limit laws for record values［J］.Stochastic Processes and Their Applications，1973，1（1）：67－82.

［2］Arnold B C，Villasenor J A.The asymptotic distributions of sums of records［J］.Extremes，1988，1（3）：351－363.

［3］江濤，蘇淳，唐啟鶴.I.I.D隨機變量部分和之隨機和的極限定理［J］.中國科技大學(xué)學(xué)報，2001，31（4）：394－399.

［4］江濤，林日其.I.I.D隨機變量部分和之和的極限定理［J］.淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2002，22（2）：73－75.

［5］Chandra T K，Goswami A.Cesàroα－integrability and laws of large numbers：II［J］.Theoret Probab，2006，19（4）：789－816.

［6］Joag－Dev K，Proschan F.Negative association of random variables with applications［J］.Ann Statist，1983，11（1）：286－295.

［7］Dobrushin R L.The central limit theorem for non－stationary markov chain［J］.Probab Theory Appl，1956（1）：72－88.

［8］楊善朝.隨機變量部分和的矩不等式［J］.中國科學(xué)，2000，30（3）：218－223.

［9］楊善朝.混合序列加權(quán)和的強收斂性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1995，15（3）：254－265.

LrConvergence of the Sum of Partial Sum of Random Variables

ZHAO Li－yuan，WANG Wen－sheng，YI Yan－juan
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Using the means inequality and truncated method.the paper discussed the Lr（1≤r＜2）convergence of the sum of partial sum of NA sequences under the condition of residualαintegrability and the Lr（r＞2）convergence for the sum of partial sum ofφmixing－sequences.The results have extended and improved some existed results.

residual Cesàroαintegrability；Lrconvergence；NA sequences；φmixing－sequences；the sum of partial sum

O211.4 MSC2010：60F15

A

1674－232X（2012）03－0255－04

10.3969／j.issn.1674－232X.2012.03.013

2011－10－03

王文勝（1970—），男，教授，博士，主要從事概率極限理論研究.E－mail：wswang＠stat.ecnu.edu.cn