調和映照的Landau定理

李東征，陳行堤

（華僑大學數(shù)學科學學院，福建泉州362021）

調和映照的Landau定理

李東征，陳行堤

（華僑大學數(shù)學科學學院，福建泉州362021）

研究調和映照的Landau定理和單葉性半徑估計問題，結合有界單葉函數(shù)的Koebe定理和調和映照的Schwarz引理，得到Landau常數(shù)的漸進精確表示，改進了陳懷惠等近期的研究結果.

調和映照；Landau定理；Bloch常數(shù)；單葉函數(shù)

1 預備知識

單連通區(qū)域Ω?C內的C2復值函數(shù)f（z）被稱為調和的，當且僅當它滿足由文獻［1］可知，存在Ω上兩個解析函數(shù)h（z）與g（z），使得f＝h＋gˉ.

記Λf（z）＝max｜fz（z）＋e－2iθfzˉ（z）｜＝｜fz（z）｜＋｜fzˉ（z）｜＝｜h′｜＋｜g′｜和λf（z）＝min｜fz（z）＋

0≤θ≤2π0≤θ≤2πe－2iθfzˉ（z）｜＝｜｜fz（z）｜－｜fzˉ（z）｜｜＝｜｜h′｜｜g′｜｜.根據(jù)Schwarz引理［2］，如果單位圓盤D＝｛z｜｜z｜＜1｝上的解析函數(shù)f（z）滿足f（0）＝0，｜f（z）｜＜1，則有｜f′（0）｜≤1，且等號成立當且僅當f（z）＝eiαz，其中α為實常數(shù).即如果｜f′（0）｜＝1，則f（z）在單位圓盤上都單葉且其單葉像圓盤半徑為1.Landau［3］對｜f′（0）｜＝α，0＜α＜1的情形進行了研究，得到如下定理.

定理A［3］若f（z）為單位圓盤D上的解析函數(shù)，滿足f（0）＝0，｜f（z）｜＜1，z∈D，｜f′（0）｜＝α＞0，則f（z）在圓盤Dr0上單葉，且f（Dr0）包含一個圓盤

文獻［1，4－6］在有界像域和有界偏導數(shù)的兩種規(guī)范條件下，展開了Landau定理在調和映照類中的推廣研究；而在其他類中的推廣研究也有不少成果［7－11］.

定理B［4］如果f（z）為單位圓盤D上的保向調和映照，且滿足fz（0）＝α＞0，f（0）＝0，fˉz（0）＝0，｜f（z）｜＜1，z∈D，那么f（z）在某一包含原點的區(qū)域上單葉，其像區(qū)域包含一個以原點為圓心，R0為半徑的圓盤.其中

在定理B中，未給出f（z）的單葉圓盤半徑的估計.針對調和映照的單葉圓盤和單葉像圓盤的半徑估計的兩個問題，借助有界單葉函數(shù)的Koebe定理和調和映照的Schwarz引理［12－13］，可得到

定理1 如果D上的保向調和映照f（z）滿足f（0）＝0，fz（0）＝α＞0，g（z）＝bmzm＋bm＋1zm＋1＋…（bm≠0，m≥2），｜f（z）｜＜1，則f（z）在圓盤Dr上單葉，且f（z）的單葉像區(qū)域包含一個以原點為中心，R1為半徑的圓盤，R1＝（1－r0m－1）R″.

當2≤m≤3時，有

其中：b為小于1的正常數(shù).

將定理1中的條件｜f（z）｜＜1換為其解析部分h（z），滿足｜h（z）｜＜1，得到

定理2 若D上保向有界調和映照f（z）滿足f（0）＝0，fz（0）＝α＞0，g（z）＝bmzm＋bm＋1zm＋1＋…（m≥2），｜h（z）｜＜1，則f（z）存在單葉圓盤Dr，且f（z）的單葉像區(qū)域包含DR.其中：r≥

要實現(xiàn)掘進機定向掘進，需要實時修正掘進機機身位姿，即需要建立掘進機機身空間位姿計算模型。假設巷道理想測量坐標系為OcXcYcZc，OcXc軸與巷道設計中線重合，指向巷道斷面，OcZc軸指向巷道頂板，巷道底板平面由XcOcYc平面構成。掘進機機身坐標系位姿變化時，機身坐標系O0X0Y0Z0由測量坐標系OcXcYcZc經過3個旋轉和1個平移變換得到。設掘進機的機身航向角為δ、機身俯仰角為φ和機身橫滾角為γ，機身沿著X、Y和Z方向平移分別為PX、PY和PZ，則掘進機相對于測量坐標系的機身位姿T計算模型見式(4)。

近年來，對于局部單葉調和映照的單葉性問題（比如Landau定理、Bloch常數(shù)）的研究已有很多.在h（z）為單葉的條件下，對于f（z）的單葉性問題也開始被研究［14－15］.本文給出了一個在h（z）為單葉的條件下，f（z）的單葉圓盤及像區(qū)域單葉圓盤的半徑估計.

定理3中的估計R漸近精確于經典Koebe定理的結果.

2 引理及其證明

引理A［7］設f（z）為單位圓盤到自身的調和映照，則sup（1－｜z｜2）（｜h′（z）｜＋｜g′（z）｜）≤.

z∈D

引理B［16］設f（z）∈S且｜f（z）｜＜M，z∈D，則有dist

文獻［11］中估計了f（z）的解析部分為z時的單葉半徑，得到

引理C［11］設f（z）＝z＋g（z），g（z）＝bmzm＋bm＋1zm＋1＋…，（bm≠0，m≥2）.f為Dr＝｛z∶｜z｜≤r｝上的K－擬正則調和映照，則f在Dr上單葉，且f（Dr）包含一個半徑為Rm的單葉圓盤，Rm＝r（1－

引理1 若f為單位圓盤D上的保向調和映照且滿足f（0）＝0，fz（0）＝α＞0，g（z）＝bmzm＋bm＋1× zm＋1＋…（bm≠0，m∈N，m≥2），｜f（z）｜＜1，則｜z｜≤b＜1，其中b是正常數(shù).

當2≤m≤3時，有

當m＞3時，有

證明 記fz（z）的所有零點的集合為E，則在D＼E上，函數(shù)μ（z）＝fˉz／fz為全純函數(shù).由于f為D上的保向調和映照，知｜μ（z）｜≤1，故E是可去的，且μ（0）＝0.由Schwarz引理有｜μ（z）｜＜｜z｜m－1，即｜fˉz｜≤｜z｜m－1｜fz｜.

對于｜z｜≤b＜1，當2≤m≤3時，由引理A有

3 主要結果的證明

表1 圓盤半徑R的比較Tab.1 Camparison of the disc radius R

注3 此定理給出調和映照具體的單葉區(qū)域Dr，是文獻［4］沒有指出的.

f（z）單葉像圓盤半徑R與文獻［4］比較，如表1所示.表1中：對于給定的α與m，關于b取極值，得到R的極大值.

注4 當m＝2，b＝1／2時，便與文獻［4］中的R值是一樣的.由此可知本定理的結果包含文獻［4］的結果.

參考文獻：

［1］ CHEN Huai－h(huán)ui，GAUTHIER P M，HENGARTNER W.Bloch constants for planar harmonic mappings［J］.Proc Amer Math Soc，2000，128（11）：3231－3240.

［2］ AHLFORS L V.復分析［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2005.

［3］ LANDAU E.Der picard－schottysche satz und die blochsche konstanten［M］.Berlin：Sitzungsber Press Akad Wiss，1926：467－474.

［4］ CHEN Huai－h(huán)ui，GAUTHIER P M.The Landau theorem and Bloch theorem for planar harmonic and pluriharmonic mappings［J］.Proc Amer Math Soc，2011，139（2）：583－595.

［5］ GRIGORYAN A.Landau and Bloch theorems for harmonic mappings［J］.Complex Variable Theory Appl，2006，51（1）：81－87.

［6］ HUANG Xing－zhong.Estimates on Bloch constants for planar harmonic mappings［J］.J Math Anal Appl，2008，337（2）：880－887.

［7］ COLONNA F.The Bloch constant of bounded harmonic mappings［J］.Indiana Univ Math J，1989，38：829－840.

［8］ DORFF M，NOWAK M.Landau′s theorem for planar harmonic mappings［J］.Comput Meth Funct Theory，2004，4：151－158.

［9］ LIU Ming－sheng.Landau′s theorems for biharmonic mappings［J］.Complex Variables and Elliptic Equations，2008，53（9）：843－855.

［10］ LIU Ming Sheng.Landau′s theorem for planar harmonic mappings［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，57（7）：1142－1146.

［11］ 李東征，陳行堤.調和映照的Bloch常數(shù)［J］.華僑大學學報：自然科學版，2012，33（1）：103－106.

［12］ DUREN P.Harmonic mappings in the plane［M］.Cambridge：Cambridge Univ Press，2004.

［13］ 李忠.復分析導引［M］.北京：北京大學出版社，2004.

［14］ CHUAQUI M.HERNANDEZ R.Univalent harmonic mappings and linearly connected domains［J］.J Math Anal Appl，2007，332（2）：1189－1194.

［15］ 黃心中.具有線性連結像域的局部單葉調和映照［J］.數(shù)學年刊，2010，31A（5）：625－630.

［16］ PICK G.über die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschr?nktes Gebiet［J］.S－B Kaiserl Akad Wiss Wien Math Natur Kl AbtⅡa，1917，126：247－263.

Landau Theorem for Planar Harmonic Mappings

LI Dong－zheng，CHEN Xing－di
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，we study Landau theorem and the univalence radius for harmonic mappings in the plane.Combining Koebe theorem of bounded univalent functions and Schwarz lemma of harmonic mappings，we obtain an asymptotically sharp estimate of Landau constant for a harmonic mapping.Our results improve the ones recently gotten by H.H.Chen and P.M.Gauthier.

Harmonic mapping；Landau theorem；Bloch constant；univalent function

O 174.55

A

（責任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

1000－5013（2012）05－0584－06

2011－10－22

陳行堤（1976－），男，副教授，主要從事函數(shù)論的研究.E－mail：chxtt＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（11101165）；福建省自然科學基金資助項目（2011J01011）；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項基金資助項目，華僑大學基本科研專項基金資助項目（JB－ZR1136）