一種改進(jìn)的非線性MIMO系統(tǒng)魯棒自適應(yīng)反推控制

孫強(qiáng)和， 童止戈

(空軍工程大學(xué)工程學(xué)院，西安 710038)

0 引言

近年來(lái)，反推控制方法受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1］，針對(duì)非線性SISO系統(tǒng)反推控制的研究取得了大量成果［2－4］。對(duì)于非線性 MIMO 系統(tǒng)，由于各狀態(tài)變量和輸入信號(hào)相互耦合，使得其分析和控制復(fù)雜得多。現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)非線性MIMO系統(tǒng)的反推控制問(wèn)題取得了少量研究成果［5－6］，但其設(shè)計(jì)步驟仍類似SISO系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程，其每步設(shè)計(jì)都是相對(duì)標(biāo)量系統(tǒng)進(jìn)行的，不易簡(jiǎn)單推廣到每個(gè)子系統(tǒng)都是多變量的系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中。事實(shí)上，大量的系統(tǒng)具有非線性和多變量特性，例如導(dǎo)彈、飛機(jī)等多變量非線性系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型往往可以轉(zhuǎn)化為每個(gè)子系統(tǒng)都是向量的不確定嚴(yán)反饋非線性MIMO系統(tǒng)。因此，研究子系統(tǒng)為向量形式的多變量不確定非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)意義和重要性［7－8］。

另一方面，盡管文獻(xiàn)［9］通過(guò)引入低通濾波器消除了傳統(tǒng)反推控制固有的“微分爆炸”問(wèn)題，但由于低通濾波器的引入，使得其跟蹤誤差不再收斂到零，而是收斂到一個(gè)較小的殘集內(nèi)，能否引入一種技術(shù)使跟蹤誤差的L∞性能指標(biāo)被保證成為一個(gè)值得研究的內(nèi)容。

基于以上分析，本文就一類子系統(tǒng)為向量形式的不確定嚴(yán)反饋非線性MIMO系統(tǒng)，提出一種改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)反推控制方法。具體方案為在反推過(guò)程中通過(guò)引入一個(gè)低通濾波器，取消控制律中的微分項(xiàng);并且應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近模型的不確定性;同時(shí)，在控制律設(shè)計(jì)中引入一個(gè)自適應(yīng)魯棒控制項(xiàng)來(lái)補(bǔ)償神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差和未知外界干擾的影響，提高系統(tǒng)的魯棒性，使整個(gè)系統(tǒng)獲得更好的跟蹤控制性能。通過(guò)適當(dāng)選擇設(shè)計(jì)參數(shù)及初始化誤差變量，使得跟蹤誤差的L∞性能指標(biāo)被保證。最后，基于Lyapunov穩(wěn)定性定理證明閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界。所設(shè)計(jì)的控制器無(wú)需控制增益矩陣可逆的條件，控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以直接應(yīng)用于導(dǎo)彈、飛機(jī)等多變量非線性系統(tǒng)的控制。

1 問(wèn)題描述

考慮下面一類不確定嚴(yán)反饋非線性MIMO系統(tǒng)

為系統(tǒng)輸出。設(shè)

其中:fi0(·)，gi0(·)為系統(tǒng)的名義值，滿足fi0(0)=0;Δfi(·)，Δgi(·)為存在的不確定性。

控制目標(biāo):設(shè)計(jì)控制律u，消除系統(tǒng)不確定性和外界干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，使輸出y=x1跟蹤期望指令信號(hào)x1c，且具有良好的過(guò)渡過(guò)程品質(zhì)。

2 改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)反推控制律設(shè)計(jì)

本文中使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近未知的非線性不確定函數(shù)項(xiàng)。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，學(xué)習(xí)收斂速度快，能夠逼近任意非線性函數(shù)。給定任意一個(gè)光滑非線性函數(shù)f:ΩZ→Rp，則存在一個(gè) RBF 基函數(shù)向量 ξ:Rq→Rl及理想權(quán)值矩陣 W*∈Rl×p，使得

其中:ε(Z)∈Rp為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，‖ε(Z)‖≤εM，εM為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)。理想權(quán)值矩陣W*取為在緊集ΩZ?Rq內(nèi)使得‖ε(Z)‖最小的W，定義為

系統(tǒng)Σ的不確定非線性函數(shù)向量可表示為

根據(jù)式(5)，系統(tǒng)不確定非線性函數(shù)向量可用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近。

為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，下面的推導(dǎo)過(guò)程將 fi0(·)、gi0(·)和di(·)分別簡(jiǎn)寫為 fi0、gi0和 di。為完成控制器設(shè)計(jì)需做如下假設(shè)。

假設(shè)1 gi0(·)有界，即存在常數(shù) bMi≥bmi＞0，使得 bmi≤‖gi0(·)‖≤bMi。

改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)反推控制器設(shè)計(jì)過(guò)程如下。

1)步驟1，考慮系統(tǒng)Σ的第1個(gè)子系統(tǒng)，定義誤差狀態(tài)向量

式中:e1=［e11，e12，…，e1m1］T，對(duì)其求導(dǎo)得

此時(shí)，不難選取第1個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制律和自適應(yīng)律為

但是，在下述反推設(shè)計(jì)過(guò)程中，將使用x2c的微分信號(hào)，為了避免對(duì)它的解析運(yùn)算，如果選擇

且保證x2c能漸近收斂到，則同樣可以保證e1收斂到0附近的某個(gè)鄰域中。故可考慮通過(guò)低通濾波器來(lái)獲得x2c和，有

式中τ2為濾波器時(shí)間常數(shù)。

2)步驟i，考慮系統(tǒng)Σ的第i個(gè)子系統(tǒng)，定義誤差狀態(tài)向量

式中:ei=［ei1，ei2，…，eimi］T，對(duì)其求導(dǎo)得

選取第i個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制律和自適應(yīng)律為

步驟n:考慮系統(tǒng)Σ的第n個(gè)子系統(tǒng)，定義誤差狀態(tài)向量

式中，en=［en1，en2，…，enmn］T，對(duì)其求導(dǎo)得

選取第n個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制律和自適應(yīng)律為

3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

可見

故

其中:Ci+1(·)是某一連續(xù)函數(shù)。

由式(9)、式(13)、式(16)和式(17)可得ei動(dòng)態(tài)值

應(yīng)用文獻(xiàn)［10］中的引理可推導(dǎo)出

因此，

類似地，

定理考慮式(1)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，定義Lyapunov能量函數(shù)

在滿足假設(shè)1～假設(shè)4的條件下，控制律選擇為式(23)，則對(duì)于任意給定正常數(shù)p，若V(0)≤p，那么存在設(shè)計(jì)參數(shù) ki，τi+1，ρi，σi1，σi2，Γi，γi，使閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界。通過(guò)適當(dāng)選擇設(shè)計(jì)參數(shù)及初始化誤差變量，跟蹤誤差e1可收斂到原點(diǎn)的一個(gè)任意小鄰域內(nèi)，且其L∞跟蹤性能被保證。

證明 V(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，并將式(11)、式(12)、式(18)、式(19)、式(24)和式(25)代入，整理得

由假設(shè)2和定理表述知，對(duì)于任意K0＞0和p＞0，集合

分別是R3和 R4i－1內(nèi)的緊集。那么，Π×Πi也是R4i+2內(nèi)的緊集。因此，‖Ci+1‖在集合Π×Πi內(nèi)存在一個(gè)最大值Mi+1。利用Young’s不等式知，對(duì)于任意μ＞0有

選擇設(shè)計(jì)參數(shù)

則式(37)可表示為

那么，

設(shè)式(11)、式(12)、式(18)、式(19)、式(24)和式(25)中估計(jì)參數(shù)初始值為0，即1，…，n。通過(guò)設(shè)置，n，使ei(0)=0。由式(8)、式(13)、式(14)、式(15)、式(17)、式(20)、式(21)和式(34)知 ei(0)=0，i=1，…，n，

由式(38)和式(39)可得

由上式和式(41)可得

因此，

上式表明，按式(37)適當(dāng)選擇設(shè)計(jì)參數(shù)，使α0足夠大，可使跟蹤誤差e1的L∞跟蹤性能提高。

4 數(shù)值仿真

考慮如下非線性系統(tǒng)

初始狀態(tài)為 x1(0)=x2(0)=［0，－0.2］T，期望信號(hào)為 x1c=［x11c，x12c］T=［0.5(sin t+sin(0.5t))，yr2=sin t］T。

按式(38)選擇控制器參數(shù)k1=k2=10，Γ1=Γ2=diag［10］，γ1= γ2=5，σ11= σ21=1，σ12=σ22=2，ρ1=ρ2=2，τ1= τ2=0.1。參數(shù)初始值為W^i(0)=0，φ^i(0)=0，i=1，2。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)均選為21，高斯函數(shù)中心值在區(qū)間［－1，1］內(nèi)均勻間隔取值，寬度均取為1。

仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 x11控制指令跟蹤過(guò)程Fig.1 x11control command tracking procedure

圖2 x12控制指令跟蹤過(guò)程Fig.2 x12control command tracking procedure

圖3 權(quán)值矩陣的L2范數(shù)Fig.3 L2norm of the NN weights:

圖4 控制律曲線Fig.4 Graph of control law

圖1 和圖2顯示輸出y能很好地跟蹤參考信號(hào)yr;圖3和圖4分別顯示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和控制信號(hào)的有界性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文就一類具有模型不確定性和未知外界干擾的嚴(yán)反饋非線性MIMO系統(tǒng)，提出了一種改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)反推控制方法。該方法具有以下特點(diǎn):1)通過(guò)引入低通濾波器消除了傳統(tǒng)反推設(shè)計(jì)方法中由于對(duì)虛擬控制反復(fù)求導(dǎo)而導(dǎo)致的復(fù)雜性問(wèn)題;2)自適應(yīng)魯棒控制項(xiàng)的引入補(bǔ)償了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差和未知外界干擾的影響，提高了系統(tǒng)的魯棒性，使整個(gè)系統(tǒng)獲得了更好的跟蹤控制性能;3)通過(guò)適當(dāng)選擇設(shè)計(jì)參數(shù)及初始化誤差變量，保證了跟蹤誤差的L∞性能指標(biāo)。最后，通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定性定理證明了閉環(huán)系統(tǒng)的半全局穩(wěn)定性，數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的有效性。

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