籃球比賽決勝時(shí)刻最佳策略的量化與分析

王玉峰，鄭 旗

當(dāng)代籃球比賽的競(jìng)技水平發(fā)展到了一個(gè)前所未有的高度，世界籃球強(qiáng)國(guó)之間的競(jìng)技水平相當(dāng)接近，高水平籃球隊(duì)之間比賽的競(jìng)爭(zhēng)已日趨白熱化，比賽更加膠著，難分高下。毫厘之差就很可能導(dǎo)致比賽的失利。NBA著名助理教練員戴夫·沃爾曾指出，在 NBA比賽的任何一個(gè)賽季，只有不到25%球隊(duì)的平均得失分率在六分以上，一支球隊(duì)在比賽中有20%～40%勝負(fù)只在六分之間甚至更少?？梢韵胂?，一支球隊(duì)的輸贏往往由上下半場(chǎng)結(jié)束前最后幾秒的一個(gè)三分球，或在任何一個(gè)單節(jié)比賽結(jié)束前的三個(gè)兩分球所決定。就2010-2011賽季NBA季后賽而言，所進(jìn)行的82場(chǎng)比賽中，比賽結(jié)果分差小于六分(含六分)的有29場(chǎng)，分差小于三分(含三分)的有13場(chǎng)。在比賽最后關(guān)頭經(jīng)常出現(xiàn)比分領(lǐng)先的球隊(duì)被對(duì)手三分絕殺或拖入加時(shí)賽情況，這是運(yùn)氣不好還是策略不佳?在被絕殺之前采用何種策略才能在最后時(shí)刻保住微弱優(yōu)勢(shì)以獲取比賽的勝利?采用何種犯規(guī)戰(zhàn)術(shù)策略更佳?本論文以領(lǐng)先隊(duì)領(lǐng)先三分的比賽情境為切入點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)模型量化分析采用常規(guī)防守和主動(dòng)犯規(guī)決策時(shí)可能出現(xiàn)的情況，并通過(guò)實(shí)際比賽數(shù)據(jù)和研究假設(shè)進(jìn)行實(shí)例分析。

1 研究對(duì)象與方法

1.1 研究對(duì)象

本研究以高水平籃球比賽決勝時(shí)刻的最后一次攻防策略為研究對(duì)象。

1.2 研究方法

1.2.1 文獻(xiàn)資料法 查閱NBA中國(guó)官網(wǎng)篩選本研究所需要的技術(shù)指標(biāo)，閱讀有關(guān)與籃球比賽決勝時(shí)刻、最后時(shí)刻戰(zhàn)術(shù)策略相關(guān)的文獻(xiàn)資料，通過(guò)分析與借鑒，為本文所作的假設(shè)與論斷提供理論依據(jù)。

1.2.2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)法 利用 NBA官網(wǎng)對(duì)2010—2011賽季NBA比賽文字直播對(duì)部分比賽數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將比賽決勝時(shí)刻采用不同的戰(zhàn)術(shù)決策所可能出現(xiàn)的情況建立分析模型進(jìn)行量化分析。

1.2.3 邏輯分析法 將研究結(jié)果與比賽中戰(zhàn)術(shù)決策的實(shí)際運(yùn)用情況進(jìn)行比較并進(jìn)行邏輯分析。

2 數(shù)學(xué)建模分析的結(jié)果與討論

2.1 相關(guān)術(shù)語(yǔ)的解釋說(shuō)明與邏輯假設(shè)

2.1.1 相關(guān)術(shù)語(yǔ)的解釋與說(shuō)明 為比較決勝時(shí)刻戰(zhàn)術(shù)決策的優(yōu)劣，在進(jìn)行討論與分析之前，對(duì)論文中將會(huì)出現(xiàn)的相關(guān)術(shù)語(yǔ)作出解釋與說(shuō)明。

在比賽中各種比賽情境發(fā)生的可能性記作為:概率P加該術(shù)語(yǔ)英文名稱(chēng)的簡(jiǎn)寫(xiě)字母。如:進(jìn)攻方搶得前場(chǎng)籃板球(offensive rebound)的概率記作Por;防守方搶得籃板球(defensive rebound)的概率記作Pdr;三分球(3 points)投中的概率記作P3pt;在激烈對(duì)抗下?lián)屚度智?3 points in desperation)命中的概率記作P3ptd;補(bǔ)籃進(jìn)球(tip in)(包括補(bǔ)籃和快速投籃)的概率記作Pti;罰球(free throw)罰中的概率記作Pft;球未出手(no shot)的概率記作Pns;打加時(shí)賽(overtime)獲勝的概率記作Pot。

2.1.2 相關(guān)比賽情境的邏輯假設(shè) 雖然比賽中的實(shí)際情境比假設(shè)更為復(fù)雜、多變，但為了簡(jiǎn)化分析，論文進(jìn)行了一些合理的研究假設(shè)并接受以上假設(shè)成立，即認(rèn)為各假設(shè)情境能夠在比賽中出現(xiàn)，相關(guān)假設(shè)如下:

(A1)不論落后隊(duì)進(jìn)球還是領(lǐng)先隊(duì)搶得防守籃板球，剩余比賽時(shí)間都不足以使領(lǐng)先隊(duì)完成一次進(jìn)攻，但夠進(jìn)攻方完成補(bǔ)籃或一次搶得籃板球后立即出手投籃;(A2)假定落后隊(duì)連續(xù)兩次搶得籃板球的情況不會(huì)出現(xiàn)。此情況發(fā)生需要落后隊(duì)在比賽中第一次出手投籃不中+搶得前場(chǎng)籃板球+補(bǔ)籃不中+二次搶得籃板球，其概率為P=(1－P3pt)×Por×(1-Pti)×Por，由下1可推算其發(fā)生的可能性約為0.001 8，屬于極小概率事件，因此假定該情況不會(huì)出現(xiàn);(A3)在決勝時(shí)刻，落后三分的球隊(duì)在作最后一投時(shí)會(huì)選擇投三分球以保證不輸?shù)舯荣悾皇峭秲煞智?(A4)雙方的犯規(guī)次數(shù)已經(jīng)達(dá)到了犯規(guī)后就罰球的次數(shù)，即使領(lǐng)先隊(duì)防守時(shí)犯規(guī)，即使對(duì)手沒(méi)有做出試投動(dòng)作，也要罰球;(A5)落后隊(duì)在罰球時(shí)剩一次罰球機(jī)會(huì)，但落后多于一分時(shí)，則會(huì)選擇在第二罰故意將球罰失，然后搶籃板補(bǔ)籃、搶投兩分球或拉到外線投三分(依落后分?jǐn)?shù)而定，剩一次罰球，落后兩分，則搶得前場(chǎng)籃板球后，會(huì)直接出手投籃，而不是將球拉到外線投三分球;落后三分的話(huà)，會(huì)將球?qū)⑶蚶鐾度智?;(A6)假設(shè)落后隊(duì)搶投三分球命中的概率P3ptd為0.2，在領(lǐng)先隊(duì)防守下三分球未出手的概率Pns為0.1，搶得前場(chǎng)籃板球后補(bǔ)籃、搶投兩分球成功的概率Pti為0.8，如果雙方進(jìn)入加時(shí)賽，獲勝的概率Pot各為0.5。

2.2 基于邏輯分析與假設(shè)下不同戰(zhàn)術(shù)決策的勝率分析

2.2.1 領(lǐng)先隊(duì)采用常規(guī)防守策略下獲勝的可能性分析 針對(duì)決勝時(shí)刻領(lǐng)先隊(duì)采用常規(guī)防守所可能出現(xiàn)的比賽情境，大衛(wèi)·安尼斯曾對(duì)其建立了樹(shù)狀比賽結(jié)果模型進(jìn)行分析。本文在此基礎(chǔ)上對(duì)其分析模型進(jìn)行簡(jiǎn)化與處理，以領(lǐng)先隊(duì)是否進(jìn)行常規(guī)防守為切入點(diǎn)，以落后隊(duì)的行動(dòng)結(jié)果為分析對(duì)象來(lái)計(jì)算其獲勝的可能性，以箭頭最末端顯示領(lǐng)先隊(duì)的比賽結(jié)果。綜上所述，領(lǐng)先隊(duì)常規(guī)防守所可能出現(xiàn)的情況如樹(shù)狀見(jiàn)圖1所示:

圖1 領(lǐng)先隊(duì)采用常規(guī)防守策略可能出現(xiàn)的情況

根據(jù)圖1可知，在常規(guī)防守策略下領(lǐng)先隊(duì)獲勝的途徑有:(1)落后隊(duì)球未出手，比賽結(jié)束，領(lǐng)先隊(duì)獲勝;(2)落后隊(duì)投中三分球，雙方打加時(shí)賽，領(lǐng)先隊(duì)在加時(shí)賽中獲勝;(3)落后隊(duì)投三分球未中籃，搶得前場(chǎng)籃板球，再搶投三分球，雙方打加時(shí)賽，領(lǐng)先隊(duì)在加時(shí)賽中獲勝;(4)落后隊(duì)投三分球未中籃，搶得前場(chǎng)籃板球，再搶投三分球仍未中籃，默認(rèn)領(lǐng)先隊(duì)獲勝(比賽時(shí)間結(jié)束、領(lǐng)先隊(duì)獲得后場(chǎng)籃板球或落后隊(duì)無(wú)出手投三分球的機(jī)會(huì)或投籃未進(jìn)等);(5)落后隊(duì)三分投失后，未搶得前場(chǎng)籃板球，則領(lǐng)先隊(duì)獲勝(此時(shí)，落后隊(duì)落后三分且失去球權(quán)，如果不犯規(guī)，時(shí)間結(jié)束;犯規(guī)，領(lǐng)先隊(duì)兩罰全進(jìn)落后五分，二進(jìn)一落后四分;兩罰全失則落后三分獲得球權(quán)，但比賽剩余時(shí)間更少，獲勝的可能性更低)。結(jié)合以上五種可能，常規(guī)防守下領(lǐng)先隊(duì)獲勝的可能性用數(shù)學(xué)公式可表示為:

2.2.2 領(lǐng)先隊(duì)采用提前主動(dòng)犯規(guī)策略下獲勝可能性的分析 首先需要說(shuō)明的是領(lǐng)先隊(duì)所采用的提前犯規(guī)是指在對(duì)手出手投籃之前所采用的一般性犯規(guī)(非惡意犯規(guī)或三分投籃區(qū)的犯規(guī))。根據(jù)邏輯分析可得知，第一次罰球?qū)赡艹霈F(xiàn)的比賽結(jié)果有重要影響，但不論第一罰是罰中還是罰失，第二罰必須要故意罰失。第一罰是否罰進(jìn)所影響的只是進(jìn)攻方在第二罰故意罰失之后得分的策略(補(bǔ)籃或者投三分球)，見(jiàn)(A5)。

另外，在比賽中有教練員會(huì)擔(dān)心故意犯規(guī)會(huì)有可能使對(duì)手在罰中一球后，故意罰失第二球然后搶進(jìn)攻籃板球，再將球拉到外線搶投三分中籃，在常規(guī)賽段就輸?shù)袅吮荣?。但根?jù)概率分析，此情況發(fā)生的可能性為P=Pft×Por×P3ptd，由表1可推算得出其發(fā)生概率為屬于小概率事件，所以假設(shè)這種可能性不存在。另外臨近比賽結(jié)束且比分落后，如果有追平的機(jī)會(huì)，根據(jù)合理邏輯推斷，落后方會(huì)抓住一切得分機(jī)會(huì)追平比賽，而不會(huì)冒險(xiǎn)去打更復(fù)雜、難度更高的三分戰(zhàn)術(shù)。另外從概率上進(jìn)行計(jì)算，這也非上等策略，因此排除該策略出現(xiàn)的可能。但如果該情況出現(xiàn)，對(duì)于落后隊(duì)來(lái)說(shuō)是最好的結(jié)果。根據(jù)以上推論，同樣借助大衛(wèi)·安尼斯建立的數(shù)學(xué)分析模型分析領(lǐng)先隊(duì)獲勝的可能性如樹(shù)狀見(jiàn)圖2所示:

圖2 領(lǐng)先隊(duì)采用提前主動(dòng)犯規(guī)策略可能出現(xiàn)的情況

由圖2可得，領(lǐng)先隊(duì)主動(dòng)犯規(guī)獲勝的途徑有:(1)落后隊(duì)第一罰罰中，第二罰采用罰球戰(zhàn)術(shù)，主動(dòng)將球罰失后搶得前場(chǎng)籃板球，然后成功補(bǔ)籃，最后在加時(shí)賽中領(lǐng)先隊(duì)獲勝;(2)落后隊(duì)第一罰罰中，第二罰主動(dòng)罰失后搶得前場(chǎng)籃板球，然后補(bǔ)籃未進(jìn)，領(lǐng)先隊(duì)獲勝;(3)落后隊(duì)第一罰罰中，第二罰罰失后未搶到前場(chǎng)籃板球，基本確定領(lǐng)先隊(duì)獲勝(在這種情況下領(lǐng)先隊(duì)領(lǐng)先兩分且擁有球權(quán)，如果落后隊(duì)不犯規(guī)，領(lǐng)先隊(duì)勝;采用犯規(guī)，兩罰全中領(lǐng)先四分，落后隊(duì)翻盤(pán)可能性極小;兩罰一中，則領(lǐng)先三分，雙方回到分差原點(diǎn)，但比賽時(shí)間更少，對(duì)領(lǐng)先隊(duì)更有利;領(lǐng)先隊(duì)兩罰全失且落后隊(duì)最后一攻打成，才有追平或反超的機(jī)會(huì)，此情況發(fā)生的概率極低，因此確定領(lǐng)先隊(duì)獲勝);(4)落后隊(duì)第一次罰球就將球罰失，然后搶得前場(chǎng)籃板球，再搶投三分球，雙方進(jìn)入加時(shí)賽，在加時(shí)賽中領(lǐng)先隊(duì)獲勝;(5)落后隊(duì)在第一次罰球未進(jìn)，然后搶得前場(chǎng)籃板球后搶投三分球未進(jìn)，領(lǐng)先隊(duì)獲勝;(6)落后隊(duì)第一次罰球?qū)⑶蛄P失后未搶得前場(chǎng)籃板球，領(lǐng)先隊(duì)獲勝。綜上所述，領(lǐng)先隊(duì)獲勝的可能性用數(shù)學(xué)公式可表示為:

2.2.3 不同戰(zhàn)術(shù)決策下比賽結(jié)果的量化分析與討論 雖然上述兩個(gè)數(shù)學(xué)公式在理論上得出了領(lǐng)先隊(duì)在決勝時(shí)刻采用常規(guī)防守和提前主動(dòng)犯規(guī)的理論結(jié)果與模型，但為了量化推論的結(jié)果并利用實(shí)戰(zhàn)的概率來(lái)檢驗(yàn)，需要將比賽實(shí)際值代入勝率量化公式(1)和(2)計(jì)算出在常規(guī)防守下P防與提前主動(dòng)犯規(guī)P犯戰(zhàn)術(shù)決策的具體值，利用值的大小來(lái)量化比較兩種決策下領(lǐng)先隊(duì)獲勝的概率。為確保統(tǒng)計(jì)分析的真實(shí)有效性，本文收集了2010～2011賽季NBA整個(gè)季后賽中各指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)值，如表1所示。

表1 2010～2011賽季NBA季后賽參賽隊(duì)三項(xiàng)技術(shù)數(shù)據(jù)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)表

由表 1 可得 Por=0.37，Pdr=0.63，Pft=0.77，P3pt=0.34;結(jié)合前文研究假設(shè)，將數(shù)據(jù)代入公式(1)和(2)可得:

該結(jié)果表明:在上述前提下，領(lǐng)先三分但沒(méi)有球權(quán)的球隊(duì)在防守對(duì)手作最后一攻時(shí)，在對(duì)手投三分球之前合理采取主動(dòng)犯規(guī)的策略，是更優(yōu)策略;由于領(lǐng)先三分且比賽快要結(jié)束，采用次優(yōu)策略獲勝的概率也較高。

結(jié)合前人的研究分析與邏輯分析可知，領(lǐng)先隊(duì)是否提前采用犯規(guī)戰(zhàn)術(shù)主要決定于犯規(guī)的時(shí)機(jī)、對(duì)手三分球命中率和罰球命中率。由于是否有好的犯規(guī)時(shí)機(jī)是犯規(guī)戰(zhàn)術(shù)的前提且事先難以預(yù)測(cè)，而如果領(lǐng)先隊(duì)采用的是主動(dòng)犯規(guī)，在很大程度上會(huì)選擇對(duì)手罰球命中率較低的對(duì)手進(jìn)行犯規(guī)，但由于比賽攻防對(duì)抗的激烈性與情境變化的不確定性，雖然很難在瞬間做好犯規(guī)對(duì)象的最優(yōu)選擇，但在一定程度上具有選擇主動(dòng)性，唯一不確定的就是對(duì)手的三分球命中率，對(duì)手在多高的投籃命中率下采用犯規(guī)戰(zhàn)術(shù)是更佳策略?什么時(shí)候采用犯規(guī)戰(zhàn)術(shù)為次優(yōu)策略?論文仍以2010～2011賽季NBA比賽季后賽各數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)值的平均值和假定值作為量化依據(jù)，設(shè)定對(duì)手三分球命中率未知且罰球水平中等(Pft=0.77)，計(jì)算領(lǐng)先隊(duì)在常規(guī)策略下和主動(dòng)犯規(guī)策略下，選擇兩種策略勝率相同(即P防=P犯)時(shí)P3pt的值，從而得出在上述前提下，采用提前犯規(guī)策略時(shí)對(duì)手三分球命中率的臨界值。

設(shè)定公式(1)的值等于公式(2)的值，根據(jù)各統(tǒng)計(jì)值和假定值，可得P3pt≈0.2，即在上述前提下，當(dāng)對(duì)手的三分球命中率大于0.2且時(shí)機(jī)恰當(dāng)時(shí)，采用主動(dòng)犯規(guī)策略在理論上是合理的且獲勝概率相對(duì)較高。需要指出的是，上文計(jì)算所得值為參考值，不同的球隊(duì)、在不同的比賽中有不同的臨界值，在實(shí)際比賽中采用犯規(guī)策略時(shí)對(duì)手的三分球命中率一般都應(yīng)高于此值。

為了便于理解和分析處理，在研究中作出了一些合理的限定和假設(shè)，因此默認(rèn)通過(guò)假設(shè)所得出的結(jié)論可靠的、合理的，對(duì)其產(chǎn)生疑問(wèn)也是合理的。在文中利用模型分析雖然分析較為充分、清晰，理論上得出了兩種決策的戰(zhàn)術(shù)可能，但本文仍未對(duì)比賽所能產(chǎn)生的可能研究窮盡，應(yīng)進(jìn)一步分析到比賽時(shí)間終了，但由于在主動(dòng)犯規(guī)對(duì)手罰球之后，主動(dòng)權(quán)便掌握在自己手中，只要盡可能地消耗完比賽時(shí)間，就可以贏得比賽的勝利，且這一理論在實(shí)際比賽中是成立的。不過(guò)本文分析結(jié)果雖在理論上成立，但在實(shí)際比賽中并不排除有特殊情況發(fā)生，如領(lǐng)先隊(duì)采取主動(dòng)犯規(guī)戰(zhàn)術(shù)時(shí)，出現(xiàn)技術(shù)犯規(guī)或違體犯規(guī)，綜合筆者所統(tǒng)計(jì)的81場(chǎng)以小分差(三分以?xún)?nèi)，含三分)結(jié)束的NBA比賽中，最后24秒出現(xiàn)主動(dòng)、被動(dòng)犯規(guī)共計(jì)114次，判罰結(jié)果都為兩次罰球(即一般性犯規(guī))，因此作者在文中未將其列入技術(shù)犯規(guī)和違體犯規(guī)。雖然作者在概率分析中未將其計(jì)算在內(nèi)，但不排除小概率事件出現(xiàn)的可能，如果出現(xiàn)此種情況，對(duì)于領(lǐng)先隊(duì)將十分不利，因此在運(yùn)用該戰(zhàn)術(shù)時(shí)應(yīng)特別注意犯規(guī)的動(dòng)作與時(shí)機(jī)的把握，并盡可能地消耗比賽的時(shí)間。

綜合實(shí)踐考慮，在決勝時(shí)刻領(lǐng)先隊(duì)選擇主動(dòng)犯規(guī)的情況出現(xiàn)得很少。究其原因可能由于在實(shí)際比賽中高強(qiáng)度的攻防對(duì)抗與特殊的比賽情境使得防守一方在對(duì)手出手之前來(lái)不及作出恰如其分的犯規(guī)，或擔(dān)心被對(duì)手造三次罰球的犯規(guī);或者是因?yàn)樵诒荣愔新浜蠓皆诒荣愖詈髸r(shí)刻主動(dòng)犯規(guī)讓對(duì)手罰球，賭對(duì)手的罰球命中率并爭(zhēng)取進(jìn)攻時(shí)間已經(jīng)成為隊(duì)員及教練員的一種定勢(shì)思維，反其道而行之就難以讓人們接受。但在最后的決勝時(shí)刻利用犯規(guī)阻止對(duì)手投三分球，并通過(guò)之間的銜接來(lái)消耗掉對(duì)手最后的時(shí)間，也是一種可供選擇的策略。本案例的另一啟示是在比賽之前要作充分的賽前偵查與準(zhǔn)備，清楚地了解對(duì)手各個(gè)方面的情況，為比賽最后時(shí)刻決策作參考依據(jù)，從而提高比賽獲勝的概率。從體育戰(zhàn)術(shù)學(xué)意義講，本研究旨在得到一量化模型，以“從點(diǎn)到面、由此及彼”地尋找戰(zhàn)術(shù)活動(dòng)規(guī)律并使研究成果更具科學(xué)性。

3 結(jié)論

研究分析得出，比賽情境、對(duì)手三分球和罰球命中率是決定三分領(lǐng)先的球隊(duì)在防守對(duì)手作最后一攻時(shí)是否主動(dòng)犯規(guī)的核心要素。從理論上講，在合適的比賽時(shí)機(jī)下，對(duì)手三分球命中率達(dá)到某一臨界值時(shí)，主動(dòng)對(duì)其罰球命中率不高的隊(duì)員進(jìn)行犯規(guī)獲勝的概率要高于常規(guī)防守，是決勝時(shí)刻更佳的戰(zhàn)術(shù)決策。但可能由于大多數(shù)隊(duì)員或教練員在此特殊的比賽情境下?lián)膶?duì)手造三次罰球的犯規(guī)、來(lái)不及犯規(guī)或心理傾向與思維定勢(shì)上選擇堅(jiān)持正常防守，但通過(guò)分析結(jié)果可知，根據(jù)比賽的情境和雙方隊(duì)員的特點(diǎn)(如三分球命中率、罰球命中率)，在時(shí)機(jī)合適時(shí)主動(dòng)犯規(guī)增加了贏得比賽的機(jī)會(huì)，采用此策略并非下策。

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