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    合情化歸 探求創(chuàng)新試題

    2012-08-28 01:43:00江蘇省阜寧中學(xué)丁敏春
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年23期
    關(guān)鍵詞:合情等價(jià)試題

    ☉江蘇省阜寧中學(xué) 丁敏春

    合情化歸 探求創(chuàng)新試題

    ☉江蘇省阜寧中學(xué) 丁敏春

    由于創(chuàng)新試題有很好的區(qū)分和選拔功能,所以在2012年高考數(shù)學(xué)試題中具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的新題精彩紛呈.數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題具有以下鮮明的特點(diǎn):背景新穎,內(nèi)涵豐富,數(shù)學(xué)本質(zhì)深刻,設(shè)問方式靈活等.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題主要題型有:(1)新定義型試題;(2)圖形信息型試題;(3)實(shí)際應(yīng)用型試題;(4)類比歸納型試題;(5)綜合知識(shí)型試題;(6)能力探究型試題.本文嘗試運(yùn)用合情化歸探求解答2012年高考中的部分?jǐn)?shù)學(xué)創(chuàng)新試題.

    所謂“化歸”,就是轉(zhuǎn)化和歸納.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),人們常常將待解決的問題甲,通過某種轉(zhuǎn)化過程,歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題乙,然后通過問題乙的解答返回去求得問題甲的解答.化歸就是問題的規(guī)范化和模式化.

    一、化歸的基本要素

    (1)化歸對(duì)象;(2)化歸目標(biāo);(3)化歸途徑.

    二、化歸的基本原則

    1.熟悉化原則

    將待解決的陌生問題化歸為一個(gè)比較熟悉的問題,就可以充分調(diào)動(dòng)已知的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于面臨的新問題,從而有利于問題的解決.

    2.簡單化原則

    將一個(gè)復(fù)雜的問題化歸為一系列比較簡單的問題,可以通過分類、割補(bǔ)、特殊化、換元等具體方法使問題變得簡單.

    例 (2012·新課標(biāo)理·11)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為( )。

    3.直觀化原則

    具體化就是把比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較具體直觀的問題,以便形象地把握問題涉及的各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系.

    A.當(dāng)a<0時(shí),x1+x2<0,y1+y2>0 B.當(dāng)a<0時(shí),x1+x2>0,y1+y2<0 C.當(dāng)a>0時(shí),x1+x2<0,y1+y2<0 D.當(dāng)a>0時(shí),x1+x2>0,y1+y2>0分析:先繪畫四圖:

    圖1

    圖2

    圖3

    圖4

    觀察圖1(當(dāng)a>0,b>0時(shí)),圖3(當(dāng)a<0,b>0時(shí)),兩個(gè)圖像各有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

    圖5

    由φ(x)x=1,推得4b3=27a3.

    故答案為B.

    4.本源化原則

    我們應(yīng)善于從數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論中概括出問題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想,回歸數(shù)學(xué)問題的源泉和本質(zhì).

    圖6

    設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.

    (ii)求證:PF1+PF2是定值.

    如圖7,設(shè)∠xF1A=θ,C點(diǎn)極角為π+θ.

    圖7

    化歸:設(shè)點(diǎn)C與B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱,由條件AF1平行于BF2,知A,F(xiàn)1,C三點(diǎn)共線,且CF1與BF2平行且相等.

    圖8

    5.和諧化原則

    這里的“和諧”是指對(duì)偶與勻稱,是指把條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為更具有數(shù)與形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特征.

    觀測橫軸:求解二元變量的取值范圍常用方法.

    觀測縱軸:線性規(guī)劃知識(shí).

    6.正難則反原則

    當(dāng)正面討論問題遇到困難時(shí),可設(shè)法從問題的反面去探求,使問題獲得解答.如反證法,求參數(shù)范圍時(shí)的補(bǔ)集思想,概率問題中的對(duì)立事件等.

    三、化歸的基本途徑

    1.等價(jià)轉(zhuǎn)化

    將原題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的命題.

    例(2012·北京理·14)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同時(shí)滿足條件:

    則m的取值范圍是_______.

    分析:①p∨q為真等價(jià)于p,q有一真,所以,當(dāng)?x∈[1,+∞)時(shí),f(x)<0;

    結(jié)合二次函數(shù)圖像,列式f(1)<0,f(-4)>0,解得-4<m<-2.

    2.數(shù)形結(jié)合

    將問題中的數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系互相轉(zhuǎn)化.

    3.退化處理

    常用的方法為降元降維降冪.

    4.構(gòu)造法

    “構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型.

    總之,解題者的“兵力”是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),解題者的“兵器”是數(shù)學(xué)基本方法.成功解題的基本要素是:知識(shí)結(jié)構(gòu),思維能力,經(jīng)驗(yàn)題感,情感態(tài)度.化歸是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,善于使用化歸是數(shù)學(xué)思維方式的一個(gè)重要特點(diǎn).合情化歸是有效解題的強(qiáng)力引擎,我們期待合情化歸一定會(huì)創(chuàng)造更多數(shù)學(xué)文化價(jià)值.

    1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,1997.

    2.趙小云,著.數(shù)學(xué)化歸思維論[M].葉立軍,譯.北京:科學(xué)出版社,2006.

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