S域初值定理與終值定理教學(xué)方法探討

周 城，候建華，熊承義，劉 玉

(中南民族大學(xué)電子信息工程學(xué)院，湖北武漢 430074)

0 引言

在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的教學(xué)中，連續(xù)系統(tǒng)的S域分析占有重要的地位，在微分方程求解、電路分析等領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用。而S域分析的要點(diǎn)在于掌握拉普拉斯變換及其性質(zhì)。

本課程中，普拉斯變換的重要性質(zhì)包括尺度變換、時(shí)移、頻移、微分、積分、卷積，初值定理與終值定理。與其他性質(zhì)相比較，初值定理與終值定理始終是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。從物理意義上來說，兩個(gè)定理是連續(xù)信號(hào)的時(shí)域與復(fù)頻域之間的橋梁，反應(yīng)了兩者之間相互轉(zhuǎn)換的規(guī)律。而多數(shù)教材與參考書均采用直接給出定理的使用條件和證明過程的敘述方式，并未解釋為何使用定理時(shí)需要條件的限定，而且在證明過程中，往往回避了連續(xù)信號(hào)中含有沖激函數(shù)項(xiàng)的情況。這樣的處理方式割裂了定理使用條件和定理內(nèi)容之間的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到十分困惑。

筆者所在的教研組通過“信號(hào)與系統(tǒng)”省級(jí)精品課程的多年講授，對(duì)這兩則定理已摸索出一套較好的教學(xué)方法。該方法首先從兩個(gè)定理的使用條件出發(fā)，分析特定象函數(shù)的拉普拉斯逆變換;其次引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理使用條件與定理本身之間的關(guān)聯(lián);最后再給出定理的嚴(yán)格證明。即先從頻域到時(shí)域進(jìn)行引導(dǎo)，再從時(shí)域到頻域證明。通過這樣的教學(xué)方式，能夠讓學(xué)生加深定理的理解，真正讀懂教材的內(nèi)涵。

1 定理的知識(shí)點(diǎn)分析

S域初值定理定義如下:

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)不含δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，且有

則初值定理可表達(dá)為

S域終值定理定義為:設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)當(dāng)t→∞時(shí)的極限存在，且有

則終值定理可表達(dá)為

式(2)與式(4)說明，當(dāng)滿足一定使用條件時(shí)，可由S域的象函數(shù)直接得到時(shí)域連續(xù)函數(shù)f(t)的初值和終值。

現(xiàn)有教材一般直接給出了定理的使用條件和證明過程，而并未說明定理為何采用這樣的使用條件。另外各類教材的知識(shí)點(diǎn)安排并不適合定理教學(xué)。如教材［1］將兩個(gè)定理的教學(xué)內(nèi)容安排在第五章“連續(xù)系統(tǒng)的S域分析”的第2節(jié)“拉普拉斯變換的性質(zhì)”之中。此時(shí)學(xué)生雖可了解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的拉普拉斯變換定義，但對(duì)S域系統(tǒng)函數(shù)、零極點(diǎn)分析等概念并不了解。教材［2］和［3］的情況類似。教材［4］將S域分析內(nèi)容安排在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)的傅里葉變換之后，并且將初值/終值定理的教學(xué)內(nèi)容安排在S域分析的靠后部分，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)充分理解系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)零極點(diǎn)的概念，這對(duì)理解定理很有幫助。但遺憾的是該教材僅僅給出了這兩個(gè)定理，并未完成證明。

2 初值定理的教學(xué)方法

2.1 初值定理使用條件的解析

初值定理使用條件是要求連續(xù)函數(shù)f(t)不含沖擊函數(shù)δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，或者象函數(shù)F(s)為真分式。為幫助學(xué)生理解這一點(diǎn)，可先給出兩道例題，讓學(xué)生體會(huì)使用條件與定理之間的關(guān)聯(lián)。

［例1］已知因果函數(shù)f(t)的象函數(shù)為:F(s)=1/(s+2)，根據(jù)初值定理求其初值f(0+)。

解:該象函數(shù)滿足初值定理的使用條件，故有

由該例可以看出，當(dāng)象函數(shù)為真分式時(shí)，根據(jù)初值定理可直接由象函數(shù)得出函數(shù)的初值。

［例2］已知因果函數(shù)f(t)的象函數(shù)為F(s)=(s2+s+1)/s，根據(jù)初值定理求其初值f(0+)。

解:該象函數(shù)不滿足初值定理的使用條件，若直接使用初值定理得

顯然，會(huì)得出初值f(0+)不存在的錯(cuò)誤結(jié)論。下面可用F(s)的逆變換進(jìn)行驗(yàn)證

從中上式可以看出當(dāng)F(s)為假分式時(shí)，其原函數(shù)中含有沖擊函數(shù)項(xiàng)，但此時(shí)函數(shù)的初值存在，f(0+)=1。若剔除掉f(t)中的沖擊函數(shù)項(xiàng)，則可使用初值定理求出初值，此時(shí)可令F1(s)=1/s，則有

至此，學(xué)生可意識(shí)到定理與使用條件之間的聯(lián)系，下面可通過嚴(yán)格證明來解釋此問題。

2.2 連續(xù)函數(shù)中含有沖擊函數(shù)項(xiàng)時(shí)的解析

考慮連續(xù)函數(shù)f(t)中含有沖擊函數(shù)δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)的情況。下面首先證明沖擊函數(shù)項(xiàng)對(duì)f(t)的拉氏變換在0－到0+變化時(shí)所造成的影響。

［例3］我們現(xiàn)在來證明連續(xù)函數(shù)f(t)中含有沖擊函數(shù)項(xiàng)時(shí)，有

證明:此時(shí)不妨設(shè)f(t)為

其中，a和b為常數(shù)，而f0(t)不含沖擊函數(shù)與階躍函數(shù)項(xiàng)。因此f0(t)在0－到0+上是連續(xù)函數(shù)。容易觀察出f(t)從0－到0+變化時(shí)只在階躍函數(shù)上發(fā)生了跳變:

下面對(duì)f(t)求一階導(dǎo)數(shù)，并在0－到0+區(qū)間上計(jì)算其拉氏變換積分，有

由于f0(t)在0－到0+上是連續(xù)函數(shù)，故有

又根據(jù)沖擊函數(shù)的廣義函數(shù)定義［1］，有

聯(lián)合式(12)可得

從證明過程中可以看出，兩者不相等的原因在于f(t)中含有沖擊函數(shù)項(xiàng)，因此可得到對(duì)應(yīng)結(jié)論，即f(t)中不含有沖擊函數(shù)項(xiàng)時(shí)，下式成立:

2.3 初值定理的證明

以式(14)為條件，可容易證明當(dāng)f(t)中不含有沖擊函數(shù)項(xiàng)時(shí)，式(2)所描述的初值定理成立。

由拉氏變換的時(shí)域微分性可知

計(jì)算式(15)左邊的單邊拉氏變換有

代入式(14)有

與式(15)聯(lián)立得

從而初值定理得證，這也充分說明了其使用條件中為何要求f(t)不能含有沖擊函數(shù)項(xiàng)的原因。

需要指出，從上述證明過程中容易得到如下初值定理的一個(gè)加強(qiáng)使用條件:

當(dāng)f(t)中含有沖擊函數(shù)項(xiàng)時(shí)，即其象函數(shù)F(s)為假分式時(shí)，可通過長除法將F(s)轉(zhuǎn)換為真分式F0(s)，再使用初值定理:

其原理在于f(t)中的沖擊函數(shù)項(xiàng)只在0時(shí)刻這一瞬間存在，并不會(huì)影響其時(shí)域初值f(0+)，此時(shí)的初值可由其象函數(shù)中的真分式部分確定，例2即為實(shí)例。

3 終值定理的教學(xué)方法

3.1 終值定理使用條件的解析

終值定理的使用條件是連續(xù)函數(shù)f(t)當(dāng)t→∞時(shí)的極限存在，或者s=0在sF(s)的收斂域內(nèi)［1］。由于多數(shù)教材將該內(nèi)容安排在系統(tǒng)函數(shù)與極零點(diǎn)分析之前，給學(xué)生的理解造成了一定困難。在處理該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合已學(xué)的收斂域知識(shí)，先通過幾個(gè)特例，引導(dǎo)學(xué)生思考定理使用條件。

［例4］考慮下列因果函數(shù)的象函數(shù)能否利用終值定理計(jì)算其終值。

(1)F1(s)=1/(s+2)，Re［s］＞ －2;

(2)F2(s)=1/s，Re［s］＞ 0;

(3)F3(s)=s/(s2+1)，Re［s］＞ －2;

(4)F4(s)=1/(s－2)，Re［s］＞2。

解:(1)求F1(s)的逆變換可得

(2)求F2(s)的逆變換可得

(3)求F3(s)的逆變換可得

可觀察出其終值不固定，故不存在，此時(shí)用終值定理試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)

說明不滿足定理使用條件時(shí)，得到了錯(cuò)誤結(jié)果。

(4)求F4(s)的逆變換可得

可觀察出其終值趨近于無窮，故不存在，此時(shí)用終值定理試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)

說明不滿足定理使用條件時(shí)，得到了錯(cuò)誤結(jié)果。

我們可以通過上述四個(gè)例題看出:在已知f(t)為因果函數(shù)的前提下:①當(dāng)收斂域包含S域虛軸時(shí)，s=0在sF(s)的收斂域內(nèi)，滿足終值定理使用條件;②當(dāng)收斂域剛好在虛軸上時(shí)，只有階躍函數(shù)ε(t)的終值存在，還可通過象函數(shù)F(s)=1/s2進(jìn)行驗(yàn)證;③當(dāng)收斂域不包含虛軸時(shí)，時(shí)域函數(shù)一般為發(fā)散函數(shù)，終值肯定不存在，也就無法使用終值定理。需要指出，在學(xué)習(xí)了零極點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)之后再來考慮該問題就要簡便很多。

3.2 終值定理的證明

終值定理的使用條件實(shí)際上隱含了上述分析。以教材［1］為例，其使用條件為函數(shù)f(t)當(dāng)t→∞時(shí)極限存在，且滿足 f(t)F(s)，Re［s］＞ σ0，其中σ0＜0，即說明收斂域包含了虛軸。此時(shí)取式(16)兩邊s→0的極限可得

需要指出，終值定理的使用條件與初值定理不同，只要終值存在，即收斂域滿足使用條件即可。當(dāng)F(s)為假分式時(shí)，同樣可以使用定理，如例2中，可直接應(yīng)用終值定理得到

可見，終值與逆變換f(t)=δ'(t)+δ(t)+ε(t)是一致的。

4 結(jié)語

初值定理與終值定理是“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的S域分析教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，理解相應(yīng)的使用條件是掌握兩個(gè)定理的關(guān)鍵。通過改進(jìn)教學(xué)方法，先解析定理的使用條件，引導(dǎo)學(xué)生思考兩者之間的聯(lián)系，再講解定理的證明，可讓學(xué)生透徹理解教學(xué)內(nèi)容，為系統(tǒng)函數(shù)與極零點(diǎn)分析等后續(xù)知識(shí)點(diǎn)打好基礎(chǔ)。Z域分析的初值定理和終值定理教學(xué)同樣可參考本文的方法。

［1］ 吳大正.信號(hào)與線性系統(tǒng)分析［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2005

［2］ 鄭君里等.信號(hào)與系統(tǒng)［M］.第2版.北京:高等教育出版社，2000

［3］ 管致中等.信號(hào)與線性系統(tǒng)［M］.第4版.北京:高等教育出版社，2004

［4］ 奧本海姆等.信號(hào)與系統(tǒng)［M］.第2版.西安:西安交通大學(xué)出版社，1998