對(duì)一道武漢市調(diào)研考試題的研究

☉湖北省陽(yáng)新縣白沙中學(xué) 董才強(qiáng)

對(duì)一道武漢市調(diào)研考試題的研究

☉湖北省陽(yáng)新縣白沙中學(xué) 董才強(qiáng)

著名的數(shù)學(xué)教育家G.波利亞說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過(guò)充分的探討總結(jié)，總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平.”事實(shí)上，許多貌似平凡的問(wèn)題其實(shí)意境幽深，均可成為曲徑通幽處.只要我們做一個(gè)敏銳的探索者，就會(huì)發(fā)現(xiàn)散落于其中的晶瑩的數(shù)學(xué)珍珠.如2011年5月份湖北省武漢市九年級(jí)數(shù)學(xué)調(diào)研考試題：

如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，EF⊥BC，垂足為F.

（1）求證：BF=CD；

（2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直徑.

圖1

一、整合思路，探求解法

本題融幾何證明、計(jì)算于一體，題型較為常見(jiàn)，但是對(duì)學(xué)生而言有一定的難度，主要難在第（1）問(wèn)，不少學(xué)生甚至無(wú)從下手.究其原因，可能是初中學(xué)生對(duì)線段相等的證明習(xí)慣于依賴三角形的全等，思路和方法狹窄單一.其實(shí)證明兩條線段相等的方法有好多種，常用的方法是運(yùn)用“等角對(duì)等邊”或三角形的全等，當(dāng)這兩個(gè)思路行不通時(shí)，不妨尋找相似三角形，再借助比例線段的轉(zhuǎn)化，這樣也能夠證明兩條線段相等；在圓中還可以通過(guò)弦、弧、角（圓心角或圓周角）的相互轉(zhuǎn)化來(lái)證明線段相等.如果學(xué)生對(duì)這些思想方法能夠熟練靈活運(yùn)用，解答此題就輕松自如了.

（1）證法1：構(gòu)造全等三角形.

如圖2，延長(zhǎng)EF交⊙O于點(diǎn)G，連接BG.

由AE是⊙O的直徑，得∠ABC+∠CBE=90°.

由EF⊥BC，得∠BEG+∠CBE=90

圖2

所以AC=BG. ①

所以∠C=∠GBF. ②

由AD是△ABC中BC邊上的高，EF⊥BC，得∠ADC=∠GFB=90°. ③

根據(jù)①、②、③，可得△ADC≌△GFB.

所以BF=CD.

評(píng)注：不少學(xué)生誤認(rèn)為△ADC≌△EFB，在這種錯(cuò)覺(jué)思維的影響下，為尋找這兩個(gè)三角形全等的條件而絞盡腦汁，最終無(wú)功而返，證明失敗.

證法2：應(yīng)用平行線分線段成比例定理.

如圖3，作OH⊥BC，垂足為H，則BH=CH.

由AD⊥BC，EF⊥BC，得EF∥OH∥AD.

又OA=OE，則HD=HF.

所以BH－HF=CH－HD，即BF=CD.

評(píng)注：“過(guò)圓心作弦的垂線段”是圓中一條重要的輔助線，解題時(shí)學(xué)生可能會(huì)想到這一點(diǎn)，但是由于對(duì)平行線分線段成比例定理的變式圖形不熟悉（像圖3這樣的平行線分線段成比例的變式圖形，課本上沒(méi)有，有些教師也未向?qū)W生提及），即使作出了圖3中的輔助線，學(xué)生還是不知道如何下手.

證法3：應(yīng)用相似三角形.

如圖1，由AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，

圖3

評(píng)注：有些學(xué)生在沒(méi)有找到全等三角形后，馬上轉(zhuǎn)向?qū)ふ蚁嗨迫切危贁?shù)學(xué)生證出了結(jié)論.遺憾的是，部分學(xué)生被眾多的比例線段套牢，不能尋找有效的線段比去進(jìn)行溝通和轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致思路和方法正確而證明失敗.

（2）如圖1，根據(jù)題意可知△ACD和△ABD都是直角三角形.

評(píng)注：第（2）問(wèn)比第（1）問(wèn)簡(jiǎn)單許多，部分學(xué)生懂得“跳步作答”，即越過(guò)第（1）問(wèn)直接解答第（2）問(wèn)，做到了“能得分處莫丟分”.

二、深入挖掘，提煉結(jié)論

這道試題的第（2）問(wèn)雖然“其貌不揚(yáng)”，但內(nèi)涵豐富，其間蘊(yùn)含有三角形的一個(gè)美妙性質(zhì).如果覺(jué)得此問(wèn)平淡無(wú)奇而“來(lái)也匆匆，去也匆匆”，一個(gè)重要的結(jié)論恐怕就“藏在深閨無(wú)人識(shí)”了.

概括這道調(diào)考題第（2）問(wèn)的結(jié)構(gòu)特征，我們不難提煉出定理1.

定理1 三角形的任意兩邊之積等于第三邊上的高乘以外接圓直徑.

為不失一般性，這里再以鈍角三角形為例予以證明.

如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，求證：AB·AC=AD·AE.

證明：連接BE.由AE是⊙O的直徑，AD是△ABC中BC邊上的高，得∠ABE=∠ADC=90°.

由A、C、B、E四點(diǎn)都在⊙O上，得∠ACD=∠AEB.

圖4

三、聯(lián)想化歸，靈活應(yīng)用

圖5

例1（2010年黃石中考）如圖5，△ABC內(nèi)接于⊙O，AH⊥BC于H，若AB+AC=12，AH=3，則⊙O的半徑R的最大值為_(kāi)_____.

例2 如圖6，P為⊙O上一點(diǎn)，⊙O的弦AB切⊙P于C，若⊙O和⊙P的半徑分別為5和2，求PA·PB的值.

簡(jiǎn)解：連接PC，則PC⊥AB，即PC是△PAB中AB邊上的高.根據(jù)定理1可得PA·PB=2R·PC，其中2R就是△PAB的外接圓（即⊙O）的直徑.由題意可知R=5，PC=2，所以PA·PB=10×2=20.

例3 在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圓的半徑.

圖6

四、由此及彼，更上層樓

在解答完例3后，心理似乎還不滿足：如果給出的是一個(gè)任意三角形的三條邊長(zhǎng)，怎樣求其外接圓的半徑呢？通過(guò)對(duì)定理1的再思考，得到定理2.

一道普通平凡的試題，孕育著不平凡的方法和結(jié)論，給人帶來(lái)更為深入廣泛的思考.通過(guò)這個(gè)探究過(guò)程，大大拓寬了我們的知識(shí)視野（得到任意三角形的外接圓半徑公式），這是在源源不斷的思考和探索中得到的珍寶.

一滴水可以折射出太陽(yáng)的光輝，一道題能夠散發(fā)出智慧的光芒，解題并不在于多多益善，不斷總結(jié)、反思我們的解題思路和方法，提煉、升華問(wèn)題中的本質(zhì)屬性，對(duì)擴(kuò)大教師的數(shù)學(xué)視野、提高教師的專業(yè)素養(yǎng)大有裨益.