基于突變理論的城市配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)模型

牛志廣，姜 巍，陸仁強(qiáng)，張宏偉

(天津大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，300072天津)

城市配水系統(tǒng)是一個(gè)極其復(fù)雜的系統(tǒng)，很容易受到蓄意破壞、系統(tǒng)事故、自然災(zāi)害等多種威脅.根據(jù)以往研究成果可知［1］，城市供水風(fēng)險(xiǎn)的大小由威脅發(fā)生的概率、嚴(yán)重程度及系統(tǒng)自身脆弱性3個(gè)因素決定.配水系統(tǒng)面臨威脅(本文以地震災(zāi)害為例)的嚴(yán)重程度和發(fā)生概率是人為無(wú)法控制的，但是，供水部門可以改變結(jié)構(gòu)參數(shù)使配水系統(tǒng)的脆弱性降低，達(dá)到對(duì)供水風(fēng)險(xiǎn)的控制.另一方面，配水系統(tǒng)脆弱性是其在特定的威脅發(fā)生時(shí)，由于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然等多個(gè)因素的作用，所表現(xiàn)出的固有敏感性和人類應(yīng)災(zāi)能力，因此，配水系統(tǒng)的脆弱性是針對(duì)特定威脅的.以往在配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)方面的研究，多借助于數(shù)值分析模型，以機(jī)理性研究為主［2－3］，但是，配水系統(tǒng)脆弱性由管徑、管材、接口形式和周邊環(huán)境等多個(gè)控制變量決定，配水系統(tǒng)的復(fù)雜性使得這些機(jī)理性研究不太適合實(shí)際管理的需要.為此，根據(jù)地震發(fā)生時(shí)配水系統(tǒng)供水功能轉(zhuǎn)變的突變特征，結(jié)合以往的研究基礎(chǔ)，建立了基于突變理論的配水系統(tǒng)脆弱性綜合評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型.

1 突變理論基礎(chǔ)

在社會(huì)或自然現(xiàn)象中，如地震的發(fā)生、水的沸騰等，這種由量變、漸變的過(guò)程發(fā)展到突變、質(zhì)變的過(guò)程隨處可見(jiàn).為有效解決上述非連續(xù)的突變過(guò)程，法國(guó)數(shù)學(xué)家Rene Thom基于拓?fù)鋵W(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提出了突變理論.Rene Thom證明，當(dāng)系統(tǒng)的控制變量ui的個(gè)數(shù)不多于4，狀態(tài)變量xi的個(gè)數(shù)不超過(guò)2時(shí)，最多有7種基本突變形式［4］.突變理論在研究某種過(guò)程從某一穩(wěn)定態(tài)躍遷到另一穩(wěn)定態(tài)時(shí)，首先假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一組參數(shù)表征，當(dāng)系統(tǒng)處于某一穩(wěn)定態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)這一穩(wěn)定態(tài)的函數(shù)便取唯一的極值，而當(dāng)參數(shù)在一定范圍變化，其函數(shù)的極值大于1個(gè)時(shí)，該系統(tǒng)便處于不穩(wěn)定態(tài).當(dāng)系統(tǒng)從一種穩(wěn)定態(tài)進(jìn)入某個(gè)不穩(wěn)定態(tài)時(shí)，參數(shù)的微小變化便可使系統(tǒng)從不穩(wěn)定態(tài)轉(zhuǎn)入一種新的穩(wěn)定態(tài)，系統(tǒng)的狀態(tài)便在這一瞬間發(fā)生突變.突變理論的主要優(yōu)勢(shì)就是通過(guò)對(duì)臨界點(diǎn)附近非連續(xù)變化現(xiàn)象的分析來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)突變過(guò)程的解釋.因此，突變理論在物理、化學(xué)及社會(huì)科學(xué)等多學(xué)科都得到廣泛應(yīng)用［5-6］.

2 基于突變理論的配水系統(tǒng)脆弱性綜合評(píng)價(jià)模型

2.1 配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

根據(jù)上述脆弱性的定義可知，配水系統(tǒng)的脆弱性指數(shù)(V)由災(zāi)損敏感性(Vs)和應(yīng)災(zāi)能力(Vd)兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)共同決定.災(zāi)損敏感性由配水系統(tǒng)的自身結(jié)構(gòu)特征決定，是其遭受某一特定威脅后的損失程度，而配水系統(tǒng)應(yīng)災(zāi)能力是供水部門為保障配水系統(tǒng)在特定威脅作用下的供水安全而采取的措施，反映了供水部門應(yīng)對(duì)威脅發(fā)生時(shí)的主觀能動(dòng)性.

根據(jù)大量歷史地震資料及劉遂慶等對(duì)2008年“5.12”特大地震現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研資料分析可知［7－8］，配水系統(tǒng)的抗震能力主要由管徑、管材、連接方式、管齡及所在區(qū)域的土壤環(huán)境5個(gè)因素決定，因此，本文從這幾個(gè)方面對(duì)配水系統(tǒng)面臨地震威脅時(shí)的災(zāi)損敏感性進(jìn)行評(píng)價(jià).而與配水系統(tǒng)相伴的人類應(yīng)災(zāi)能力從人力、財(cái)力、物力等3方面進(jìn)行評(píng)價(jià)，考慮到這幾個(gè)因素均與配水系統(tǒng)所在城市的經(jīng)濟(jì)地位有直接關(guān)聯(lián)，通常配水系統(tǒng)所屬城市的經(jīng)濟(jì)實(shí)力越雄厚，用于防震減災(zāi)及災(zāi)后重建的資金就越有保障，配水系統(tǒng)恢復(fù)正常供水功能的時(shí)間就越短，建立如下配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)指標(biāo)體系(見(jiàn)表1、2).

表1 配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)指標(biāo)體系1

表2 配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)指標(biāo)體系2

2.2 配水系統(tǒng)控制變量的選擇及尖點(diǎn)突變模擬

根據(jù)突變理論可知，配水系統(tǒng)不連續(xù)構(gòu)造的個(gè)數(shù)只由控制變量ui的個(gè)數(shù)確定，而與狀態(tài)變量xi無(wú)關(guān).本文將配水系統(tǒng)的整體脆弱性指數(shù)V作為狀態(tài)變量，將災(zāi)損敏感性指數(shù)Vs、應(yīng)災(zāi)能力指數(shù)Vd作為配水系統(tǒng)的控制變量.根據(jù)歷史資料分析可知，配水系統(tǒng)脆弱性主要由Vs決定，而Vd的貢獻(xiàn)次之，因此，將Vs作為主控制變量u1，Vd作為次控制變量u2.

根據(jù)突變理論，對(duì)于配水系統(tǒng)尖點(diǎn)突變現(xiàn)象，描述該配水系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)為

因此，配水系統(tǒng)的供水功能狀態(tài)可以用3維空間中的相點(diǎn)(V，Vs，Vd)表示，為避免Vs、Vd出現(xiàn)負(fù)值，可得到如下配水系統(tǒng)供水功能的尖點(diǎn)突變模型［9］:

勢(shì)函數(shù):F(V)=(V-V0)4+(Vs-Vs0)×(V-V0)2+(Vd-Vd0)×(V-V0)，

突變流形M:4(V-V0)3+2×(Vs-Vs0)×(V-V0)+(Vd-Vd0)=0，

分叉集 B:8×(Vs-Vs0)3+27×(Vd-Vd0)2=0.式中V0、Vs0、Vd0為配水系統(tǒng)固有的特征參數(shù).

根據(jù)一元三次方程求根公式和盛金判別法可知，上述配水系統(tǒng)的分叉集方程便是配水系統(tǒng)尖點(diǎn)突變模型的穩(wěn)定判據(jù)，方程4(V-V0)3+2×(Vs-Vs0)×(V-V0)+(Vd-Vd0)=0可以有1個(gè)或者3個(gè)實(shí)根，實(shí)根的數(shù)目可由判別式Δ=8×(Vs-Vs0)3+27×(Vd-Vd0)2的值來(lái)確定:(1)當(dāng)Δ＜0時(shí)，配水系統(tǒng)位于不穩(wěn)定的狀態(tài)區(qū)域，有可能發(fā)生突變;(2)當(dāng)Δ＞0時(shí)，配水系統(tǒng)控制參數(shù)的穩(wěn)定變化使得狀態(tài)參數(shù)V也隨之穩(wěn)定變化，配水系統(tǒng)功能是穩(wěn)定的，不會(huì)發(fā)生突變;(3)當(dāng)Δ=0時(shí)，配水系統(tǒng)處于臨界平穩(wěn)狀態(tài).

根據(jù)上述突變模型的分叉集方程還不能對(duì)配水系統(tǒng)的脆弱性進(jìn)行評(píng)價(jià)，需借助歸一公式對(duì)配水系統(tǒng)脆弱性的主次關(guān)系進(jìn)行演算［10］，目的是將控制變量及狀態(tài)變量的取值范圍限制在［0，1］內(nèi)，尖點(diǎn)突變模型的的歸一公式為

其中:VVs，VVd分別表示災(zāi)損敏感性指數(shù)Vs、應(yīng)災(zāi)能力指數(shù)Vd對(duì)配水系統(tǒng)整體脆弱性指數(shù)的貢獻(xiàn)度.

2.3 配水系統(tǒng)脆弱性的突變?cè)u(píng)價(jià)準(zhǔn)則

在采用突變理論對(duì)城市配水系統(tǒng)脆弱性進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)，需考慮“非互補(bǔ)”準(zhǔn)則和“互補(bǔ)”準(zhǔn)則.當(dāng)主次控制變量ui對(duì)于狀態(tài)變量x的貢獻(xiàn)不可相互替代時(shí)，按照上述歸一公式(2)確定狀態(tài)變量x的值，要依據(jù)“非互補(bǔ)”的取值原則，即將突變級(jí)數(shù)值xui中的最小值作為配水系統(tǒng)的x值.當(dāng)主次控制變量ui對(duì)于狀態(tài)變量x的貢獻(xiàn)可以互相彌補(bǔ)不足時(shí)，則依據(jù)“互補(bǔ)”的取值原則，即取各xui的平均值作為配水系統(tǒng)的x值.而根據(jù)上述配水系統(tǒng)突變模型的主、次控制變量之間關(guān)系可知，表1、2中的脆弱性評(píng)價(jià)指標(biāo)之間遵循“互補(bǔ)”原則.

2.4 配水系統(tǒng)脆弱性分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)上述分析可知，配水系統(tǒng)整體脆弱性的大小由災(zāi)損敏感性指數(shù)Vs和人類應(yīng)災(zāi)能力指數(shù)Vd共同決定，由于Vs和Vd對(duì)于V值的貢獻(xiàn)具有相反的作用，在計(jì)算V值時(shí)，首先對(duì)Vs和Vd作同向歸一處理，V值便介于［0，1］內(nèi)，V值越大表示配水系統(tǒng)的脆弱性越高，即越容易被破壞.同時(shí)，基于以往的研究結(jié)果，根據(jù)V值的大小可確定如表3所示的配水系統(tǒng)脆弱性分級(jí)標(biāo)準(zhǔn).依據(jù)上述計(jì)算的脆弱性指數(shù)V值及表3，可對(duì)城市配水系統(tǒng)的脆弱性等級(jí)進(jìn)行評(píng)價(jià).

表3 配水系統(tǒng)脆弱性分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

3 實(shí)例分析

3.1 研究對(duì)象

以華北某區(qū)配水系統(tǒng)為例，該區(qū)配水管網(wǎng)共56.975 km，最大管徑為 DN1 000，最小管徑為DN50，共包括108個(gè)節(jié)點(diǎn)和125根管段，管段分別用1～125表示.根據(jù)該區(qū)供水部門提供的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析可知，該區(qū)配水管道的材質(zhì)種類較單一，主要是灰口鑄鐵管和球墨鑄鐵管.球墨鑄鐵管采用承插式楔型接頭和柔性接口，灰口鑄鐵管采用石棉水泥剛性接頭和承插式接口.該區(qū)配水管網(wǎng)按照不同管材、管齡、管徑的累計(jì)管長(zhǎng)及所占比例見(jiàn)表4～6.根據(jù)勘察資料可知，該區(qū)配水管網(wǎng)所在地區(qū)的地層場(chǎng)地屬于III類土［11］，為抗震不利地段.

表4 華北某配水管網(wǎng)不同管材管長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表5 華北某配水管網(wǎng)不同管齡管長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表6 華北某配水管網(wǎng)不同管徑管長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

3.2 配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)結(jié)果

根據(jù)華北某區(qū)供水管理地理信息系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)資料可得每一根管段的管材、管徑、管齡、管道連接方式，該區(qū)配水系統(tǒng)所處地區(qū)地層場(chǎng)地為III類土，同時(shí)該區(qū)為省會(huì)級(jí)城市.根據(jù)表1和2確定上述災(zāi)損敏感性評(píng)價(jià)指標(biāo)及應(yīng)災(zāi)能力評(píng)價(jià)指標(biāo)的值，利用尖點(diǎn)突變模型分別計(jì)算災(zāi)損敏感性指數(shù)Vs和人類應(yīng)災(zāi)能力指數(shù)Vd后，便可以根據(jù)式(2)得出該區(qū)配水系統(tǒng)的整體脆弱性指數(shù)V為0.1637，根據(jù)表3可知，該區(qū)配水系統(tǒng)的脆弱性等級(jí)為B類.

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)配水系統(tǒng)面臨地震威脅時(shí)其供水功能轉(zhuǎn)變的突變性特征，提出一種新的城市配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)方法.首先，根據(jù)歷史震害資料及配水系統(tǒng)抗震機(jī)理分析結(jié)果，提出配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)指標(biāo)體系及分級(jí)標(biāo)準(zhǔn);通過(guò)對(duì)配水系統(tǒng)狀態(tài)變量及主次控制變量的確定，建立配水系統(tǒng)尖點(diǎn)突變模擬模型，并通過(guò)歸一公式的導(dǎo)出及取值原則的確定，提出配水系統(tǒng)整體脆弱性指數(shù)的計(jì)算方法.應(yīng)用結(jié)果表明，提出的城市配水系統(tǒng)脆弱性評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型具有實(shí)際可行性，可作為供水管理部門進(jìn)行配水系統(tǒng)的安全設(shè)計(jì)或改造時(shí)的決策依據(jù).

［1］陸仁強(qiáng)，牛志廣，張宏偉.城市供水系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)研究進(jìn)展［J］.給水排水，2010，36(增刊):4－8.

［2］LEE M，MCBEAN E A，GHAZALI M，et al.Fuzzy-logic modeling of risk assessment for a small drinking-water supply system ［J］.Journal of Water Resources Planning and Management，2009 135(6):547 －552.

［3］OGAWA Y，KOIKE T.Structural design of buried pipelines for severe earthquakes［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2001，21(3):199－209.

［4］FORBES G J，HALL F L.The application of catastrophe theory in modelling freeway traffic operations［J］.Transportation Research Part A:General，1990，24(5):335－344.

［5］KNEMEYER A M，ZINN W，EROGLU C.Proactive planning for catastrophic events in supply chains ［J］.Journal of Operations Management，2009，27(2):141-153.

［6］YANG Kun，WANG Tongxu，MA Zhitao.Application of cusp catastrophe theory to reliability analysis of slopes in open－pit mines［J］.Mining Science and Technology，2010，20(1):71－75.

［7］王紹偉，王永，錢正華，等.“5.12”地震災(zāi)區(qū)供水系統(tǒng)受損及恢復(fù)調(diào)研與分析［J］.中國(guó)給水排水，2009，25(20):1－5.

［8］熊易華，羅萬(wàn)申，陳洵.汶川“5.12”地震給排水設(shè)施震損情況與啟示［J］.給水排水，2009，35(10):21－24.

［9］康宇虹，徐照宇.股票價(jià)格突變模型的建立與分析［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，12(1):100-104.

［10］BARUNIK J，VOSVRDA M.Can a stochastic cusp catastrophe model explain stock market crashes［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，2009，33(10):1824-1836.

［11］彭艷菊，唐榮余，呂悅軍，等.天津?yàn)I海場(chǎng)地土類別特征及其對(duì)地震動(dòng)的影響［J］.地震工程與工程振動(dòng)，2004，24(2):46－52.