基于小波包和奇異值的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法研究

楊 斌

（中國人民解放軍第二炮兵工程大學(xué)裝備管理工程系 陜西 西安 710025）

0 前言

NE Huang提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[1-2]是一種新的信號時(shí)頻處理方法，由于其較高的頻率分辨率、良好的自適應(yīng)性，在機(jī)械故障診斷、地球物理探測、醫(yī)學(xué)分析、圖像處理等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。由于工程信號中往往存在著隨機(jī)噪聲干擾，嚴(yán)重影響了EMD分解質(zhì)量。因此，對信號進(jìn)行降噪處理再進(jìn)行EMD分解是十分必要的。

苑宇[3]等提出基于吸引子SVD降噪的改進(jìn)EMD法，但該方法在處理強(qiáng)隨機(jī)信號時(shí)效果不甚理想。徐峰[4]等提出中值濾波和奇異值分解聯(lián)合降噪方法，取得了一定的的效果，但是該方法對窄帶脈沖的效果不理想。郝如江等[5]利用形態(tài)濾波對信號濾波消噪，再利用EMD提取故障特征，但該方法受噪聲影響較大。柏林等[6]利用小波—形態(tài)組合方法對信號進(jìn)行預(yù)處理，取得了較好的效果，但是由于離散小波對尺度采用的是過于粗糙的二進(jìn)制離散方式，因此無法細(xì)致地刻畫信號。

基于以上原因，本文提出一種基于小波包和奇異值分解的故障特征提取方法。該方法以小波包奇異值作為EMD濾波單元，對信號濾波消噪后再進(jìn)行EMD分解，利用IMF提取故障特征信息。

1 噪聲對EMD的影響

EMD基本原理：

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解是通過篩分的方法把復(fù)雜信號分解為一組具有明確物理意義的本征模態(tài)函數(shù) （Intrinsic Mode Function，IMF）之和。要得到本征模態(tài)函數(shù)應(yīng)滿足以下兩個(gè)條件[7-8]：

（1）對于原信號序列極值點(diǎn)和過零點(diǎn)數(shù)目必須相等或至多差一個(gè)；

（2）由極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)構(gòu)成的信號序列上下包絡(luò)線的均值為0。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法基本步驟如下[9-10]：

用三次樣條插值函數(shù)將信號x(t)的所有局部極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)插值擬合成信號序列的上下包絡(luò)線，計(jì)算上下包絡(luò)線均值h(t)，記：

重復(fù)第一步直到m(t)滿足IMF的要求，得到一階IMF，記為：

用原信號 x(t)減去 c1(t)，得到一個(gè)新信號 r1(t)，視 r1(t)為新的信號。重復(fù)以上過程，得到 c2(t)，c3(t)，…，cn(t)。當(dāng) cn或 rn(t)滿足分解終止條件時(shí)，EMD分解停止。原信號可表示為：

式中，rn（t）是信號的殘余分量，表征信號的變化趨勢。

當(dāng)原信號中混入高頻噪聲分量，高頻噪聲分量的存在將改變原信號極值點(diǎn)的時(shí)間特征尺度信息，由于EMD算法是基于極值點(diǎn)時(shí)間特征尺度提取本征模態(tài)函數(shù)，因此混入的高頻間斷分量將被視為當(dāng)前的高階模態(tài)分量分解到本征模態(tài)函數(shù)中，致使原信號的高階模態(tài)分量不能完全分解到當(dāng)前的本征模態(tài)函數(shù)中，殘余的高階模態(tài)分量將會(huì)混入到其它本征模態(tài)函數(shù)中，造成各階本征模態(tài)函數(shù)中均含有不同時(shí)間特征尺度的模態(tài)分量，最終造成模態(tài)混疊。下面以仿真信號為例說明噪聲信號對EMD分解的影（圖1）。仿真信號如下：

從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，對于含有高頻噪聲的信號直接進(jìn)行EMD分解后將會(huì)不可避免的產(chǎn)生模態(tài)混疊問題，圖中各階IMF產(chǎn)生了嚴(yán)重的模態(tài)混疊，各信號分量嚴(yán)重失真。

圖1 z(t)直接EMD結(jié)果

2 小波包和奇異值基本原理

2.1 小波包降噪理論

小波包降噪原理是根據(jù)噪聲與信號在各尺度上的小波包系數(shù)具有不同特性的特點(diǎn)，去除噪聲分量占主導(dǎo)地位的尺度上的噪聲小波分量，保留的小波包系數(shù)為原始信號的小波包系數(shù)，然后重構(gòu)原始信號。小波包降噪步驟為：

（1）選擇小波及小波分解的層次j。

（2）對于一個(gè)給定的熵標(biāo)準(zhǔn)，確定最佳小波包基。

（4）對閾值處理后的小波包系數(shù)進(jìn)行小波包重構(gòu)。

2.2 奇異值降噪理論

令 A 是 m×n(假定 m×n)矩陣，秩為 r（r≤n）,則存在 n×n正交陣V和m×n正交陣U,使得UTAV＝∑，式中∑是m×n的非負(fù)對角陣。

對含噪信號 s（i）（i＝1，2，3，…N－1），構(gòu)造重構(gòu)矩陣 X

對X進(jìn)行奇異值分解，X包含源信號和噪聲信號，矩陣X的奇異值集中體現(xiàn)了信號和噪聲的集中程度。前t個(gè)較大奇異值主要反映源信號，其余奇異值主要反映噪聲信號。將反映噪聲信號的奇異值置零，利用式（6）進(jìn)行重構(gòu)矩陣估計(jì)，將矩陣中相應(yīng)的項(xiàng)相加，取平均值還原出信號。

3 基于小波包和奇異值的EMD原理

3.1 基本原理

從小波包降噪原理來看，小波包降噪可以有效保留有用信號中的高頻成分，但是小波包降噪效果的優(yōu)劣直接與閾值選取有關(guān)。利用奇異值降噪后可以有效保留原信號中的固有成分，除去噪聲信號的特點(diǎn)?？梢岳闷娈愔捣纸庠韺π〔ò纸夂蟮母哳l系數(shù)進(jìn)行量化處理。對量化后的小波包系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)即可濾去原信號中的噪聲成分。以s(t)信號為例，根據(jù)信號的特點(diǎn)選取合適的小波基函數(shù)，確定小波包分解層次N（本文假定為3），如圖1所示。本文提出的改進(jìn)算法具體步驟如下：

（1）以s(t)信號為例，根據(jù)信號的特點(diǎn)選取合適的小波基函數(shù)，確定小波包分解層次N；（2）對小波包系數(shù)進(jìn)行軟閾值量化后進(jìn)行小波包重構(gòu)；（3）對重構(gòu)后的小波包信號構(gòu)造奇異值矩陣，按照式（13）進(jìn)行奇異值降噪處理；

（4）對降噪后的信號進(jìn)行EMD，得到去除高頻噪聲信號的各階IMF。

3.2 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法抑制模態(tài)混疊的有效性，用式（4）的仿真信號驗(yàn)證本方法的有效性。采用本文改進(jìn)的EMD算法結(jié)果如圖2所示，信號中的三個(gè)頻率分量都被有效的分離出來，各階IMF與信號中的各分量基本一致，分解得到的殘余分量符合信號的變化趨勢。圖3是奇異值EMD結(jié)果，圖中各階IMF雖然都被分解出來，但是IMF1和IMF2都發(fā)生了明顯的混疊現(xiàn)象，信號有一定的失真。綜合比較，本文提出的小波包奇異值算法效果更好。

圖2 小波包奇異值EMD結(jié)果

圖3 奇異值EMD結(jié)果

4 結(jié)論

針對應(yīng)用EMD處理非線性、非平穩(wěn)信號時(shí)噪聲對EMD的影響，在分析現(xiàn)有方法的基礎(chǔ)上，提出基于小波包和奇異值的改進(jìn)算法。該方法對含噪聲信號先進(jìn)行小波包分解，對分解后的信號重構(gòu)奇異值矩陣，最后進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解。該方法能有效的抑制噪聲對EMD分解的影響，提高了分解精度。通過仿真計(jì)算表明了本方法的有效性。

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