學(xué)生學(xué)習(xí)中使用幾何畫板提升探究能力的實(shí)踐研究

☉上海市老港中學(xué) 王元友

學(xué)生學(xué)習(xí)中使用幾何畫板提升探究能力的實(shí)踐研究

☉上海市老港中學(xué) 王元友

上海市第二期數(shù)學(xué)課程改革讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式發(fā)生了根本性轉(zhuǎn)變，其目的在于構(gòu)建一種自主合作、探究式的學(xué)習(xí)方式.在二期課改理念的指引下，基于提升學(xué)生的探究能力，筆者向上海市浦東新區(qū)教科研室申報(bào)了課題《學(xué)生學(xué)習(xí)中運(yùn)用幾何畫板提升學(xué)生探究能力的實(shí)踐研究》，并且引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用幾何畫板對(duì)部分函數(shù)的性質(zhì)、圖形運(yùn)動(dòng)中的不變性進(jìn)行了實(shí)踐研究，下面將部分研究成果與同行們分享.

一、利用幾何畫板探索函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)數(shù)與形變化的內(nèi)在聯(lián)系

函數(shù)的圖像與性質(zhì)是初中階段教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，利用幾何畫板探索其圖像及性質(zhì)的形成過程，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力，激發(fā)學(xué)生求知的欲望.

案例一：二次函數(shù)圖形形狀、性質(zhì)的探究

函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)就是運(yùn)動(dòng)變化與聯(lián)系對(duì)應(yīng).幾何畫板在這一方面具有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)，利用它作圖可以動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)圖像的變化過程，滿足數(shù)學(xué)教學(xué)中化抽象為形象直觀的要求.函數(shù)的圖像采用描點(diǎn)法，鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力，讓學(xué)生親歷實(shí)踐過程，解決了學(xué)生剛接觸函數(shù)通常作圖的幾個(gè)誤區(qū)：取點(diǎn)過少、取點(diǎn)不具有代表性、描點(diǎn)不準(zhǔn)確，描出圖像不光滑、對(duì)無數(shù)個(gè)點(diǎn)和無限延伸難以理解.利用幾何畫板繪制函數(shù)圖像，通過追蹤點(diǎn)得到函數(shù)圖像的蹤跡動(dòng)畫，通過運(yùn)動(dòng)點(diǎn)讓學(xué)生清楚看到點(diǎn)動(dòng)成線的動(dòng)態(tài)過程.下面以二次函數(shù)圖像的繪制過程為例說明學(xué)生學(xué)習(xí)中使用幾何畫板的過程.

作出 y=0.3（x-1.00）2-5.0 的圖像.

如圖學(xué)生通過《幾何畫板》只需拖動(dòng)填表、描點(diǎn)、連線所對(duì)應(yīng)的手型圖，即可完成列表、描點(diǎn)、連線等過程，繪制出給定的二次函數(shù)的圖像；而改變a、h、k的值，即可歸納總結(jié)出a的符號(hào)決定二次函數(shù)的開口方向和大小，h的值決定對(duì)稱軸的位置，h，k的值決定頂點(diǎn)的位置等.經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣濃厚了，進(jìn)一步掌握了二次函數(shù)的圖像特征，對(duì)二次函數(shù)及函數(shù)的本質(zhì)理解更深.

案例二：二次函數(shù)圖形運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探究

在“二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像”一節(jié)中，如何向?qū)W生說明y=ax2、y=ax2+c、y=a（x-m）2、y=a（x-m）2+c等4個(gè)特殊的二次函數(shù)圖像的性質(zhì)及相互關(guān)系一直是傳統(tǒng)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生難以理解，教師也難以用文字語言說明.讓學(xué)生自己利用《幾何畫板》進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，如圖通過《幾何畫板》只需用鼠標(biāo)上下拖動(dòng)點(diǎn)改變a、h、k的值，即可獲得y=ax2、y=ax2+c、y=a（x-m）2、y=a（x-m）2+c等函數(shù)圖像和性質(zhì)，在a、h、k的變化過程中進(jìn)一步體會(huì)到a、h、k的大小對(duì)于二次函數(shù)圖像的形狀的影響，加深對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解.并且拖動(dòng)點(diǎn)M，利用《幾何畫板》反復(fù)動(dòng)態(tài)演示y=ax2、y=ax2+c、y=a（x-m）2、y=a（x-m）2+c等函數(shù)圖像的相互變換，學(xué)生便可比較順利地掌握二次函數(shù)的圖像平移規(guī)律的知識(shí)難點(diǎn)，歸納總結(jié)二次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減、左加右減.如圖2進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生拖動(dòng)點(diǎn)W，還可以演示二次函數(shù)都是軸對(duì)稱圖形這個(gè)對(duì)稱性規(guī)律，類似的我們還可以引導(dǎo)學(xué)生歸納二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)與翻折的規(guī)律.

類似的，初中階段的其他函數(shù)如正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)均可以采用類似的學(xué)生學(xué)習(xí)中自主運(yùn)用幾何畫板進(jìn)而總結(jié)它的圖像、性質(zhì)等規(guī)律.

學(xué)生學(xué)習(xí)中運(yùn)用幾何畫板的實(shí)踐操作，可以讓學(xué)生在實(shí)踐中感知，讓學(xué)生通過自己的努力解決問題獲取知識(shí)，教師再引導(dǎo)學(xué)生到實(shí)際中驗(yàn)證.這樣，學(xué)生對(duì)知識(shí)就會(huì)有更深入的理解，探究能力得到進(jìn)一步提升.

二、利用幾何畫板探索圖形運(yùn)動(dòng)過程中的變與不變性

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用幾何畫板感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，進(jìn)而在已有的知識(shí)上猜想結(jié)論，發(fā)現(xiàn)定理，可以提升學(xué)生的探究能力，感受到圖形運(yùn)動(dòng)過程中的變與不變性.

案例三：三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)過程

如在“三角形內(nèi)角和為180°”的定理的講解過程中，不是直接證明定理，而是結(jié)合《幾何畫板》中的角的度量的功能，讓學(xué)生隨意畫一個(gè)三角形，度量出每一個(gè)角的大小，求出三個(gè)角的和，猜想出三角形內(nèi)角和為180°這一命題，再讓學(xué)生自己拖動(dòng)點(diǎn)A、B、C去感悟：點(diǎn)A、B、C運(yùn)動(dòng)過程中變化的是∠ABC，∠BAC，∠ACB的大小，不變的是ΔABC的內(nèi)角和的度數(shù)，永遠(yuǎn)為180°，然后再用平行線知識(shí)去證明.這樣的實(shí)踐，首先學(xué)生情感上容易接受這一知識(shí)點(diǎn)，其次體現(xiàn)了數(shù)學(xué)前后知識(shí)的聯(lián)系，最重要的是，學(xué)生運(yùn)用幾何畫板的度量功能快速提升了他們的探究能力，即直接發(fā)現(xiàn)結(jié)論的能力.

案例四：中點(diǎn)四邊形的再探究

“順次連接四邊形（或平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）各邊中點(diǎn)所得的四邊形是什么形？”這是一道常見的探究性題目，很多用傳統(tǒng)方法來講，要在黑板上畫出大量圖形，而且很難講清楚.基于本題的探究性較強(qiáng)的特征，故制作了幾何畫板課件，動(dòng)態(tài)地展示了當(dāng)四邊形變?yōu)椤捌叫兴倪呅?、矩形、菱形、正方形、等腰梯形”時(shí)，順次連接四邊形（或平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）各邊中點(diǎn)所得的四邊形的變化情況，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)其變化的本質(zhì)進(jìn)而總結(jié)了規(guī)律：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，對(duì)角線垂直且相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.

又如三角形中位線的學(xué)習(xí)過程，畫出一個(gè)三角形的中位線后，利用度量功能，量出中位線與第三邊的長度，比較數(shù)據(jù)后得出“三角形的中位線等于第三邊的一半”這個(gè)結(jié)論，使學(xué)生覺得心服口服.有學(xué)生甚至把我的課件拷回家自己研究，實(shí)驗(yàn)，得出了相同的結(jié)論，既提高了自己的動(dòng)手能力，又增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.幾何畫板的動(dòng)態(tài)性，可以讓學(xué)生獲得真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不是數(shù)學(xué)結(jié)論.

學(xué)生利用《幾何畫板》工具把靜態(tài)的知識(shí)動(dòng)態(tài)化，抽象的知識(shí)具體化，親身體驗(yàn)，自主探索，在學(xué)中嘗試，在嘗試中學(xué)，激發(fā)創(chuàng)新思維，提升了思維活動(dòng)的層次，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本素質(zhì).

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：要讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程.只有學(xué)生通過自己的親身感受、自我探索獲得的知識(shí)，才會(huì)根深蒂固地扎根在腦海中.“學(xué)生學(xué)習(xí)中使用幾何畫板”的核心就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來，這樣可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，獲得知識(shí)，理解概念，探求規(guī)律與方法，提升自己的探究能力，尤其是解題的能力.