數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

☉湖北省武漢市旭光學(xué)校 張東林

一、數(shù)形結(jié)合思想的概述

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大夏深處的兩塊基石.在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法.

數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題域圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.下面結(jié)合具體實例談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

二、以形助數(shù)

幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問題，常常會產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅.幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個方面：

（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：

a）正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；

b）將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式等.

（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問題，或者簡化代數(shù)運(yùn)算.比如：

a）絕對值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離；

b）數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實數(shù)的取值范圍；

c）互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱（更一般地：實數(shù)a與b在數(shù)軸上關(guān)于對稱，換句話說，數(shù)軸上實數(shù)a關(guān)于b的對稱點(diǎn)為2b-a）.

（3）利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離等.

（4）一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn).

（5）函數(shù)解析式中常數(shù)項的幾何意義是函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)（函數(shù)在x=0時有意義）.

（6）銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例.

圖1

即看做是坐標(biāo)系中一動點(diǎn)（x，0）到兩點(diǎn)（0，2）和（2，1）的距離之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題.

令P（x，0）、A（0，2）和B（2，1），則y=PA+PB.

作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（2，-1），則y的最小值為AB′=

圖2

分析：本例證法雖有很多，但若用幾何圖形面積去證，則更能看清問題的實質(zhì).

證明：利用a，b，m構(gòu)造矩形（如圖2）.S1=ma，S3=mb，因為a

所以S1+S4

例3 已知：0

圖3

證明：如圖3，作邊長為1的正方形ABCD，在AB上取點(diǎn)E，使AE=a；在AD上取點(diǎn)G，使AG=b，過E，G分別作EF∥AD交CD于F；作GH∥AB交BC于H.設(shè)EF與GH交于點(diǎn)O，連 接 AO，BO，CO，DO，AC，BD.由題設(shè)及作圖知△AOG、△BOE、△COF、△DOG均為直角三角形，因此

小結(jié)：在求證條件不等式時，可根據(jù)題設(shè)條件作出對應(yīng)的圖形，然后運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結(jié)論獲證.

分析：根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿足條件的角α、β（如圖4），怎樣構(gòu)造這兩個角的和是解決這個問題的關(guān)鍵.將圖4中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了如圖5的圖形，角α+β也就構(gòu)成了.

證明：如圖5，連接BC，易證：△ABD≌△CBE，從而△ABC是等腰直角三角形，于是：α+β=45°.

圖4 圖5

三、以數(shù)解形

要在解題中有效地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個結(jié)合點(diǎn).

（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化）.

（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等.

例5 如圖6，過正方形ABCD的頂點(diǎn)C任作一直線與AB、AD的延長線分別交于E、F.求證：AE+AF≥4AB.

分析：這是“形”的問題，但要直接從“形”入手很棘手.引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論變?yōu)?/p>

圖6

從此式形式上看，聯(lián)想起一元二次方程根的判別式，從而把“形”的問題轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的問題來解決.

證明：設(shè)AB=a，AE=m，AF=n.連接AC，則

所以mn=a（m+n）.設(shè)m+n=p，mn=ap.所以m，n是方程x2-px+ap=0的兩根，而m，n為實數(shù)，故△=p2-4ap≥0，又p>0，所以p≥4a，即AE+AF≥4AB.

例6 如圖7，在正△ABC的三邊AB，BC，CA上分別有點(diǎn)D，E，F(xiàn).若DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB同時成立，求點(diǎn)D在AB上的位置.

分析：先假設(shè)符合條件的點(diǎn)D，E，F(xiàn)已經(jīng)作出，再利用已知條件，尋找線段與角之間的數(shù)量關(guān)系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.

解：設(shè)AB=1，AD=x.

因為△ABC為正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，

故 AF=2x，CF=1-2x，CD=2CF=2-4x，BE=1-CE=4x-1，BD=2BE=8x-2.

而AD+BD=1，即x+（8x-2）=1.

小結(jié)：幾何中存在著這樣一類問題，即幾何圖形中的某些點(diǎn)的位置或線段的長度或角度的大小不能依題意畫出來，只有根據(jù)已知條件求出某一些量時，圖形才能畫出.而求那些量的方法，常常是通過列方程（組），即轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解.

總之，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中基本而又重要的思想，是解決數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題中發(fā)揮著奇特功效.數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.”可見數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題中的本質(zhì).在中考復(fù)習(xí)時，同學(xué)們必須隨時注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.

1.程曠主.巧學(xué)初中數(shù)學(xué)80法.農(nóng)村讀物出版社

2.九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)課本.北京：人民教育出版社