正態(tài)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)

孫翠先，步金芳

（1.唐山學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河北唐山063000；2.唐山職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北唐山063000）

正態(tài)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)

孫翠先1，步金芳2

（1.唐山學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河北唐山063000；2.唐山職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北唐山063000）

在正態(tài)總體分布下，給出了方差及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量，討論了兩者之間的關(guān)系，得出兩類估計(jì)量相同，并進(jìn)一步給出無(wú)偏估計(jì)量。

正態(tài)總體；標(biāo)準(zhǔn)差；方差；無(wú)偏估計(jì)

0 引言

1 正態(tài)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)

設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），可知期望E（X）＝μ［2］，方差D（X）＝σ2，標(biāo)準(zhǔn)差因?yàn)榭傮wX的分布有兩個(gè)未知參數(shù)μ，σ2，所以應(yīng)考慮未知參數(shù)的估計(jì)量。（X1…Xn）是來(lái)自該總體正態(tài)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。

1.1 矩估計(jì)量

總體一二階原點(diǎn)矩E（X）＝μ，E（X2）＝D（X）＋［E（X）］2＝σ2＋μ2，于是，按矩估計(jì)法得方程組μ＝是樣本的一二階原點(diǎn)矩。于是解得未知參數(shù)期望和方差的矩估計(jì)量為

1.2 極大似然估計(jì)量

設(shè)X1，X2，…，Xn是N（μ，σ2）的樣本，要求μ與σ2的極大似然估計(jì)，令樣本的密度函數(shù)作為似然函數(shù)。因此L（θ）＝對(duì)正態(tài)總體有似然函數(shù)

1.3 矩估計(jì)與極大似然估計(jì)的關(guān)系

對(duì)于正態(tài)分布總體來(lái)說(shuō)，μ，σ2的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)是相同的。同時(shí)也得到了σ的估計(jì)量＝S。

2 估計(jì)量的無(wú)偏性

設(shè)X1，X2，…，Xn是N（μ，σ2）的樣本，討論上述估計(jì)量的無(wú)偏性。設(shè)總體X服從正態(tài)分布則X珡是μ的無(wú)偏估計(jì)量。

因?yàn)镋（S2）≠σ2，則S2不是σ2的無(wú)偏估計(jì)量。

下面討論σ的估計(jì)量的無(wú)偏性，為此需要證明下面的引理。

當(dāng)y＞0時(shí)，F(xiàn)Y（y）＝Fx2（y2），兩端對(duì)y求導(dǎo)，得

證畢。

定理1 S不是σ的無(wú)偏估計(jì)量。

證畢。

下面求σ，σ2的無(wú)偏估計(jì)量。2

則σ的無(wú)偏估計(jì)量為λS。

證明 由定理1可知

定理3 σ2的無(wú)偏估計(jì)量為

3 結(jié)語(yǔ)

正態(tài)總體情況下，均值μ的無(wú)偏估計(jì)是珡X，方差σ2，標(biāo)準(zhǔn)差σ的無(wú)偏估計(jì)是若θ＝σ與g（θ）＝θ2，當(dāng)＝λS是θ的無(wú)偏估計(jì)量時(shí)，g（）不是g（θ）的無(wú)偏估計(jì)量。

［1］ 沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.4版.北京：高等教育出版社，2003：171.

［2］ 工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)本科組.工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題［M］.北京：高等教育出版社，1996：219.

（責(zé)任編校：夏玉玲）

Unbiased Estimation of Variance and Standard Deviation Based on Normal Population

SUN Cui－xian1，BU Jin－fang2

（1.Department of Foundational Teaching，Tangshan College，Tangshan 063000，China；2.Department of Foundational Teaching，Tangshan Vocational and Technical College，Tangshan 063000，China）

Under population distribution of normal，moment estimation and maximum likelihood of variance and standard deviation are given.Its relation is discussed and it is concluded that two estimations are same.Finally，unbiased estimation is given.

normal distribution；standard deviation；variance；unbiased estimation

book=24,ebook=24

O212.1

A

1672－349X（2012）03－0005－02

2012－03－07

孫翠先（1963－），男，河北豐南人，教授，主要從事概率統(tǒng)計(jì)研究。