一次“失誤 ”的實踐與探究

☉江蘇省海安縣丁所初級中學(xué) 濮建平

一次“失誤 ”的實踐與探究

☉江蘇省海安縣丁所初級中學(xué) 濮建平

一道探究題，當(dāng)我們從另外一個角度分析、思考、探究時，常常就會有新的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們對新的發(fā)現(xiàn)再深入探究時，我們就會認(rèn)識到，這對拓展學(xué)生視野，啟迪學(xué)生思維是很重要的．

一、一次評課，強(qiáng)調(diào)“分別”

近期，學(xué)校組織八年級數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了一次“同課異構(gòu)”教學(xué)活動．

課題：八年級《數(shù)學(xué)》上冊第42頁的探究題：如圖1，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

在組織的評課中各位同仁的觀點不再贅述，筆者的兩點不同觀點：

圖1

（1）數(shù)學(xué)中考題的設(shè)計通常是以基本圖形、重要概念和基本方法為基礎(chǔ)的，學(xué)生憑借數(shù)學(xué)直覺，提煉題目所隱含的圖形、模式、結(jié)論完成的.我們一位老師能升華本課的內(nèi)容，得到如何“在直線上找一點使它到同側(cè)兩點距離之和最小”的數(shù)學(xué)模型或者說模式，是站在初中數(shù)學(xué)的整體高度，能為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

（2）提煉模式，創(chuàng)造模式，運(yùn)用模式是教師提高學(xué)生解題能力的一劑良方，但學(xué)生對模式的理解不到位，前提不清，有時會失誤.這一課，所有的老師都沒提到探究題中的“分別”兩字，這是我們老師的失誤.

二、筆者的實踐：故意“失誤”

為了驗證筆者的觀點，筆者故意失誤，給我的九年級學(xué)生出了這樣一道檢測題：

試題：如圖2，直線MN表示一條河流，在河流的一側(cè)有A、B兩個村莊，A、B兩個村莊到直線MN的距離分別是1km和4km，A、B兩個村莊的距離為5km，現(xiàn)要在MN上修建一個泵站，（此處“分別”兩字丟失）向兩個村莊送水，請問所用管道的最短長度是多少？

圖2

一個優(yōu)生的答題情況：

解∶若A、B兩個村莊共用一條管道，如圖3，排水站建在C處，共用管道長為CA+AB=6km.

若分別送水，如圖4，A′為點A關(guān)于直線MN的對稱點，排水站建在P處，借助于圖5易求得AE=BD－AC=3km，又AB=5km，所以BE=4km，A′E=5km，A′B=km，即所需的管道長度為AP+PB=A′B=km.

圖3

圖4

圖5

一個基礎(chǔ)較差的學(xué)生：CA+AB=6km.

筆者給優(yōu)生這個題目后的評語：你好樣的，這是老師的“失誤”！你審題真仔細(xì)！

筆者給基礎(chǔ)較差的這個學(xué)生的評語：good！你能進(jìn)一步知道為什么嗎？

三、實踐后的探究

為了讓學(xué)生對模型的實質(zhì)有深刻的認(rèn)識，給學(xué)生一個探究的平臺，在試卷講評課上進(jìn)行了有目標(biāo)的、針對性的共同探究：

題目：（河北中考題改編）在一平直河岸l同側(cè)有A、B兩個村莊，A、B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）.現(xiàn)計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水，抽水站建在何處所用管道最短？

圖6

圖7

圖8

教師：如圖6（方案一），若A、B兩村莊共用一條管道，你能用含a的代數(shù)式表示管道長度嗎？

學(xué)生1：d1=（2+a）km.

教師：（方案二）若從抽水站分別向兩個村莊供水，你能畫出P點位置嗎？

學(xué)生畫圖：如圖7，很熟練.

教師：請大家共同討論，能不能用含字母a的代數(shù)式表示管道長度？

教師：同學(xué)們，我們雖然可用含a的代數(shù)式表示管道長度，但究竟采用哪種方案呢！

教師：如果a=4，應(yīng)采用哪種方案？

教師：很好，如果a=6，應(yīng)采用哪種方案？

教師：同學(xué)們，剛才通過取特殊值，已經(jīng)知道采用哪種方案取決于a的值!大家能不能就a（當(dāng)a＞1時）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？小組討論，看能不能解決？

學(xué)生小組討論，教師巡視.

教師：大家準(zhǔn)備用什么方法解決呢？

學(xué)生4：老師，可采用求差法，比較d1和d2的大小，但我求差后無法比較.

教師：很好！當(dāng)不易直接比較兩個正數(shù)的大小時，可以對它們的平方進(jìn)行比較啊！

大家再試一試！

綜上可知：當(dāng)a＞5時，選方案二；當(dāng)a=5時，選方案一或方案二；當(dāng)1＜a＜5時，選方案一.

教師：這位同學(xué)做得太好了，這里用到了求差法，又用到了分類的思想，同學(xué)們可要學(xué)習(xí)呀！通過這道題，我們知道所需管道長短不僅與是否分別向兩個村莊鋪設(shè)管道有關(guān)，還與兩個村莊到河流的距離以及兩個村莊之間的距離有關(guān).現(xiàn)在，老師把這道題改編如下：

改編：在一平直河岸l同側(cè)有A、B兩個村莊，A、B到l的距離分別是akm和bkm，AB=ckm（c＞a－b）.現(xiàn)計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水.抽水站建在何處所用管道最短？

請同學(xué)們課后類比剛才的方法，再探究：a、b、c究竟?jié)M足什么關(guān)系時，采用方案一或方案二的方法送水.

四、結(jié)束語

一道探究題，筆者的故意失誤既讓學(xué)生了解“分別”兩字的重要性，后續(xù)探究又讓學(xué)生拓展了知識的深度，鍛煉了解題思維能力，真是一題值千金.如果我們的數(shù)學(xué)課堂能夠在學(xué)生已有模式解決的問題上，深入挖掘問題的本質(zhì)，不僅能讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，而且能讓學(xué)生活用思想方法，形成思維的發(fā)散性、靈敏性、深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

波利亞指出：“拿一個有意義而又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域”.因此我們在教學(xué)中要善于搭建合適的平臺，引導(dǎo)學(xué)生拾級而上，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，并注意應(yīng)用意識的滲透，這才是真正的素質(zhì)教育，才是數(shù)學(xué)的合理定位.真正的數(shù)學(xué)應(yīng)該教“思考”、教“思維”、教“應(yīng)用”.