基于“四基”和“四能”目標(biāo)的概念教學(xué)新嘗試——以《1.1反比例函數(shù)》為例

☉浙江省寧波市江北實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊紅芬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了“四基”、“四能”的理念.“四基”，即讓學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)；“二能”修改成為“四能”，即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.課程改革的深化必定引起課堂模式的相應(yīng)改變，概念課是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型.傳統(tǒng)課中，核心概念的獲得有兩種基本模式：數(shù)學(xué)核心概念形成的模式與同化的模式.基于“四基”、“四能”目標(biāo)下課堂教學(xué)怎樣操作，筆者采用研究性變式類比方式進(jìn)行了探究，現(xiàn)以浙教版九年級上第一章《1.1反比例函數(shù)》概念課為例，對新理念邊學(xué)習(xí)邊類比邊研究.

一、教學(xué)目標(biāo)

基本知識：探索中理解反比例函數(shù)概念、兩種不同的函數(shù)表達(dá)形式、自變量的取值范圍.

基本技能：能根據(jù)實(shí)際問題中已知條件找到反比例關(guān)系，列出反比例函數(shù)關(guān)系式，判斷反比例函數(shù)的方法.

基本活動經(jīng)驗(yàn)：從現(xiàn)實(shí)情境和已有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)探索兩個變量之間的相互關(guān)系，即探索人民幣兌換過程中的人民幣面值和張數(shù)存在的規(guī)律即反比例關(guān)系，進(jìn)一步理解常量與變量的辯證關(guān)系，以及反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動變化觀點(diǎn)，經(jīng)過“情景引入”、“分組合作”、“走進(jìn)生活”、“例題講解”等活動，經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程，培養(yǎng)觀察、比較、類比、歸納概括能力和解決實(shí)際問題的能力.從而培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣.

基本數(shù)學(xué)思想：從一次函數(shù)概念中類比出反比例函數(shù)概念，體驗(yàn)類比思想；運(yùn)用反比例函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題，體驗(yàn)函數(shù)的思想.

教學(xué)設(shè)計說明：新課標(biāo)要求學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的“基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”和培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力”，體現(xiàn)了“育人為本”的教育理念，也是創(chuàng)新人才培養(yǎng)的需要.教學(xué)目標(biāo)是課堂教學(xué)的核心和靈魂，是課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，傳統(tǒng)的教學(xué)中只關(guān)注結(jié)果性目標(biāo)（知識技能目標(biāo)），沒有過程性目標(biāo)（數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)），注重學(xué)生對概念的同化，重視概念獲得的結(jié)果.“四基、四能”下的教學(xué)目標(biāo)不應(yīng)是簡單的知識傳授，而是要幫助每一個學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)，使每一個學(xué)生學(xué)會想象，學(xué)會思考.愛因斯坦說過：“想象力比知識重要，因?yàn)橹R是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進(jìn)步，并且是知識進(jìn)步的源泉.”

二、教學(xué)過程

1.情景引入（數(shù)學(xué)來源于生活）

師：數(shù)學(xué)在生活中無處不在.大家看老師手里現(xiàn)有面值為100元、50元、20元、10元的人民幣各一張，你能提出一個關(guān)于這些人民幣的數(shù)學(xué)問題嗎？

生1：100元的可以兌換成2張50元的，50元的可以兌換成5張10元的，20元的可以兌換成2張10元的……

生2：我們生活中還有面值為1元、0.5元和0.1元的人民幣，我們也可以把這些錢兌換成1元、0.5元和0.1元分別是多少張？

師：兩位同學(xué)提出了很實(shí)際的問題，如果把1張面值為100元兌換成面值50元的人民幣，可換幾張？換成面值為20元的人民幣可換幾張？依次換成面值5元、2元、1元、0.5元的人民幣，各可換幾張？現(xiàn)在我們把換得的張數(shù)y與面值x列成一張表格.（學(xué)生齊答）

換成的每張面值為x（元） 50 20 5 2 1 0.5換成的張數(shù)y（張） 2 5 20 50 100 200

請大家仔細(xì)觀察這張表格，面值x和張數(shù)y有怎么變化規(guī)律呢？

生3：當(dāng)100元兌換成面額較小的錢時，兌換的面值由大變小的時候，張數(shù)由少變多.

生4：不管x與y怎么變化，x與y的乘積始終是100.

師：你會用含x的代數(shù)式表示y嗎？變量y是x的函數(shù)嗎？為什么？

生4：yx=100.

（“回顧舊知”）師：想得真周到！那什么是變量、常量、函數(shù)呢？（屏幕展示三個定義進(jìn)行復(fù)習(xí)）我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)和正比例函數(shù)，那么這個函數(shù)是一次函數(shù)或正比例函數(shù)嗎？

生6：不是.

師：哪是什么函數(shù)呢？

生7：（根據(jù)預(yù)習(xí)和前面的醞釀很確定地說）反比例函數(shù).（由此引出課題）

教學(xué)設(shè)計說明：傳統(tǒng)課堂教學(xué)中主要是培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題能力，學(xué)生缺乏創(chuàng)新精神.愛因斯坦說過：提出一個問題比解決一個問題更重要，提出問題比研究問題還重要.人的創(chuàng)造性思維往往都源于對事物觀察后能發(fā)現(xiàn)新的問題，并提出問題和思考.培養(yǎng)學(xué)生“問題意識”是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和能力的前提.教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題”，注意培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的習(xí)慣和思維方法，對于同一個問題都要從不同角度多問幾個“那是什么？”“為什么？”“還能怎么樣？”學(xué)生的問題意識增強(qiáng)了，發(fā)散思維能力也就逐步形成了.本課引入中：老師拿出面值為100元、50元、20元、10元的人民幣各1張，讓學(xué)生觀察后設(shè)問：“你能提出一個關(guān)于這些人民幣的數(shù)學(xué)問題嗎？”從學(xué)生感興趣并熟悉的事物入手，比較適合引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.學(xué)生1提出：100元的可以兌換成2張50元的，50元的可以兌換成5張10元……學(xué)生2提出：把這些錢兌換成1元、0.5元和0.1元分別是多少張？“面積x和張數(shù)y有怎么變化規(guī)律呢？”這個有價值的問題正是這個反比例函數(shù)概念研究的起點(diǎn)和意義.課堂教學(xué)過程中我們應(yīng)該時時刻刻記得鼓勵學(xué)生大膽提出問題，然后仔細(xì)甄別問題價值，認(rèn)真給于評價，讓學(xué)生更有興趣觀察事物、更有信心提出有創(chuàng)意的問題，只有發(fā)現(xiàn)的經(jīng)歷才能形成創(chuàng)新精神和意識.

2.分組合作（探索反比例函數(shù)）

師：模仿一次函數(shù)的定義給反比例函數(shù)下個定義.（課件展示一次函數(shù)的定義）同時思考對于這個反比例函數(shù)我們應(yīng)注意點(diǎn)什么呢？

學(xué)生歸納得到：

（3）自變量取值范圍：x≠0的一切實(shí)數(shù).

3.課堂練習(xí)（火眼金睛識函數(shù)）

練習(xí)一：下列函數(shù)中哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？若是，請指出K的值.

練習(xí)二：當(dāng)函數(shù)y=（m-1）xm2-2是反比例函數(shù)時，m=____.

教學(xué)設(shè)計說明：基本知識和基本技能是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是夯實(shí)常規(guī)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神，形成智慧和能力的前提和基礎(chǔ).這組練習(xí)難度小，大部分學(xué)生都體驗(yàn)到成功的喜悅，加強(qiáng)了反比例函數(shù)概念的理解，歸納得到了判斷反比例函數(shù)的方法：一看解析式（自變量指數(shù)為-1）；二看k是否不為0；三看自變量要有意義；四看函數(shù)值要有意義.要注意對反比例函數(shù)實(shí)質(zhì)的理解，而不是僅僅局限于形式，如中，y是x-1的反比例函數(shù)，而不是x的反比例函數(shù).數(shù)學(xué)知識教學(xué)只有實(shí)現(xiàn)深層的“意義建構(gòu)”，而非表面的“形式模仿”，才能促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)提升，助推學(xué)生的終生成長.數(shù)學(xué)本質(zhì)穩(wěn)定不變、題目形式、條件發(fā)生變化時，要使學(xué)生仍能辨別得請，需重視創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生自我構(gòu)建概念的過程，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)的關(guān)鍵法則.

4.走進(jìn)生活

同桌討論：數(shù)學(xué)來源于生活，請同學(xué)們找出生活中的反比例函數(shù)關(guān)系，并舉例：如：在放學(xué)回家行程問題中，當(dāng)家和學(xué)校之間路程一定時，回家平均速度和回家時間成反比例函數(shù)關(guān)系.（學(xué)生分小組討論交流，提出自己在生活中遇到的例子.代表發(fā)言）

生7：爸爸每次開車去加油站加油，每次加300元，所加的油量與油價成反比例函數(shù)關(guān)系.

…

生8：當(dāng)壓力一定時，壓強(qiáng)與受力面積成反比例函數(shù)關(guān)系.

教學(xué)設(shè)計說明：基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)指基本生活經(jīng)驗(yàn)和活動經(jīng)驗(yàn)的積累，從生活走進(jìn)教材，從教材走進(jìn)社會是新課程的基本理念.數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)大致可以分為：①日常生活中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；②社會科學(xué)文化情境中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)；③從事純粹數(shù)學(xué)活動累積的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

學(xué)生自主探究活動隨著課程改革的開展逐漸受到重視，但是容易演變?yōu)榻處熤噶钪碌摹皥?zhí)行性操作”，數(shù)學(xué)活動絕不等于勞技活動，除了適度培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力以外，更重要的是有力提升學(xué)生的思維水平.真正有效的活動經(jīng)驗(yàn)，不只是感官活動的經(jīng)驗(yàn)，更包含思維活動的經(jīng)驗(yàn)，真正獲得數(shù)學(xué)探究的真實(shí)心得.本課中創(chuàng)設(shè)了“人民幣兌換”，貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理需求.“類比一次函數(shù)概念得到反比例數(shù)學(xué)概念”在這個過程中學(xué)生親身經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)概念過程，并提出有關(guān)概念的問題，不但能讓他們體驗(yàn)到這個概念存在的必然性，也經(jīng)歷了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的理性思維過程.“人民幣引入”、“走進(jìn)生活”使學(xué)生真正體驗(yàn)從實(shí)際背景到抽樣概念的“數(shù)學(xué)化”過程，最后又回到生活，感受反比例函數(shù)研究就來自于生活、生產(chǎn)，服務(wù)于生活，體驗(yàn)實(shí)事求是態(tài)度、理性解決問題的過程.達(dá)到積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)目的.

5.例解講解

師：同學(xué)們都是生活中的有心人呢！科學(xué)總是與數(shù)學(xué)相通的，有一著名的科學(xué)家說過這樣一句話：給我一個支點(diǎn)，我可以撬動地球！是誰呢？

生9：阿基米德.

師：他本想用這句話來解釋物理學(xué)中杠桿平衡原理，今天我們通過一個數(shù)學(xué)問題來解釋杠桿省力原理.

例：阻力為1000N，阻力臂長為5cm.設(shè)動力y（N），動力臂為x（cm）（杠桿本身所受重力略去不計.杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.這個函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？如果是，請說出比例系數(shù).

（2）求當(dāng)x=50時，函數(shù)y的值，并說明這個值的實(shí)際意義.

（3）利用y關(guān)于x的函數(shù)解析式，說明當(dāng)動力臂長擴(kuò)大到原來的n（n>1）倍時，所需動力將怎樣變化.

教學(xué)設(shè)計說明：

（1）理解感悟、靈活運(yùn)用初中數(shù)學(xué)思想方法對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、豐富學(xué)生的思辨智慧極為重要.作為數(shù)學(xué)教師，首先應(yīng)對初中階段所需滲透的基本數(shù)學(xué)思想方法加強(qiáng)認(rèn)識、充分了解，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想、類比思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、樣本估計總體的思想等.注重在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)思想是“教”與“學(xué)”的重點(diǎn)，也是教學(xué)過程的難點(diǎn).本課向?qū)W生滲透了類比、函數(shù)、轉(zhuǎn)化及數(shù)學(xué)建模等的基本數(shù)學(xué)思想和方法.由一次函數(shù)的定義推出反比例函數(shù)定義，類比既是一種邏輯方法，也是一種科學(xué)研究的方法.將例題中物理問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立反比例函數(shù)關(guān)系，研究這個反比例函數(shù)，得出杠桿省力原理.進(jìn)一步感受到函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)生活的一種有效模型.通過例題學(xué)生學(xué)會了用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的基本技能.認(rèn)真鉆研數(shù)學(xué)教材，深入領(lǐng)會編者意圖，努力挖掘概念課中數(shù)學(xué)思想方法的滲透點(diǎn)，并通過自己的精心預(yù)設(shè)，重點(diǎn)引導(dǎo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的逐步展開，向全體學(xué)生扎實(shí)播撒數(shù)學(xué)思想方法的“種子”.立足平常，細(xì)水長流，方可潛移默化、達(dá)成目標(biāo).

（2）我們在努力實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展過程中，不可忽視人的非智力因素在其中的影響，我們希望學(xué)生能積極發(fā)現(xiàn)、提出問題、能認(rèn)真思考全面分析問題、能嚴(yán)謹(jǐn)解決問題，同時又要有對問題保持濃厚的興趣和好奇心，有創(chuàng)新精神、有想象力.只有努力設(shè)置平臺，才能讓這些好的精神能在學(xué)生身上萌發(fā).利用吸引眼球的“人民幣”引入就是激發(fā)他們研究的興趣和好奇心；“類比概念”讓學(xué)生體驗(yàn)了成功，擁有自信心；“走進(jìn)生活”此環(huán)節(jié)所舉例子具有很強(qiáng)的生活色彩，體現(xiàn)了反比例函數(shù)在日常生活生產(chǎn)中的應(yīng)用，同時加深了對反比例函數(shù)的理解，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣.從感性上去理解研究反比例函數(shù)的必要性.例題涉及較多的《科學(xué)》學(xué)科的知識且數(shù)據(jù)繁多關(guān)系復(fù)雜，需要用數(shù)學(xué)模式的變化來理解物理性質(zhì)，對學(xué)生的能力要求較高而且學(xué)生理解問題時有一定的難度，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn).為了分解難點(diǎn)，或者讓他們的心理上能容易接受例題，設(shè)計過渡語激發(fā)他們研究例題的欲望或激情：“有一著名的科學(xué)家說過這樣一句話：給我一個支點(diǎn)，我可以撬動地球！，是誰呢？生：阿基米德.”利用阿基米德的“撬動地球”的歷史故事，很好地激發(fā)了學(xué)生對問題探究的興趣，因此對抽象函數(shù)應(yīng)用產(chǎn)生了無限的興趣和期待.我們?yōu)榱思ぐl(fā)學(xué)生的主動性和積極性，就要千方百計在課堂中設(shè)置有效教學(xué)活動，創(chuàng)造空間和時間，化冰冷的數(shù)學(xué)概念為火熱的思考.也許教育的理想就埋伏于此.概念教學(xué)過程不只是學(xué)科本位、知識本位，而是以人為本，立足于發(fā)展和完善人的高度.

6.歸納小結(jié)

通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？還想知道什么？學(xué)生回顧本節(jié)課的內(nèi)容，代表發(fā)言補(bǔ)充.

7.自我測試（設(shè)計3到5題針對本節(jié)課的練習(xí)題，略）

教學(xué)設(shè)計說明：小結(jié)后“自我測試”環(huán)節(jié)能及時鞏固反比例函數(shù)知識，檢測學(xué)生掌握基本知識、基本技能的掌握情況，畢竟基本知識和基本技能的掌握是實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)的最基本的要求，對培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識的自我校正、自我反饋的意識和能力有一定的作用.數(shù)學(xué)技能指運(yùn)算的技能、推理的技能、作圖的技能，數(shù)據(jù)處理的技能、繪制圖表的技能、使用計算器的技能、數(shù)學(xué)交流等技能.加強(qiáng)基本技能的訓(xùn)練是義務(wù)教育階段的重要目標(biāo).解題的規(guī)范性、準(zhǔn)確性、快速隨著新理念的深入反而被忽視，學(xué)生經(jīng)常因?yàn)闆]有看清題意或者審題不仔細(xì)或者答題不規(guī)范等等導(dǎo)致考試、練習(xí)時失誤.所以在核心概念課組織練習(xí)時，既要關(guān)注正誤，又要認(rèn)真審視學(xué)生在解題過程中真實(shí)呈現(xiàn)的格式與習(xí)慣，并對照教材要求，引領(lǐng)強(qiáng)化，使其形成良好的解題習(xí)慣和數(shù)學(xué)語言表達(dá)習(xí)慣，建立牢固的規(guī)范意識.毫無疑問，對于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)乃至終生發(fā)展而言，規(guī)范意識都不可或缺.

8.教學(xué)基本流程

在數(shù)學(xué)概念課教學(xué)過程中，實(shí)現(xiàn)“四基”是素質(zhì)教育出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).因此概念課教學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方法.我們希望學(xué)生有創(chuàng)造力、想象力、有責(zé)任感，就必須改革學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和教師的教學(xué)方法.傳統(tǒng)的記憶、模仿、接受只能掌握一般的知識，難以培養(yǎng)學(xué)生的各種能力.依據(jù)構(gòu)建主義的學(xué)習(xí)觀，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主動構(gòu)建的主體.整堂課設(shè)計了“數(shù)學(xué)來源于生活”、“回顧舊知”、“探索反比例函數(shù)”、“小組討論”、“火眼金睛識函數(shù)”、“走進(jìn)生活”、“自我測試”等教學(xué)環(huán)節(jié)豐富了課堂活動，既有教師的主導(dǎo)作用引領(lǐng)，又有學(xué)生嘗試自主、合作的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷知識構(gòu)建和發(fā)現(xiàn)的過程，親自經(jīng)歷提出問題、發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)、概括反比例函數(shù)的概念過程，注意培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的習(xí)慣和思維方法，培養(yǎng)了學(xué)生建模的意識、也發(fā)展了數(shù)學(xué)建模的能力.既有自主探索的發(fā)現(xiàn)，也有邏輯演繹的生成.這些活動釋放了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力和學(xué)習(xí)的主動性，學(xué)生從中積累了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，真正感悟或領(lǐng)會到數(shù)學(xué)思想.學(xué)生的推理能力、抽象能力、分析問題和解決問題的能力、想象力和創(chuàng)造力才有可能提升.當(dāng)然有效的活動必須在教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下才會產(chǎn)生.我們?yōu)橛行У幕顒臃e極創(chuàng)設(shè)條件，搭建平坦，不但讓學(xué)生經(jīng)歷概念產(chǎn)生、發(fā)展過程，而且設(shè)置的活動更能體現(xiàn)反比例函數(shù)概念的本質(zhì).

反思的問題：“四基”、“四能”是新的課程目標(biāo)重心，是不是所有的概念課都要“四基”、“四能”為教學(xué)目的呢？所有的概念課都要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程呢？對于新的教學(xué)理論我們抱著學(xué)習(xí)、實(shí)踐的態(tài)度對待它，一定會在某一天能夠形成成熟的教學(xué)模式，優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計，把握新的教學(xué)理念，真正使學(xué)生在參與過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，達(dá)到認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的.

1.裴光亞.初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)：問題探討與教學(xué)改革.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬版），2011.10

2.高峰.如何實(shí)施“因式分解”教學(xué).中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2012.1-2

3.張偉.“真實(shí)性學(xué)習(xí)”下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué).中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）,2011.6