略談與圓有關(guān)的計(jì)算問題——解“陰影部分面積問題”的策略

☉江蘇省海門市三陽初級中學(xué) 黃裕梅

略談與圓有關(guān)的計(jì)算問題
——解“陰影部分面積問題”的策略

☉江蘇省海門市三陽初級中學(xué) 黃裕梅

近幾年與圓有關(guān)的計(jì)算中考題，不斷地出現(xiàn)在各種新穎的求陰影部分面積的試題中，如何讓學(xué)生把握好讓人“眼花繚亂”的圖形？如何讓學(xué)生掌握好解題的技巧？本文結(jié)合自己的分析與總結(jié)，與大家共勉.

一、數(shù)學(xué)思想的滲透是基礎(chǔ)

求陰影部分面積的題目中，有的可以直接求解，但是更多的是無法直接求解，需要我們對問題的條件、結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形，使之符合基本圖形的條件和結(jié)論.

因此，在解答“陰影部分面積問題”時(shí)，務(wù)必樹立：（1）基本圖形模型意識，為解決問題確立目標(biāo)；（2）轉(zhuǎn)化思想意識，為解決問題提供途徑.以此為指引，為方法的尋找打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

二、數(shù)學(xué)方法的提煉是工具

1.圖形割補(bǔ)法

例1 （2012年山西）如圖1是某公園的一角，∠AOB=90°，弧AB的半徑OA長是6m，C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在弧AB上，CD∥OB，則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是（ ）.

點(diǎn)評：通過“補(bǔ)”，把陰影部分圖形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)基本圖形的差.在解決問題的過程中，也可通過“割”，就是把一個(gè)復(fù)雜圖形分割成若干個(gè)簡單的基本圖形的和.當(dāng)然兩者結(jié)合也可以.

2.等積變換法

點(diǎn)評：根據(jù)圖形的面積相等，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為與其面積相等的規(guī)則圖形.

3.圖形變換法

例3 （2012年山東）如圖5，正方形OCDE的邊長為1，陰影部分的面積記作S1；如圖6，最大圓半徑r=1，陰影部分的面積記作S2，則S1______S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）.

圖5

圖6

點(diǎn)評：化分散為集中是本題解決的策略，通過旋轉(zhuǎn)、平移、翻折等手段可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的計(jì)算.

4.整體思想法

例4 （課本習(xí)題）如圖7，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑均為0.5，求圖中三個(gè)陰影部分的面積之和.

圖7

點(diǎn)評：由于三角形的內(nèi)角和為180°，所以三個(gè)陰影扇形的圓心角的和為180°，由于它們的半徑都為0.5，因此可根據(jù)扇形的面積公式直接求出三個(gè)扇形的面積和.

5.規(guī)律法

例5（2008年株洲）如圖8中每個(gè)陰影部分是以多邊形各頂點(diǎn)為圓心，1為半徑的扇形，并且所有多邊形的每條邊長都大于2，則第n個(gè)多邊形中，所有扇形面積之和是.（結(jié)果保留π）

圖8

四邊形內(nèi)角和為360°，則陰影面積為π；

點(diǎn)評：先找圓心角的變化規(guī)律，得出第n個(gè)多邊形中，所有扇形面積之和等于圓心角為（n-2）×180°、半徑為1的扇形的面積.

6.覆蓋法

例6（課本習(xí)題）已知正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則所圍成的陰影部分（如圖9）的面積是_________.

圖9

點(diǎn)評：觀察圖形，找出它是由那些規(guī)則的幾何圖形覆蓋形成，找出問題的突破口.

綜上，在計(jì)算陰影部分的面積問題時(shí)，首先判斷是否是規(guī)則圖形，如果是，就利用所學(xué)的圖形面積公式計(jì)算；如果不是規(guī)則圖形，以上各法使之轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積或和、差.

三、數(shù)學(xué)策略由教會(huì)轉(zhuǎn)化為學(xué)會(huì)是關(guān)鍵

解決“陰影部分面積問題”的方法有很多，關(guān)鍵在于讓學(xué)生掌握此類問題解題策略，關(guān)鍵在于教會(huì)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)解題方法，關(guān)鍵在于教會(huì)學(xué)生如何根據(jù)問題靈活選擇解題的方法.因此平時(shí)的教學(xué)中，在問題解決的過程中，讓學(xué)生養(yǎng)成一種思維的習(xí)慣與探究的態(tài)度，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)下，學(xué)會(huì)分析與觀察，學(xué)會(huì)尋找問題解決的途徑，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幸福感，使學(xué)生的解題能力得到更深層次的發(fā)展.