略談新課程背景下高中數(shù)學(xué)教材配套習(xí)題的改革

☉上海市建平中學(xué) 李 堅(jiān)

我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革在數(shù)學(xué)習(xí)題方面改革的方向是：“…突出通性通法，削弱特殊性質(zhì)與運(yùn)算技巧.如大量按類型分類的人為應(yīng)用題，用因式分解等特殊技巧解方程、化減代數(shù)式等繁瑣的運(yùn)算，嚴(yán)密地論證十分復(fù)雜的幾何問題，復(fù)雜的三角恒等式證明，和、差、倍、半角公式的數(shù)值應(yīng)用，用紙筆解某些特殊的超越方程等等”.

與教材配套編寫的練習(xí)及習(xí)題其目標(biāo)有三個方面：

1.再現(xiàn)教材中的公式、定理，以訓(xùn)練學(xué)生鞏固在教材中所學(xué)的知識點(diǎn)的記憶.

2.對學(xué)生進(jìn)行知識點(diǎn)的變式訓(xùn)練，以加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解，掌握知識點(diǎn)的基本應(yīng)用和數(shù)學(xué)基本方法.

3.對學(xué)生所學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行必要的綜合，隱含較強(qiáng)的運(yùn)算技巧，體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)方法和思想，以訓(xùn)練學(xué)生達(dá)到熟練掌握知識點(diǎn)，提高數(shù)學(xué)能力和一般能力.

編制比較好的練習(xí)題可以很好地達(dá)到上面三個目標(biāo)，但編制不好的題目不僅起不到上面的作用，而且會對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生干擾，帶來負(fù)面作用.特別是在當(dāng)前我國社會發(fā)展日新月異、基礎(chǔ)教育的內(nèi)容一改再改的情況下，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)與手段均與以前有很大不同.以前的許多所謂的好題已經(jīng)“老邁”.在這里僅以高一數(shù)學(xué)第二冊第六章三角比為例（華東師范大學(xué)版）.

當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教材與各級測試中所用習(xí)題有以下三個問題值得關(guān)注.

一、解題方法陳舊，過度關(guān)注技能技巧

這種解題思路體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸”的一般數(shù)學(xué)思想，但在解題時首先需要考慮）的符號問題，即判斷角是銳角.其次需要記憶并運(yùn)用兩個公式：sin2x+cos2x=1，cos（arccosx）=x，x∈［-1，1］，由于公式較多，造成學(xué)生解題時思維鏈過長，因而容易產(chǎn)生解題障礙.目前我國高中數(shù)學(xué)教材中三角比公式的記憶要求已經(jīng)大大降低，但同角基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式卻還被要求記憶，難道不記住這些公式，這樣的問題就不能解決了么？

這種解法利用了三角比定義，比前一解法所用數(shù)學(xué)知識更一般，既擺脫了煩瑣的公式記憶與應(yīng)用，又有利于學(xué)生理解“是一個銳角”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于學(xué)生理解反余弦三角比的概念.

圖1

許多材料中會把前一種方法叫“代數(shù)法”，后一種方法叫“幾何法”或“數(shù)形結(jié)合”，而且中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解題方法很強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”，但更多的是把它作為一種解題技巧和方法，是以解決數(shù)學(xué)題目或更簡潔地解決數(shù)學(xué)題目為目的，但在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生解題活動的目的不是為了掌握解題技巧和解題方法，而是為了掌握數(shù)學(xué)概念，形成數(shù)學(xué)思想，這是以解決問題為目的的數(shù)學(xué)家的解題活動與學(xué)生的解題活動最本質(zhì)的區(qū)別.所以教師在教學(xué)過程中向?qū)W生展示哪一種解題方法的依據(jù)不是哪一種方法簡單，而是哪一種方法更有利于學(xué)生理解最基本的數(shù)學(xué)概念，獲得最基本的數(shù)學(xué)思想.

二、題目語言陳舊、不嚴(yán)密

例2 求sin75°的值.

數(shù)學(xué)是一門準(zhǔn)確而嚴(yán)密的學(xué)科，它要求語言要精確表達(dá)，不能造成歧義，此題是為訓(xùn)練學(xué)生掌握公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ而設(shè)計(jì)的，但我們看到題目中并沒有明確要求利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ求，所以，若學(xué)生利用計(jì)算器求sin75°也沒有錯（例題1中也存在這樣的問題），但這顯然背離了命題者的意圖，而這種背離是命題者的錯誤，不是解題者的錯誤.在沒有計(jì)算器以前，學(xué)生只能用公式，這樣敘述還沒有什么問題，但有了計(jì)算器以后，許多本來只能用公式解決的問題可以改用工具（計(jì)算器等）解決，這種敘述就出現(xiàn)問題了.因此，此題更標(biāo)準(zhǔn)的敘述應(yīng)該是：“利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ求下列各三角比”或“求下列三角比的精確值”（若學(xué)習(xí)完二倍角公式后還可以用二倍角公式解決）.

三、各種測試題題量偏大，題目運(yùn)算量偏大，運(yùn)算速度仍然是數(shù)學(xué)測試取得好成績的基礎(chǔ)

例3 在△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,c4-2（a2+b2）c2+a4+a2b2+b4=0.求內(nèi)角C的大小.

此題是為了訓(xùn)練學(xué)生掌握余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的，但在用余弦定理以前，需要學(xué)生把式子變形成［c2-（a2+b2）］2=a2b2，顯然這么復(fù)雜的因式分解不是多數(shù)學(xué)生能夠輕松完成的，此題由于因式分解這一難點(diǎn)，造成出題目標(biāo)與實(shí)際解題效果的背離，并對學(xué)生產(chǎn)生誤導(dǎo)，因?yàn)檫@么復(fù)雜的因式分解沒有必要讓學(xué)生掌握，從而浪費(fèi)學(xué)生大量時間.我們要提高題目的難度，不是增加運(yùn)算的難度，而是應(yīng)當(dāng)增加開放題、探索題、體現(xiàn)時代特點(diǎn)的應(yīng)用題，加大題目中對基本數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想的考查，加大對基本數(shù)學(xué)能力和一般能力的考查.

周雷鳴和胡意香的調(diào)查顯示，浙江奉化一年級（7歲）學(xué)生在15分鐘內(nèi)完成90道100以內(nèi)的加減法運(yùn)算，較差的學(xué)校平均用時9分52秒，平均成績87.4，通過率96%.張奠宙老師以為“我們可能對在校學(xué)生的計(jì)算速度過分苛求了，但對于速度的要求仍是中國數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一.”這種對解題速度的苛求，擠占了學(xué)生動手、動口、動腦及提出和解決實(shí)際問題的時間，使數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新理念無法真正貫徹到教學(xué)實(shí)踐之中，大多數(shù)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)仍然“舊瓶裝新酒”.

傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)的三種基本能力“計(jì)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力”在新課程改革背景下被“數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)符號變換的能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力”所代替.這種替代是社會進(jìn)步的必然，在上世紀(jì)五六十年代，我國沒有計(jì)算機(jī)，科學(xué)研究所需要的大量數(shù)學(xué)運(yùn)算需要人工完成，培養(yǎng)計(jì)算能力是那一時代的需要，到了計(jì)算機(jī)普及的21世紀(jì)，我們再培養(yǎng)速算人才，除了娛樂的需要不再有很大的實(shí)際意義.

課程內(nèi)容要從整體上體現(xiàn)改革的理念和精神，而不僅僅表現(xiàn)在教材中數(shù)學(xué)知識的編排上，與教材中數(shù)學(xué)知識相配套的數(shù)學(xué)習(xí)題是教材的重要組成部分，也應(yīng)當(dāng)與新的課程概念理念與精神相一致，畢竟，學(xué)生是通過做數(shù)學(xué)習(xí)題來掌握數(shù)學(xué)知識的.

1.顧泠沅等.尋找中間地帶——國際教育改革的大趨勢［M］.上海：上海教育出版社，2004.

2.華東師范大學(xué)出版社.高一第二學(xué)期數(shù)學(xué)，第57頁.

3.數(shù)學(xué)（練習(xí)部分）高中一年級第二學(xué)期.華東師范大學(xué)出版社，2000，第21頁（15）.

4.張奠宙，戴再平.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”和開放題問題解決［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，11（4）：1—8.