關(guān)于方程ax=ax(a＞0，a≠1)的實數(shù)解

李 強

（大慶職業(yè)學(xué)院工商管理系 黑龍江 大慶 163000）

0 引言

我們經(jīng)常會在數(shù)學(xué)分析的教科書里看到方程

的各種特例。 現(xiàn)在，我們就運用分類考查的方法，去研究在最一般的情況下，方程（1）的實數(shù)解的情況。

1 當(dāng)x≤0 時

此時，易知：ax＞0，ax≤O

從而ax＞ax。 因此，此時方程（1）無解。

2 當(dāng)x＞0 時

首先，易知：x=1 是方程（1）的解；其次，我們按a 從小到大的變化，分別考查方程（1）其它解的情況。

2.1 當(dāng)0＜x＜1 時

方程（1）變?yōu)椋?/p>

令f（x）=ax-ax，則f/（x）=axlna-a＜0。

因此，此時函數(shù)f（x）是單調(diào)減的。

當(dāng)0＜x＜1 時，f（x）＞f（1）=0，方程（2）無解；當(dāng)x＞1 時，f（x）＜f（1）=0，方程（2）仍無解。 故此時方程（2）僅有x=1 一個解。

2.2 當(dāng)1＜a＜e 時

引人g（x）=ax/x-a，則

1）當(dāng)0＜x＜1 時，g/（x）＜0，此時函數(shù)g（x）是單調(diào)減的。

于是有g(shù)（x）＞g（1）=0，方程（3）無解。

2）當(dāng)1＜x≤1/lna 時，g/（x）≤0，此時函數(shù)g（x）仍是單調(diào)減的。

由g（x）＜g（1）=0 知，方程（3）此時無解。 特別地，有g(shù)（1/lna）＜0。

3）當(dāng)x＞1/lna 時，g/（x）＞0，此時函數(shù)g（z）是單調(diào)增的。

因此，當(dāng)l＜a＜e 時，原方程有l(wèi) 與，x0（x0∈（1/lna，＋∞））兩個解。

2.3 當(dāng)a=e 時，

令h（z）=ex-ex，則

h/（x）=ex-e，h//（x）=ex

由h/（x）=0，得駐點：x=1。

又h//（1）=e＞0，故x=1 為函數(shù)h（x）的唯一極小值點，從而也是h（x）的最小值點。

于是有h（x）≥h（1）=0（等號成立?x=1）。故此時方程（5）僅有x=1 一個解。

2.4 當(dāng)a＞e 時

此時的情形與2.2 時的情況相類似， 我們不妨借用一下其中的（3）式與（4）式。 由（4）式易知

1）當(dāng)x＞1 時，g/（x）＞0，此時函數(shù)g（z）是單調(diào)增的。

于是有g(shù)（x）＞g（1）=0，方程（3）無解。

2）當(dāng)1/lna≤x＜1 時，g/（x）≥0，此時函數(shù)g（x）仍是單調(diào)增的。

由g（x）＜g（1）=0 知，方程（3）此時無解。

特別地，我們有g(shù)（1/lna）＜0。

3）當(dāng)0＜x＜1/lna 時，g/（x）＜0，此時函數(shù)g（x）是單調(diào)減的。

因此，當(dāng)x＞e 時，原方程有l(wèi) 與x1（x1∈（0，1/lna））兩個解。

［1］[蘇]T.M.菲赫金哥爾茨.數(shù)學(xué)分析原理[M].高等教育出版社.

［2］[加]G.Klambauer.數(shù)學(xué)分析[M].湖南人民出版社.