軸對(duì)稱(chēng)在初中數(shù)學(xué)中的靈活運(yùn)用

☉江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 俞 艷

軸對(duì)稱(chēng)在初中數(shù)學(xué)中的靈活運(yùn)用

☉江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 俞 艷

軸對(duì)稱(chēng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)常顯身于歷年的各地中考中，教學(xué)中學(xué)生容易理解，但難以在具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中靈活運(yùn)用，也就成了學(xué)生容易失分之處.如何靈活利用軸對(duì)稱(chēng)來(lái)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？下面通過(guò)例題就這話題談?wù)勼w會(huì).

一、巧借軸對(duì)稱(chēng)求生活中的最短距離

兩點(diǎn)之間線段最短，這是大家都知道的一個(gè)事實(shí).在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們會(huì)遇到求不在一條直線上的兩條或三條線段和的最小值問(wèn)題，要解決這類(lèi)問(wèn)題，可借助軸對(duì)稱(chēng)的相關(guān)知識(shí)，求出距離最短的問(wèn)題.

例1 如圖1，公路m一旁有兩蔬菜生產(chǎn)基地A、B，現(xiàn)要在公路上建一貨物中轉(zhuǎn)站.

（1）若要中轉(zhuǎn)站到A、B兩蔬菜生產(chǎn)基地的距離相等，中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？

（2）若要使中轉(zhuǎn)站到A、B兩基地的距離之和最短，應(yīng)建在何處？

圖1

分析：（1）由“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等”可知蔬菜基地應(yīng)建在AB的垂直平分線上，又因?yàn)樨浳镏修D(zhuǎn)站要建在公路上，所以AB的垂直平分線與公路m的交點(diǎn)就是中轉(zhuǎn)站應(yīng)建的地點(diǎn).（2）如果A、B兩點(diǎn)在直線m的兩側(cè)，連接AB與m的交點(diǎn)即為所求，由于現(xiàn)在A、B兩點(diǎn)在m的同側(cè)，因此可考慮作A點(diǎn)關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可知直線m上任意一點(diǎn)到A、C的距離相等，這樣就把直線m上一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)C的距離，因此連接CB與m的交點(diǎn)即為所求.

解：（1）作AB的垂直平分線交m于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所要求的蔬菜基地的位置.

（2）作點(diǎn)A關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC交m于點(diǎn)D，點(diǎn)D就是所要求的蔬菜基地的位置.

例2 如圖2，已知養(yǎng)牛營(yíng)地在點(diǎn)M處，每天放牛人要趕著牛群到河邊飲水.

（1）請(qǐng)作出從營(yíng)地到河邊飲水的最短路線.

（2）如果飲完水后，再到

草地吃草，然后再次回到營(yíng)地，請(qǐng)作出最短的放牛路線圖.

分析：這是一道生活中的問(wèn)題，根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.（1）可抽象出點(diǎn)到直線的最短距離.（2）可抽象出這樣的數(shù)學(xué)模型：直線a、b間有一點(diǎn)M，試分別在a、b上求出一點(diǎn)M，使M點(diǎn)與這兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)之和最小，要求周長(zhǎng)之和最小，即要求三條線段的和最小，根據(jù)題目意思，可利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題.

圖2

解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MP⊥a于A，MP即為最短路線.

（2）分別作點(diǎn)M關(guān)于a、b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A、B，連接AB分別交a、b于點(diǎn)C、D，則最短的放牛路線為：M→C→D→M.

例3 甲、乙兩個(gè)單位分別位于一條河的兩旁，河的兩岸分別為L(zhǎng)1、L2，現(xiàn)為了方便兩單位的通行方便，準(zhǔn)備合作修建一座橋.（橋必須與河道垂直）.

（1）橋建在何處能使甲、乙到橋的距離相等？

（2）橋建在何處能使甲到乙的路線最短？

解析：（1）作點(diǎn)B關(guān)于河道的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1，連接AB1，作AB1的垂直平分線，與街道靠近A的一側(cè)相交于A1，過(guò)A1建橋即符合要求.

（2）將點(diǎn)A沿豎直向下的方向平移至點(diǎn)A2，使AA2的長(zhǎng)等于河道的寬度，即橋?qū)?，連接A2B與河道靠近B的一側(cè)交于點(diǎn)B2，過(guò)B2點(diǎn)建橋即符合要求.

二、靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求角度、角與角之間的關(guān)系、邊與邊之間的關(guān)系.

圖3

例4 如圖3，把一張矩形紙片ABCD（AD∥BC）沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在C′、D′的位置上，EC′交AD于點(diǎn)G．已知∠EFG=58°，那么∠BEG=_________．

分析：根據(jù)折紙的操作原理可知C點(diǎn)與C′點(diǎn)關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，即EC和EC′關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，所以∠CEF＝∠GEF，再根據(jù)∠EFG和∠CEF的關(guān)系即可求得.

解：根據(jù)折疊原理，可知EC和EC′關(guān)于EF對(duì)稱(chēng).所以∠CEF＝∠GEF.

由AD∥BC，得∠EFG＝∠CEF.

所以∠BEG＝180°－2×∠EFG＝180°－2×58°＝64°.

例5 如圖4，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（ ）.

A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2

C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2（∠1+∠2）

分析：折疊前后的部分關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱(chēng)，分別延長(zhǎng)BE、CD相交于點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′就是點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．連接AA′，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可知直線DE是線段AA′的垂直平分線，所以EA=EA′，DA=DA′.所以∠EAA′=∠EA′A，∠DAA′=∠DA′A.

又因?yàn)椤?= ∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，∠2= ∠DAA′+∠DA′A=2∠DAA′，所以∠1+∠2=2∠EAA′+2∠DAA′=2（∠EAA′+∠DAA′）=2∠DAE.

因此，應(yīng)該選B.

當(dāng)然，軸對(duì)稱(chēng)的運(yùn)用是多維度的，只要在數(shù)學(xué)教學(xué)中把握好思維解決的支點(diǎn)，就能化難為易，運(yùn)用自如.

圖4