基于對稱α-穩(wěn)定分布的可靠性試驗場道路時域激勵建模方法*

叢 楠，尚建忠，任焱晞

(1.國防科技大學機電工程與自動化學院，長沙 410073; 2.工程裝備系統(tǒng)研究所，北京 100093)

前言

道路模擬試驗是檢驗車輛可靠性的重要手段，路面激勵作為模擬試驗的輸入，直接決定了試驗結(jié)果的準確性。對于標準化道路，早在20世紀70年代就已確立了以功率譜密度函數(shù)作為對其描述的基本形式［1］。我國標準GB 7031—86中給出了一種冪函數(shù)形式的功率譜密度函數(shù)擬合公式，并定義了相應(yīng)等級道路標準化功率譜密度函數(shù)的擬合參數(shù)［2］，對于非標準的試驗場道路，文獻［3］和文獻［4］中在對我國海南和定遠等汽車試驗場道路進行測量的基礎(chǔ)上，給出了以功率譜密度函數(shù)描述的道路譜。

定義在頻域上的功率譜需要還原為隨機時域激勵信號，才能被道路模擬臺架使用。文獻［5］中提出將功率譜密度函數(shù)定義下的道路譜還原為時域信號的方法，該方法直接使用功率譜密度函數(shù)的傅里葉反變換來生成時域激勵，但不久證明該方法并不可靠。目前常用的時域還原方法主要可分為兩類，即諧波疊加法與線性濾波法［6-9］，兩類方法雖然形式各異，但均基于高斯假設(shè)，即還原出時域信號的幅值呈高斯分布。

實測數(shù)據(jù)表明，由于實際道路本身包含有超過“標準”預(yù)期的不規(guī)則性，使得實測道路激勵的幅值并不嚴格地滿足高斯分布［10］。對于以強化可靠性試驗為目的的試驗場路面，此點尤為明顯，因為與一般公路相比，可靠性試驗場路面能夠給予車輛更多和更大的激勵，使得其在時域幅值上表現(xiàn)為更頻繁的沖擊，幅值分布體現(xiàn)出一定峰度及“厚尾”的非高斯特征。在可靠性強化試驗領(lǐng)域的相關(guān)研究早已表明，激勵的非高斯特性極大地影響受試產(chǎn)品的壽命［11］，現(xiàn)有基于高斯假設(shè)的頻域還原方法所得到的時域譜進行道路模擬試驗，無法準確模擬試驗場道路對車輛疲勞耐久性的影響。

本文中在對實測試驗場道路激勵進行非高斯特性分析的基礎(chǔ)上，使用雙參數(shù)對稱α-穩(wěn)定分布模型描述試驗場路面譜幅值的非高斯分布特征，給出了對于實測道路的穩(wěn)定分布參數(shù)辨識方法，并研究了產(chǎn)生適合臺架模擬且具有指定穩(wěn)定分布參數(shù)的道路激勵方法，為可靠性試驗場道路的模擬試驗提供了一種新的道路模型建模方法。

1 試驗場道路激勵的非高斯特性分析

為對可靠性試驗場道路進行準確模擬，須預(yù)先進行實車采譜工作。圖1為某型工程車在某試驗場環(huán)形跑道上完成單圈行駛所采集到的左前輪垂向加速度響應(yīng)譜。

從圖1中的整圈采集譜中截取兩條近似直線路段所對應(yīng)的歷程，其分布在經(jīng)過時間/空間轉(zhuǎn)換、去直流分量、野點剔除、抗混疊低通濾波等一系列前處理后，兩路段的加速度激勵歷程如圖2所示。可以看出，圖2(a)所對應(yīng)的路況顯然比圖2(b)惡劣。

將圖2中所示的兩路段加速度譜繪制于正態(tài)坐標紙上，以驗證其幅值是否滿足高斯分布，如圖3所示。圖3示出所測加速度譜在其“極限值”上與正態(tài)分布的顯著差距，直觀地說明了該路譜的非高斯性，且隨著路況劣化，這種非高斯特性愈發(fā)顯著。如使用現(xiàn)有基于高斯假設(shè)的時域激勵生成方法，將無法還原出該類具有非高斯幅值分布特性的時域激勵。

2 試驗場道路激勵的對稱α-穩(wěn)定分布參數(shù)估計

α-穩(wěn)定分布是一類廣義化的高斯分布(高斯分布是α=2時的對稱穩(wěn)定分布的特例)，研究結(jié)果表明，對存在大量突變因素的非高斯隨機信號，往往均能由α-穩(wěn)定分布對其進行準確地描述［12］。

α-穩(wěn)定分布的一個顯著特性是其沒有有限的二階矩(確切地說，對于非高斯α-穩(wěn)定分布序列，其沒有穩(wěn)定的m階矩，m＞α∈(0，2］)。因此，為驗證試驗場道路譜是否滿足α-穩(wěn)定分布，“無窮方差檢驗”是一個快速而有效的方法。其具體步驟如下。

(1)對于含有N個點的隨機序列，設(shè)其第k個值為 xk，k=1，2，…，N，對于每一個 n(1 ＜ n ＜N)，求其含有前n個值的樣本方差:

將圖2所示的兩路段上的輪軸響應(yīng)譜按照式(1)計算得到的樣本方差變化如圖4所示。為便于比較，使用一組樣本均值、方差和數(shù)據(jù)長度與第一路段相同的高斯序列作為參照。由圖4可知，雖然兩路段長度不同且樣本長度有限，但與高斯信號相比已有明顯差別，即樣本方差無收斂跡象。初步驗證了試驗場道路譜的非高斯α-穩(wěn)定分布特性。

此外，由于功率譜密度函數(shù)可認為是信號二階原點矩的傅里葉變換，因此圖4還說明了對于此實測試驗場道路時域激勵歷程，沒有穩(wěn)定的功率譜密度函數(shù)，以往的基于功率譜密度函數(shù)的道路描述方法對其也不再適用。

α-穩(wěn)定分布本身是一類四參數(shù)分布，其特性可以由特征指數(shù) α∈(0，2)、對稱系數(shù) β∈(-1，1)、分散系數(shù)γ∈R+以及位置系數(shù)δ∈R完全確定。對于車輛的加速度響應(yīng)，不妨假設(shè)其為對稱分布，即對稱參數(shù)β=0。進一步，在忽略路面自身高程變化的前提下，車輛在行駛?cè)讨胁o累加的垂向加速度，且對采集譜的去直流分量操作進一步保證了加速度譜的位置參數(shù)δ亦應(yīng)為0。由此，對于該加速度譜，只有α、γ兩參數(shù)需要辨識。對于位置參數(shù)亦為0的對稱穩(wěn)定分布，使用負階矩法(又稱為森克函數(shù)法)［13］相對簡便。該方法主要思想源于以下定理。

設(shè)X為對稱穩(wěn)定分布的隨機變量，且其位置參數(shù)δ=0、分散參數(shù)為γ時，其分數(shù)階矩為

更為一般的是，式(2)中當-1＜p＜α時，該式仍然成立，且C(p，α)表達式與式(3)相同。即對稱穩(wěn)定分布存在有限的負階矩。

由以上定理及Γ(·)函數(shù)性質(zhì)可得

式中可任取0＜p＜min(α，1)。

由式(5)可知，特征指數(shù)α僅與隨機變量的正負分數(shù)階矩p有關(guān)，與分散系數(shù)γ無關(guān)，因此可利用該式對α進行估計。一旦得到α的估計值，則可由式(2)計算出γ的估計值。

3 基于對稱α-穩(wěn)定分布的道路激勵歷程生成

在辨識出特征指數(shù)α和分散系數(shù)γ后，即可由以下方法生成具有指定參數(shù)的對稱α穩(wěn)定分布序列［14］。

此外，需要說明的是，對于圖3所示的經(jīng)過時間-空間轉(zhuǎn)換的采集譜，此時生成的序列仍應(yīng)代表空間采樣的序列 X(n)={x(Δn)，x(2Δn)，…}，在進行道路模擬時，須將其轉(zhuǎn)換為時域歷程X(t)={x(Δt)，x(2Δt)，…}。對于給定車速 v，空間采樣間隔Δn與時間采樣間隔Δt的關(guān)系為:Δt=Δn/v。

4 應(yīng)用實例

仍以圖2中所示的兩段采集譜為例，使用式(5)所述的方法分別辨識出的穩(wěn)定分布參數(shù)的估計值如表1所示。

表1 穩(wěn)定分布參數(shù)估計值

根據(jù)表1所示的估計參數(shù)，按照式(6)和式(7)所示方法生成與原采集路段數(shù)據(jù)等長的穩(wěn)定分布序列分別如圖5所示。

由于穩(wěn)定分布的厚尾特性，圖5所示的原始穩(wěn)定分布序列必含有少量具有極高幅值“奇異”數(shù)據(jù)，如前所述，須根據(jù)道路模擬臺架的實際加載能力(此處為±5g)對上述序列進行截斷(對應(yīng)于幅值概率密度曲線上的“截尾”)，截斷處理后的序列見圖6。

由前論述，所使用序列的RMS值來檢驗所生成序列與采集譜在振動強度上的一致性。按表1所示參數(shù)，對兩路段各生成200組如圖5所示的穩(wěn)定分布序列，對其進行截斷處理前后的RMS統(tǒng)計特征值如表2所示。

表2 采集與重構(gòu)譜的RMS值 g

由表2可知，當不進行截斷時，由于極限值的影響，使序列的RMS值遠高于(且不呈正態(tài)分布)原采集譜。經(jīng)截尾后，所得序列在振動強度上已相當接近采集譜，具有一定的等效意義。與此同時，根據(jù)表1所示的估計參數(shù)分別繪制概率密度曲線，并將其與正態(tài)假設(shè)下的概率密度曲線和原數(shù)據(jù)經(jīng)驗概率密度分布情況進行比較，結(jié)果如圖7所示。

圖7直觀地說明穩(wěn)定分布對試驗場道路非高斯特征描述的準確性，尤其對路況較差的路段1，該方法可更好地反映車輛對路面響應(yīng)的幅值分布情況。

5 結(jié)論

通過對可靠性試驗場實車采集道路譜進行幅值分布特性分析，證明了采集譜隨路況劣化將呈現(xiàn)出顯著的非高斯特性;針對道路譜這類具有對稱、零均值的特征，基于對稱穩(wěn)定分布的負階矩參數(shù)估計理論，提出了適用于試驗場道路的非高斯幅值分布特征參數(shù)的估計方法，進而在結(jié)合現(xiàn)有試驗操作規(guī)程的基礎(chǔ)上，提出了可靠性試驗場道路時域激勵的生成方法。

通過應(yīng)用所論述的道路譜生成方法，得到了某高速工程車單輪垂向加速度歷程。與以往道路時域激勵生成方法相比，該方法產(chǎn)生的道路激勵能更準確地反映出車輛對試驗場路面輸入響應(yīng)的幅值分布特征，為開展車輛的模擬試驗場行駛試驗以至車輛的虛擬行駛疲勞試驗提供了一種新型道路時域激勵模型生成方法。

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