例析2012年中考試題中的閱讀理解型問題

☉江蘇省江陰市利港中學(xué) 鄭小燕

例析2012年中考試題中的閱讀理解型問題

☉江蘇省江陰市利港中學(xué) 鄭小燕

閱讀理解題通常是給出一些材料，讓學(xué)生在閱讀這些材料的基礎(chǔ)上理解材料中給出的一些定義知識，解題方法與思路，然后在把握實(shí)質(zhì)、理解實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上解答材料后面的問題，這類題的主要題型有：閱讀定義，解答問題；閱讀解題過程，總結(jié)解題思路和方法；閱讀圖表，解答問題；閱讀新知識，研究新問題.它主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和對知識的遷移模仿能力，多以選擇題的形式考查一種新的定義或者是新程序的解讀以及圖表圖像的有關(guān)信息，有時(shí)也以填空題的形式出現(xiàn)，考查的內(nèi)容多樣，可能是函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)，也有可能是幾何圖形的面積、周長，綜合性較強(qiáng)，一般難度比較大．

一、新知識滲透型

例1（2012年湖南永州市）我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3，9，19，33，…是一個(gè)二階等差數(shù)列.

如果一個(gè)數(shù)列從第二個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)與它前一個(gè)數(shù)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)等差數(shù)列的等差，如2，4，6，8，10就是一個(gè)等差數(shù)列，它的公差為2.如果一個(gè)數(shù)列的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列為二階等差數(shù)列，例如數(shù)列1，3，9，19，33，…它的后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，6，10，14，…這是一個(gè)公差為4的等差數(shù)列.所以數(shù)列1，3，9，19，33，…是一個(gè)二階等差數(shù)列．那么，請問二階等差數(shù)列1，3，7，13，…的第五個(gè)數(shù)應(yīng)是______.

分析：要找出二階等差數(shù)列的第5個(gè)數(shù)，只要找到原來的等差數(shù)就可以解決問題，根據(jù)題目中所給出的等差數(shù)列以及二階等差數(shù)列的概念，可得到原來等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)字為3－1＝2，第2個(gè)數(shù)為7－3＝4，第3個(gè)數(shù)為13－7＝6．可知這列數(shù)的公差為2，所以第4個(gè)數(shù)為8，即可求出二階等差數(shù)列的第五個(gè)數(shù)．

解：原來等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)字為3－1＝2，第2個(gè)數(shù)為7－3＝4，第3個(gè)數(shù)為13－7＝6．可知這列數(shù)的公差為2，所以第4個(gè)數(shù)為8.設(shè)二階等差數(shù)列的第五個(gè)數(shù)為a，則有a－13=8，所以a＝21，故應(yīng)填21．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生的閱讀能力以及分析解決問題的能力．搞明白題目中給出的二階等差數(shù)列的概念是解決問題的關(guān)鍵．對于閱讀型問題，解決時(shí)先通過該閱讀題目內(nèi)容，理解題目中給出的概念、性質(zhì)、定理等有關(guān)知識，再結(jié)合題目進(jìn)行應(yīng)用．

二、解題方法展示型

例2（2012年湖北黃石市）“數(shù)學(xué)王子”高斯從小就善于觀察和思考.在他讀小學(xué)時(shí)就能在課堂上快速地計(jì)算出1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：

請類比以上做法，回答下列問題：

若n為正整數(shù)，3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝168，則n＝_______．

分析：由①式的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一個(gè)與n相關(guān)的式子，把這個(gè)式子的兩邊同時(shí)乘以2，得到另一個(gè)與n相關(guān)的式子，然后再把第二個(gè)式子中的每一個(gè)數(shù)分別加1，得出n2＋2n－168＝0，解這個(gè)一元二次方程即可．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生的模仿解題能力，正確地觀察出式子特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．解題時(shí)要認(rèn)真閱讀已知的解題過程，仔細(xì)觀察式子特點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律可得一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式．

三、新公式應(yīng)用型

（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系（如圖1）中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形.

（2）設(shè)P0（x0，y0）是一定點(diǎn)，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點(diǎn)，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離.

圖1

圖2

故點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3.

點(diǎn)評：對于這類題目，第一步應(yīng)要深刻理解和掌握“公式”的特征和條件，在應(yīng)用中營造相應(yīng)條件，把握化規(guī)目標(biāo)，并做到步步為營，接近目標(biāo)最終解決問題.

四、補(bǔ)充完善型

例4（2012年浙江紹興市）小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對課本“目標(biāo)與評定”中的一道思考題，進(jìn)行了認(rèn)真地探索.

圖3

思考題

如圖3，一架2.5米的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻低端的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)B將向外移動多少米？

（1）請你將小明對“思考題”的解答補(bǔ)充完整.

解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動x米，即BB1=x.

得方程__________.

解方程得x1=_____，x2=_____.

所以點(diǎn)B將向外移動______米.

（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問題：

問題1

在“思考題中”，將 “下滑 0.4米”改為“下滑 0.9 米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？

問題2

在“思考題”中梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？

請你解答小聰提出的這兩個(gè)問題.

分析：（1）梯形下滑時(shí)構(gòu)造了直角三角形，所以可以依據(jù)勾股定理列一元二次方程來求解；（2）①由于下滑過程中構(gòu)造了直角三角形，按照問題中的數(shù)據(jù)分別代入下滑后得到的三角形中，借助勾股定理逆定理判定這個(gè)三角形是否為直角三角形，如果不是直角三角形，則結(jié)論不成立；②在假設(shè)結(jié)論成立的條件下，利用勾股定理列出一元二次方程，求解這個(gè)方程后看看能否找到符合題意的解，如果能，結(jié)論成立，否則就不成立.

所以當(dāng)梯子頂端從A處下滑1.7米時(shí)，點(diǎn)B向外也移動1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動的距離有可能相等.

點(diǎn)評：這是一道閱讀后進(jìn)行補(bǔ)充完善型問題，本題考查了勾股定理與一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.解答本題的關(guān)鍵是要抓住梯子在滑動過程中的不變的因素和變化的因素，不僅要借助勾股定理構(gòu)造一元二次方程模型，還要能利用勾股定理逆定理來判定直角三角形.

五、范例模仿型

例5（2012廣東年湛江市）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：

（3）解一元二次不等式2x2－3x＜0.

解：本題的“閱讀”部分是提供一道問題解答的過程——范例，而“問題”部分是要求依據(jù)“閱讀”部分的所提供的范例進(jìn)行模仿解答.

解答過程：（1）x＞4或x＜－4.

（2）x＞3或x＜1.

由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負(fù)”，得：

解不等式組①，得此不等式組無解.

點(diǎn)評：對于這種范例型問題，在解答中首先要仔細(xì)閱讀范例的解答過程，弄清題目中所展示的思想方法和所包含的思維方式，用類比的思維方式，靈活地把它運(yùn)用到解決類似的問題中.

六、新定義型

例6（2012年福建廈門市）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）、B（6，3），連接AB.如果點(diǎn)P在直線y=x－1上，且點(diǎn)P到直線AB的距離小于1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“鄰近點(diǎn)”.

圖4

（2）若點(diǎn)Q（m，n）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，求m的取值范圍.

分析：（1）先判斷點(diǎn)C是否在直線y=x－1上，再求出點(diǎn)C到直線AB的距離，最后根據(jù)“鄰近點(diǎn)”的概念作出判斷；（2）分點(diǎn)Q在直線AB的上方和下方兩種情況，分別求出點(diǎn)Q到直線AB的距離，然后根據(jù)“鄰近點(diǎn)”的概念列不等式組求解.

點(diǎn)評：本題是新定義型閱讀理解題，解題時(shí)要正確理解新定義“鄰近點(diǎn)”的概念.解（2）問時(shí)，可以先考慮點(diǎn)Q到直線AB的距離為1，注意要分兩種情況討論：點(diǎn)Q在直線AB的上方和下方，再結(jié)合圖形就不難求出m的取值范圍.

七、探究型

例7（2012年江蘇淮安市）閱讀理解：

如圖5，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合.無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角.

小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形.

情形一：如圖6，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合.

情形二：如圖7，沿△ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合.

圖5

圖6

探究發(fā)現(xiàn)：

（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過兩次折疊，問∠BAC是不是△ABC的好角______（填“是”或“不是”）.

（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請?zhí)骄俊螧與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系.

根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為______.

（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°，60°，105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角.

請你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角.

分析：認(rèn)真閱讀所給材料，掌握好角的新定義.（1）結(jié)合圖7，利用折疊的性質(zhì)，折疊前后重合的角是相等的角，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)可求出∠BAC是△ABC的好角；（2）抓住第三次折疊的∠A2B2C與∠C重合，即相等，結(jié)合三角形外角性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)可求出∠B=3∠C.可以猜想出經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B=n∠C；（3）如果一個(gè)三角形的最小角是4°，那么根據(jù)好角定義可知，這個(gè)三角形的另兩個(gè)角必然是4的整數(shù)倍，這樣可通過列方程，討論整數(shù)解來解決問題.

解：（1）由折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1.因?yàn)椤螦A1B1=∠A1B1C+∠C，而∠B=2∠C，所以∠A1B1C=∠C，就是說第二次折疊后∠A1B1C與∠C重合，因此∠BAC是△ABC的好角.

（2）因?yàn)榻?jīng)過三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A2B2C=∠C.如圖8所示.

因?yàn)椤螦BB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.

圖8

由上面的探索發(fā)現(xiàn)，若∠BAC是△ABC的好角，折疊一次重合，有∠B=∠C；折疊二次重合，有∠B=2∠C；折疊三次重合，有∠B=3∠C；…由此可猜想若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B=n∠C.

（3）因?yàn)樽钚〗鞘?°是△ABC的好角，根據(jù)好角定義，則可設(shè)另兩角分別為4m°，4mn°（其中m、n都是正整數(shù)）.

由題意，得4m+4mn+4=180，所以m（n+1）=44.

因?yàn)閙、n都是正整數(shù)，所以m與n+1是44的整數(shù)因子，因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2.所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1.

所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88.

所以該三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為：4°，172°；8°，168°；16°，160°；44°，132°；88°，88°.

點(diǎn)評：本題是研究型閱讀理解問題，主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識.掌握規(guī)律探索型問題的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵.這類題中往往會出現(xiàn)一些新的概念、性質(zhì)或解題方法，要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上再進(jìn)行問題的解答，或在閱讀材料中提供一些操作方法，要求學(xué)生去模擬并探究，或提供一個(gè)解題過程，要求判斷其正誤.這種題不僅考查了學(xué)生的閱讀能力，而且還綜合考查了學(xué)生的創(chuàng)新意識及數(shù)學(xué)思維能力.