淺析2011年高考題中幾何圖形變化

☉江蘇省寶應(yīng)縣范水高級中學(xué) 劉 峰 袁先軍

淺析2011年高考題中幾何圖形變化

☉江蘇省寶應(yīng)縣范水高級中學(xué) 劉 峰 袁先軍

縱觀2011年全國各省市高考題，考查幾何圖形位置的變化，由傳統(tǒng)的圖形翻折，發(fā)展到圖形的平移、剪折、滾動(dòng)等.現(xiàn)舉例說明如下.

一、翻折

（1）當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長；

（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為A′C的中點(diǎn)，求證：A′B⊥DE.

評注：本題考查了空間幾何體的體積及空間中的位置關(guān)系等知識，將導(dǎo)數(shù)與函數(shù)思想融于立體幾何題目中，解題時(shí)需具備一定的運(yùn)算能力.

二、平移

例2 如圖2所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A、A′、B、B′分別為弧CD、C′D′、DE、D′E′的中點(diǎn)，O1、O1′、O2、O2′分別為CD、C′D′、DE、D′E′的中點(diǎn).

（1）證明：O1′、A′、O2′、B四點(diǎn)共面；

（2）設(shè)G為AA′的中點(diǎn)，延長A′O1′到H′，使O1′H′=A′O1′，證明：BO2′⊥平面H′B′G.

證明：（1）由題意知A′、O1′、B′、O2′四點(diǎn)共面.

由O1′、O2′分別為C′D′、D′E′的中點(diǎn)，A′、B′分別為弧C′D′、D′E′的中點(diǎn)，得O1′A′∥B′O2′.

O2、B分別為DE、弧DE的中點(diǎn)，連接BO2，則BO2∥B′O2′，可知O1′A′∥BO2，所以O(shè)1′、A′、O2′、B四點(diǎn)共面.

（2）連接AO1，并延長至H，使得O1H=AO1，連接H′H、HB、O2O2′、O1O1′、HO1′，則得長方體HBO2O1-H′B′O2′O1′，所以HO1′∥BO2′，H′B′⊥BO2′.

評注：本題考查直圓柱的結(jié)構(gòu)特征，圓的相關(guān)知識，空間中線面垂直的證明等知識，同時(shí)還考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力等.

三、剪折

例3 請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖3所示，四邊形ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=x（cm）.

（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？

（2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值.

解：設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm

（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，所以當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值.

評注：本題考查數(shù)學(xué)建模、二次函數(shù)的性質(zhì)和最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.