多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析①

杜永峰，張尚榮，李 慧

（1．防震減災(zāi)研究所，蘭州理工大學(xué)，甘肅 蘭州 730050；2．西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州理工大學(xué)，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

由于隔震體系的隔震層與本體結(jié)構(gòu)的阻尼性能有很大差異，結(jié)構(gòu)整體呈現(xiàn)出非比例阻尼的特性。上個(gè)世紀(jì)50年代以來，國內(nèi)外學(xué)者對非比例阻尼體系作了很多研究：Kelly［1］采用實(shí)振型分解法求解了雙自由度基礎(chǔ)隔震模型相對位移的近似小參數(shù)解；汪夢甫［2］采用虛擬激勵(lì)法得到非比例阻尼線性體系隨機(jī)地震響應(yīng)計(jì)算的一般實(shí)數(shù)解析解答；周君求和彭躍社［3］采用矩陣攝動(dòng)法得到非比例阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的近似解析解；筆者［4］采用分區(qū)瑞利阻尼模型，將實(shí)振型分解法應(yīng)用于一般多自由度隔震結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力響應(yīng)分析。

隨著隔震技術(shù)的不斷深入研究和快速發(fā)展，隔震層的位置已不再局限于基礎(chǔ)頂面，本次修訂的建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范（GB50011－2010）［5］對隔震層位置也做了擴(kuò)展，由“建筑物基礎(chǔ)與上部結(jié)構(gòu)之間”"改為“建筑物基礎(chǔ)、底部或下部與上部結(jié)構(gòu)之間”，這類層間隔震模式將整個(gè)隔震結(jié)構(gòu)體系分成上部結(jié)構(gòu)、隔震層、下部結(jié)構(gòu)。若各子結(jié)構(gòu)阻尼性能都不同，對于層間剪切型結(jié)構(gòu)就構(gòu)成了多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼模型，如圖1所示。鑒于分區(qū)瑞利阻尼模型的物理意義直觀，便于工程應(yīng)用［6－7］，本文引用該模型并將這種阻尼矩陣表達(dá)形式推廣至多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼模型，采用狀態(tài)空間法對其進(jìn)行地震響應(yīng)分析。

圖1 （GB50011－2010）隔震結(jié)構(gòu)計(jì)算簡化模型Fig．1 The simplified calculation model of（GB50011－2010）Isolated structure．

1 多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析

1．1 多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼體系在形式上仍與常見剪切型結(jié)構(gòu)體系類似，其運(yùn)動(dòng)方程為

其中，［M］、［C］、［K］分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；｛u｝、｛˙u｝、｛¨u｝分別是質(zhì)點(diǎn)相對于地面的位移、速度、加速度向量；為地震地面加速度。

與一般常見結(jié)構(gòu)不同的是阻尼矩陣［C］，具有多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼特性的結(jié)構(gòu)。引用分區(qū)瑞利阻尼模型，將阻尼矩陣表達(dá)為

式中，［C0］代表瑞利阻尼矩陣；［Cr］為體現(xiàn)非比例阻尼的余項(xiàng)阻尼矩陣：

式中，al，bl，ai，bi，a，b分別是下部子結(jié)構(gòu)、隔震層和上部子結(jié)構(gòu)的瑞利阻尼比例系數(shù)，其值可由下式求得［6］：

式中，ξl、ξeq、ξ分別為下部子結(jié)構(gòu)、隔震層和上部子結(jié)構(gòu)的阻尼比。ω1和ωj分別為對系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)的低階和高階圓頻率。

式中，mj＋1和kj＋1分別是隔震層的質(zhì)量和剛度；［Ml］和k1，k2，…kj分別是下部子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和層間剛度；［Mu］和kj＋2，…，kn分別是上部子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和層間剛度。

1．2 多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)分析方法

為求解式（1）～（5）所表達(dá)的多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，在狀態(tài)空間法中，運(yùn)動(dòng)方程（1）可表示為

式中

其中，｛δ｝＝［1 1…1］T；［I］為單位矩陣。根據(jù)需要給出表達(dá)式（8）、（9）中的各個(gè)分量，得出結(jié)構(gòu)相對位移、速度或加速度響應(yīng)。

2 算例分析

2．1 算例參數(shù)

算例1：選用筆者承擔(dān)的一地下1層、地上10層鋼筋混凝土框剪結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。隔震層位于地下室頂部，隔震參數(shù)如表2所示。

算例2：將算例1中結(jié)構(gòu)形式改造為基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，上部結(jié)構(gòu)及隔震層參數(shù)與算例1相同，用作對比算例。

該建筑位于Ⅷ度（0．2g）設(shè)防烈度區(qū)，二類場地土，根據(jù)規(guī)范要求，選取符合場地要求的七條地震波，其中包括EI－Centro波、TAR＿TARZ波、Nor＿90＿w波、Taft021波、ANA＿00＿w波、蘭州波、唐山波，計(jì)算結(jié)果取其最大平均值。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)（X向）

表2 隔震層剛度和質(zhì)量（X向）

2．2 算例時(shí)程分析

（1）對算例1參數(shù)代入本文算法模型（8）～（12）進(jìn)行時(shí)程分析，與采用MATLAB編制的 Wilson－θ法的結(jié)果進(jìn)行對比；結(jié)果顯示本文算法所得結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度響應(yīng)與Wilson－θ法結(jié)果一致，其中罕遇地震下結(jié)構(gòu)地下室位移時(shí)程曲線如圖2所示，其結(jié)果吻合較好，表明本文所用分析程序合理，可用于隔震結(jié)構(gòu)彈性分析。

（2）隔震層參數(shù)相同時(shí)，分析結(jié)果如圖3、4所示。算例1所得隔震層最大位移、最大層剪力比均大于相應(yīng)的算例2的結(jié)果。這表明對帶有地下室或大底盤之類的隔震結(jié)構(gòu)，不能套用現(xiàn)有基礎(chǔ)隔震體系的某些方法，若采用基礎(chǔ)隔震模型進(jìn)行動(dòng)力分析，其結(jié)果存在誤差。

圖2 EI－centro波（400gal）作用下地下室位移時(shí)程曲線Fig．2 Displacement time－h(huán)istory curve of basement under EI－centro wave（400gal）．

為模擬算例1的動(dòng)力分析結(jié)果趨近于算例2的動(dòng)力分析結(jié)果，現(xiàn)假定算例1中地下室的剛度和質(zhì)量同比例增大。在此假定下，比較分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨地下室剛度增加的變化趨勢。整體結(jié)構(gòu)最大層剪力比、隔震層最大位移隨地下室剛度和質(zhì)量的增加變化趨勢分別如圖5、圖6所示。由于在本算例分析中的阻尼采用分區(qū)瑞利阻尼，而阻尼矩陣與剛度和質(zhì)量相關(guān)，在分析過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)剛度增大20%以后層剪力比發(fā)散?？紤]到一般結(jié)構(gòu)阻尼變化很小，故在剛度增大20%時(shí)，保持阻尼矩陣不變，剛度和質(zhì)量同比例增加，層剪力比系數(shù)與隔震層最大位移逐漸減小。當(dāng)剛度和質(zhì)量同時(shí)增大4～6倍時(shí)，層剪力比系數(shù)與隔震層最大位移趨近于算例2所得對應(yīng)值，如表3、表4中剛度、質(zhì)量增幅為400%、600%時(shí)的對應(yīng)值所示。

圖3 多遇地震下最大平均層剪力比Fig．3 Maximum average layer shear ration under frequency earthquake．

圖4 罕遇地震下最大平均位移 （m）Fig．4 Maximum average displacement under rear earthquake．

表3 基礎(chǔ)隔震計(jì)算結(jié)果

圖5 最大層剪力比隨地下室剛度、質(zhì)量變化Fig．5 Maximum layer shear ration changes with the basement stiffness and quality．

圖6 隔震層最大位移隨地下室剛度、質(zhì)量變化Fig．6 Maximum displacement of isolation layer changes with the basement stiffness and quality．

表4 串聯(lián)隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨地下室剛度、質(zhì)量增幅變化表

3 結(jié)論

本文對建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范（GB50011－2010）修訂的多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)計(jì)算模型進(jìn)行理論研究，并對其作了隔震性能分析，通過分析得出如下結(jié)論：

（1）本文推導(dǎo)的多級(jí)串聯(lián)非比例阻尼矩陣物理意義明確。運(yùn)用本文推導(dǎo)的阻尼矩陣進(jìn)行動(dòng)力分析較實(shí)用，對工程設(shè)計(jì)計(jì)算具有指導(dǎo)意義。

（2）隨著下部結(jié)構(gòu)剛度的增加，結(jié)構(gòu)的層剪力和隔震層位移動(dòng)力響應(yīng)峰值均趨向于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的對應(yīng)值，當(dāng)下部結(jié)構(gòu)為一層，且層間剛度大于上部結(jié)構(gòu)底層層間剛度4～6倍時(shí)，可以近似按基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析。

［1］ J M Kelly．The role of damping in seismic isolation［J］．Earthquake Engineering and Structure Dynamic，1999，28（1）：3220－3221．

［2］ 汪夢甫．非比例阻尼線性體系平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)計(jì)算的虛擬激勵(lì)法［J］．計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25（1）：94－99．

［3］ 周君求，彭躍社．求解弱非比例阻尼系統(tǒng)實(shí)模態(tài)解的阻尼矩陣攝動(dòng)法［J］．動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2008，6（5）：322－326．

［4］ 杜永峰，李慧，B F Spencer，等．非比例阻尼隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的實(shí)振型分解法［J］．工程力學(xué)，2003，20（4）：24－32．

［5］ 中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)．GB50011－2010建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．北京：中國建筑工業(yè)出版社，2010．

［6］ 杜永峰，趙國藩．隔震結(jié)構(gòu)中非經(jīng)典阻尼影響及最佳阻尼比分析［J］．地震工程與工程振動(dòng)，2000，20（3）：100－108．

［7］ Yongfeng Du，Hui Li，Billie F，et al．Effect of non－proportional damping on seisimic isolation［J］．Journal of structural control，2002，9：205－236．

［8］ 周福霖．工程結(jié)構(gòu)減震控制［M］．北京：地震出版社，1997．

［9］ 李春鋒，杜永峰，李慧．阻尼連體結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)影響參數(shù)研究［J］．西北地震學(xué)報(bào)，2012，34（1）：33－38．

［10］ Clough R W，Penzien J．Dynamics of structures 2nd ed［M］．New York：McGraw－Hill，1993．