量子測(cè)距輔助GPS整周模糊度算法

張 豪， 楊春燕， 張 磊， 王浩程

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077)

0 引言

精密型的GPS信號(hào)接收機(jī)一般都具有偽距和載波相位兩種基本的觀測(cè)量［1］。相對(duì)于偽距觀測(cè)量而言，GPS的載波相位觀測(cè)量能提供非常精確的定位精度。GPS載波相位差分定位利用了基準(zhǔn)站和移動(dòng)站(用戶)之間觀測(cè)誤差的空間相關(guān)性，通過差分的方式除去移動(dòng)站觀測(cè)數(shù)據(jù)中的大部分誤差，從而實(shí)現(xiàn)高精度定位［2］。利用載波相位定位，關(guān)鍵問題就是整周模糊度的解算。對(duì)于GPS載波相位觀測(cè)信號(hào)，在觀測(cè)歷元較少的情況下，位置精度因子變化緩慢，會(huì)導(dǎo)致整周模糊度解算較為困難。許多學(xué)者提出了一些解決的方法，如快速模糊度確定法、模糊度函數(shù)法、最小二乘搜索法、最小二乘模糊度降相關(guān)平方差法(LAMBDA)等，本文使用LAMBDA算法。

量子定位系統(tǒng)(Quantum Positioning System，QPS)是近幾年發(fā)展起來的依靠量子頻率糾纏和壓縮技術(shù)的新型定位技術(shù)，QPS可以突破無線電導(dǎo)航體制的功率和帶寬限制，達(dá)到非常高的定位精度，因此受到很多研究機(jī)構(gòu)的重視。本文研究如何在現(xiàn)有的載波相位差分定位中引入QPS技術(shù)。用以提高載波相位差分定位在短歷元內(nèi)解算整周模糊度的能力，提高定位精度。

1 載波相位觀測(cè)方程

考慮載波相位測(cè)量誤差，則載波相位觀測(cè)方程為［2］

式中:φ為載波相位測(cè)量值;λ為衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)的波長(zhǎng);r為衛(wèi)星與接收機(jī)之間的集合距離;δtu為接收機(jī)鐘差;δt(s)為衛(wèi)星鐘差;I和T分別為對(duì)流層和電離層延時(shí);N為整周模糊度;f為載波頻率;εφ為觀測(cè)噪聲。

用兩臺(tái)接收機(jī)分別放在基線的兩端。其中，一臺(tái)接收機(jī)r作為基準(zhǔn)站，其坐標(biāo)已知，另一臺(tái)接收機(jī)u作為觀測(cè)站。兩臺(tái)接收機(jī)同時(shí)同步地觀測(cè)一顆編號(hào)為i的衛(wèi)星并采集數(shù)據(jù)。對(duì)它們的測(cè)量值做差，得單差觀測(cè)方程為

對(duì)于衛(wèi)星j有類似于上式的觀測(cè)方程。對(duì)兩顆不同的衛(wèi)星的單差方程在此做差，即在站間和星間各做一次差分，得雙差觀測(cè)方程為

相對(duì)定位的目標(biāo)是求解出基線向量bur，如圖1所示，用戶與基準(zhǔn)站到衛(wèi)星i的單差集合距離，等于用戶到基準(zhǔn)站的基線向量bur在基準(zhǔn)站對(duì)衛(wèi)星i觀測(cè)方向上投影的相反數(shù)，即。對(duì)于衛(wèi)星j，類似有。由此可得

再將式(5)帶入式(3)得

圖1 單差和雙差圖Fig.1 Sketch of single difference and double difference

2 整周模糊度解算

式(6)線性化后可概括為［2］

式中:y為接收機(jī)給出的雙差載波相位測(cè)量值向量;Δbur為未知的基線向量;N為需要被求解的雙差整周模糊度向量;A和B為常系數(shù)矩陣。在這里，未知的測(cè)量誤差和噪聲均被忽略。

利用最小二乘法求解該線性方程，即求滿足下式的 Δbur和 N。

式中，QN^N^為模糊度的協(xié)方差矩陣，搜索使目標(biāo)函數(shù)最小的N作為模糊度的最優(yōu)解即為在少數(shù)歷元的觀測(cè)量下進(jìn)行模糊度搜索時(shí)，由于模糊度之間通常具有很大的相關(guān)性，整周模糊度的搜索效果并不理想。為了降低模糊度的相關(guān)性，提高搜索效率，更準(zhǔn)確地確定模糊度，針對(duì)以上的問題，LAMBDA算法利用高斯整數(shù)轉(zhuǎn)化矩陣Z達(dá)到降相關(guān)效果［3－5］，設(shè)降相關(guān)處理后得到的新的模糊度矢量表示為z，相應(yīng)的協(xié)方差陣為有:，使得目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為

式中:χ2表示搜索范圍;為對(duì)角矩陣，設(shè)上式還可改寫為

確定χ2后，根據(jù)上式采取條件最小二乘搜索方法即可確定變換后的整周模糊度。將回代

3 量子輔助

量子測(cè)距是基于量子力學(xué)和量子信息論提出來的一種測(cè)距方法，美國(guó)麻省理工學(xué)院的研究表明，采用具有糾纏壓縮特性的量子脈沖代替?zhèn)鹘y(tǒng)的無線電信號(hào)可大幅提升測(cè)距系統(tǒng)的精度［6－7］，因?yàn)榱孔用}沖傳播時(shí)間的測(cè)量精度取決于其頻譜(脈沖帶寬)和功率(單個(gè)脈沖所包含的光子數(shù))。當(dāng)在每個(gè)脈沖中大量采用具有量子特性的光子時(shí)，脈沖時(shí)延的測(cè)量精度會(huì)大大提高。因?yàn)樵诠庾訑?shù)量密集且頻率糾纏的脈沖中，處于糾纏態(tài)的光子具有較強(qiáng)相關(guān)性，這些脈沖能夠以相近的傳播速率成束到達(dá)，因此增強(qiáng)了信號(hào)，提高了檢測(cè)到達(dá)時(shí)間的準(zhǔn)確程度，進(jìn)而明顯提高了測(cè)距的精度［8］。

量子測(cè)距輔助GPS定位的示意圖如圖2所示，在用戶的短基線范圍內(nèi)建立發(fā)射量子脈沖的信標(biāo)臺(tái)，信標(biāo)臺(tái)和用戶都采用GPS系統(tǒng)時(shí)間，信標(biāo)臺(tái)發(fā)射量子脈沖的時(shí)刻與GPS系統(tǒng)時(shí)間嚴(yán)格同步，假設(shè)所發(fā)射量子脈沖的量子壓縮數(shù)為Cp、糾纏光子數(shù)為Et(采用完全糾纏)，量子傳輸效率為ηen。則發(fā)射r個(gè)量子脈沖之后所能達(dá)到的測(cè)距精度為［9－10］

式中:c為光束;δτ為未采用量子壓縮和糾纏時(shí)單個(gè)光子的定時(shí)誤差。假設(shè)量子信標(biāo)臺(tái)ECEF坐標(biāo)為已知，記其到基準(zhǔn)站和用戶的矢量分別為m和n。則據(jù)圖2可知

圖2 量子測(cè)距輔助GPS定位圖Fig.2 Sketch of GPS positioning aided by quantum ranging

由于基準(zhǔn)站和量子信標(biāo)臺(tái)的坐標(biāo)已知，所以m的確定不依賴用戶的觀測(cè)量，在實(shí)際的量子測(cè)距中不能直接測(cè)出n，而是得到該矢量的長(zhǎng)度，即量子信標(biāo)臺(tái)到用戶的距離。

式中:lK為的真值;δrK為δr在第K個(gè)歷元的取值。而n與lK的關(guān)系為

從上文可知，利用LAMBDA算法求得雙差整周模糊度的固定解和求得該條件下基準(zhǔn)站到用戶的矢量，顯然，此時(shí)的取值是與的某一個(gè)具體取值相對(duì)應(yīng)的，δrK″的大小體現(xiàn)了的誤差大小。為此，由式(17)和式(19)可以設(shè)定判別

比較 ηK和 3σδr，σδr為 δr的均方值。當(dāng) ηK＞3σδr時(shí)，認(rèn)為此時(shí)的取值不符合要求;當(dāng) ηK≤3σδr時(shí)，則認(rèn)為 N的取值符合要求。

4 仿真分析

根據(jù)荷蘭Delft大學(xué)所發(fā)布的載波相位實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，在剔除仰角小于10°的GPS衛(wèi)星數(shù)據(jù)之后，共得到了6顆衛(wèi)星的22個(gè)歷元觀測(cè)數(shù)據(jù)。以第1個(gè)歷元為參考?xì)v元，該6顆衛(wèi)星相對(duì)于用戶的PDOP變化見圖3。

圖3 用戶的PDOP變化Fig.3 The change of PDOP at different epochs

由此可見，在短觀測(cè)歷元下，定位的PDOP變化是很小的，模糊度的相關(guān)性很大，只有采用降相關(guān)手段，減小相關(guān)性以后才能正確解出整周模糊度。在定位解算過程中，選取仰角最大的衛(wèi)星為參考衛(wèi)星，并進(jìn)行后續(xù)的載波相位整周模糊度求解。由于觀測(cè)的歷元數(shù)較小，所以參考衛(wèi)星在整個(gè)定位解算過程中并沒有發(fā)生變化。此外，量子脈沖測(cè)距是通過仿真得到的，而并非實(shí)際數(shù)據(jù)。在總的觀測(cè)歷元內(nèi)，用戶與量子信標(biāo)臺(tái)的相對(duì)距離跟基線距離相比相差不大。

選取如下兩種情況進(jìn)行定位仿真:1)采用LAMBDA算法;2)采用高精度量子脈沖輔助(量子壓縮光子個(gè)數(shù)為2;最大糾纏光子個(gè)數(shù)為5;傳輸效率為98.5%)。兩種情況得到的基準(zhǔn)站到用戶的基線矢量求解結(jié)果誤差分別如圖4、圖5所示。

圖4 基線誤差(采用LAMBDA算法)Fig.4 Baseline error of LAMBDE method

由此可見，在高精度量子脈沖測(cè)距的輔助下，可以有效提高短觀測(cè)歷元內(nèi)的整周模糊度求解準(zhǔn)確性。

圖5 基線誤差(采用量子測(cè)距輔助)Fig.5 Baseline error aided by quantum ranging

5 結(jié)論

利用LAMBDA算法進(jìn)行降相關(guān)處理，可以有效地降低模糊度之間的相關(guān)性。高精度量子測(cè)距可以限制整周模糊度固定解取值范圍，可以有效提高固定解的求解準(zhǔn)確性，因此可以改善短觀測(cè)歷元內(nèi)整周模糊度的準(zhǔn)確求解問題。

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