漸開線圓柱齒輪MATLAB建模及其有限元網(wǎng)格的自動(dòng)劃分①

鄭 旖， 張為民

(同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院，上海200240)

0 引言

齒輪是機(jī)械傳動(dòng)中的重要零件.例如在轉(zhuǎn)向器中，由轉(zhuǎn)向軸帶動(dòng)小齒輪旋轉(zhuǎn)，同時(shí)和齒輪嚙合的齒條做直線運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)向.因此對(duì)齒輪的受力和運(yùn)動(dòng)分析顯得尤為重要.近年來用有限元方法對(duì)齒輪和齒條進(jìn)行分析和仿真得到了廣泛的應(yīng)用.在使用有限元分析是首先要在齒輪表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分.

由于齒輪齒型表面等幾何要素通?？捎脭?shù)學(xué)解析式來表達(dá)，在進(jìn)行機(jī)械特性等分析時(shí)，可以不依賴于昂貴專用的UG，Pro－e等三維建模軟件.本文利用Mathworks公司的Matlab軟件應(yīng)用面向?qū)ο蟮木幊谭椒?，可以在不修改程序的基礎(chǔ)上生成齒面輪廓不同的齒輪的網(wǎng)格，從而大大提高網(wǎng)格生成的效率.所開發(fā)軟件具有將生成的節(jié)點(diǎn)和三角形單元數(shù)據(jù)寫入STL或者SHL格式的文件中的功能，從而使得該有限元網(wǎng)格可導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)及受力分析，實(shí)現(xiàn)從建模到仿真的數(shù)據(jù)一致性.

1 漸開線圓柱齒輪單齒的齒形

最常見的齒輪為漸開線圓柱齒輪.一般的漸開線齒輪的單齒平面齒形如圖1所示.

CD為齒頂圓弧，BC和DE為漸開線，AB和EF為齒根圓弧.

1.1 漸開線的參數(shù)方程

如圖2所示，曲線AB為一段漸開線，α為漸開線壓力角，rb為基圓半徑，φ為漸開線從基圓開始旋轉(zhuǎn)過的角度，φ0為起始角.漸開線上一點(diǎn)A有:

其中:

圖1 漸開線單齒齒形

1.2 漸開線圓柱斜齒輪的參數(shù)方程

圖3是斜齒輪的示意圖，直徑為d的斜齒輪的螺旋角為β，半徑為r.此時(shí)齒面的初始角φ0(z)=φ0(0)－ δβ·z.其中.所以斜齒輪的參數(shù)方程如下所示:

圖2 漸開線

圖3 斜齒輪

1.3 齒頂圓弧和齒根圓弧的參數(shù)方程

齒頂圓弧和齒根圓弧位于齒頂圓和齒根圓上.容易得到齒頂圓和齒根圓的參數(shù)方程為:

其中ra，rf分別為齒輪的齒頂圓和齒根圓半徑.

圖4 各個(gè)類及子類的關(guān)系

圖5 齒輪齒形截面示意圖

圖6 齒輪三維模型

2 基于MATLAB面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)任意齒輪的齒形建模

2.1 MATLAB面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)

MATLAB是一種專業(yè)的計(jì)算機(jī)程序，被廣泛的運(yùn)用于工程中［3］.面向?qū)ο蟮某绦驅(qū)?duì)象作為程序的基本單元，將程序和數(shù)據(jù)封裝其中.MATLAB從版本6.5開始也引入了面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì).

齒輪齒形的各個(gè)組成曲線可作為類封裝在MATLAB中.任意形狀的齒輪只需調(diào)用不同的類即可將其齒輪模型建立.

圖7 有限元節(jié)點(diǎn)生成函數(shù)的流程圖

圖8 平均分布的節(jié)點(diǎn)

2.2 MATLAB 類的建立

根據(jù)齒輪齒形所構(gòu)成的曲線，以下幾個(gè)類將被建立:

1)基礎(chǔ)類 @linie.@linie類作為所有曲線的基礎(chǔ)類.其輸入?yún)?shù)為x和y.(x，y)描述曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).@linie類下有 mirror，array，extrude，translation等函數(shù)，可實(shí)現(xiàn)鏡像，圓形陣列，拉伸和平移等功能.

2)@linie的子類，如圓弧類@circle，漸開線類@involute，直線類@s_linie等.這些類的輸入?yún)?shù)各有不同，如@circle的參數(shù)是起始點(diǎn)和終止點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓角以及圓弧半徑，@involute的輸入?yún)?shù)是漸開線起始角φ0，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)有對(duì)應(yīng)角度φ以及基圓半徑rb.這些類也包含mirror，array，extrude，translation等函數(shù)，這些函數(shù)可以調(diào)用父類@linie下的對(duì)應(yīng)函數(shù).

3)@halftooth類.該類描述的是單個(gè)齒形分成對(duì)稱的兩部分之后的其中一半.這個(gè)類的輸入?yún)?shù)為所構(gòu)成齒輪齒形的各條曲線，如齒根圓弧cf(@circle)，漸開線in(@involute)，齒頂圓弧ca(@circle).該類下 mirror，array，extrude，translation等函數(shù)調(diào)用各個(gè)曲線類下的對(duì)應(yīng)函數(shù).

4)@tooth類.作為@halftooth的子類，@tooth的輸入?yún)?shù)為對(duì)稱齒形的兩個(gè)對(duì)稱部分ht1，ht2(@halftooth).該類也繼承了@halftooth的所有函數(shù).

5)@pinion.@pinion是@tooth的子類，描述@tooth經(jīng)過圓形陣列后得到的齒輪平面齒形.其中，輸入?yún)?shù)為齒輪的模數(shù)m，齒數(shù)z，壓力角α，齒頂高系數(shù)ha，頂隙系數(shù)c，變位系數(shù)x等.

6)@pinion3D.@pinion3D是@pinion的子類，繼承了@pinion的所有參數(shù)，其他輸入?yún)?shù)還包括螺旋角以及齒輪長度z2等.

各個(gè)類之間的關(guān)系如圖4所示.

構(gòu)建由齒根圓弧，漸開線，齒頂圓弧所構(gòu)成的簡單齒形.根據(jù)建立的類結(jié)構(gòu)寫出各類的二維繪圖函數(shù)plot以及三維繪圖函數(shù)surf.利用plot和surf函數(shù)可畫出齒輪的二維和三維圖形.對(duì)于模數(shù)m=2.1374，齒數(shù) z=9，分度圓壓力角 α =26.490°，齒頂高系數(shù)ha=1.2，頂隙系數(shù)c=0.5，變位系數(shù)x=0.6 的齒輪，螺旋角 β =20.6589°，齒輪長度b=25.7502生成的二維和三維模型如圖5和圖6所示.

3 齒輪三角形網(wǎng)格的自動(dòng)生成

3.1 齒輪有限元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的自動(dòng)生成

在劃分有限元網(wǎng)格之前首先要生成網(wǎng)格節(jié)點(diǎn).由于齒形模型的建立使用了面向?qū)ο蟮木幊?，因此生成網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)時(shí)分別在組成齒輪輪廓的各條曲線上生成.網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)生成函數(shù)的流程圖如圖7所示，其中iblKnoten為生成網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的函數(shù).

圖9 β＜0時(shí)生成的三角形網(wǎng)格

3.2 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)量及分布

在確定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之前，要確定每段曲線上的節(jié)點(diǎn)數(shù)量和位置分布.如果將曲線劃分成n段，那么生成的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n+1個(gè).

按照平均分布來確定曲線上的節(jié)點(diǎn)位置.平均分布也就是按照曲線參數(shù)平均劃分曲線.比如圓弧和漸開線f=g(φ)，平均劃分角度φ來得到節(jié)點(diǎn)，如圖8所示.將曲線平均分成4段生成了5個(gè)節(jié)點(diǎn).

圖10 β＞0時(shí)生成的三角形網(wǎng)格

圖11 自動(dòng)生成的有限元網(wǎng)格

3.3 節(jié)點(diǎn)的自動(dòng)編號(hào)

節(jié)點(diǎn)的自動(dòng)編號(hào)原則是:

1)在z坐標(biāo)方向上值最小的一個(gè)剖面上選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)編為p(1，1)，該節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的角度為φ0，從這個(gè)點(diǎn)開始在z=z1平面上延逆時(shí)針方向編號(hào)，每生成一個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)的第二維加一，直至p(1，n).

2)從z=z1開始沿z軸正方向在z=z2上選取下一個(gè)剖面.取 φ = φ0－tan(δβ)·(z2－z1)所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)為 p(2，1)，并且逆時(shí)針編號(hào)至 P(2，n).如此沿z軸編號(hào)直至P(m，n).這樣共生成了m×n個(gè)點(diǎn).

3.4 三角形網(wǎng)格的劃分原則

三角行網(wǎng)格的劃分原則是:

1)生成每條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的編號(hào)在某一維上相差1.

2)盡量將三角形劃分成銳角三角形.因?yàn)槿切尉鹊挠?jì)算和三角形最長邊和最短邊的比有關(guān)，比值越小精度越大.鈍角三角形的最長邊和最短邊的比比銳角三角形最長邊和最短邊的比要大，因此在劃分三角形網(wǎng)格是盡量要?jiǎng)澐殖射J角三角形［4］.

3.5 網(wǎng)格的自動(dòng)生成

找到相鄰的四個(gè)節(jié)點(diǎn)p(i，j)，p(i+1，j)，p(i，j+1)，p(i+1，j+1).對(duì)于不同的螺旋角β，這四個(gè)點(diǎn)所組成的四邊形不相同.圖10所示的是β＜0的情況，圖11所示的是β＞0的情況.由于要生成銳角三角形，在β＜0時(shí)，生成三角形p(i，j)p(i+1，j)p(i，j+1)和三角形 p(i+1，j)p(i+1，j+1)p(i，j+1)，如圖9所示.在β＞0時(shí)，生成三角形p(i，j)p(i+1，j)p(i+1，j+1)和三角形p(i，j)p(i+1，j+1)p(i，j+1)，如圖10 所示.

取i的值從1到m －1，取j的值從1到n－1，既可生成全部三角形網(wǎng)格.

根據(jù)以上方法，在每段曲線上，即齒頂圓弧，齒根圓弧以及漸開線，插入平均分布的五個(gè)節(jié)點(diǎn)，生成的網(wǎng)格如圖11所示.可以看到，此時(shí)生成的格的是比較粗略的網(wǎng)格.但是只需要曲線中插入的更多節(jié)點(diǎn)，即可生成精度各不相同的網(wǎng)格.另外齒頂圓弧，齒根圓弧以及漸開線等各段曲線上節(jié)點(diǎn)數(shù)也可各不相同.這樣可以適應(yīng)有限元分析時(shí)的不同要求.因?yàn)闈u開線段的網(wǎng)格質(zhì)量往往要求比較高，這種情況下只需在漸開線上生成更多的節(jié)點(diǎn)即可滿足要求.

4 結(jié)束語

以齒輪的基本參數(shù)為基礎(chǔ)，使用MATLAB面向?qū)ο蟮木幊谭椒ǎ梢越⑷我廨喞闹饼X輪或斜齒輪的二維和三維模型.而基于對(duì)象的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)生成方法，可以更加快捷靈活的生成所需的節(jié)點(diǎn).點(diǎn)數(shù)可以任意增加，也就可以生成足夠精度的曲線以及三角形有限元單元.在此基礎(chǔ)上也可以方便的更改網(wǎng)格精度來適應(yīng)不同的需求.

［1］李柱國.機(jī)械設(shè)計(jì)與理論［J］.北京:科學(xué)出版社，2003.

［2］Heinz Linke，Stirnradverzahnung:Berechnung － Werkstoffe－Fertigung［J］.Fachbuchverlag Leipzig，1996.

［3］Stephen J.Chapman，MATLAB Programming for Engineers［J］.CL Engineering，2007.

［4］趙軍，變速器有限元網(wǎng)格的自動(dòng)建立［J］.汽車技術(shù)，2011(4):38－42.